紙筆・推理・練習

三元方程組：消元、求解與驗算｜教師參考

消去同一未知數得到二元方程組，再回代求三個值。

40 分鐘 · 七下・正文 67–70 頁・正文第 34–35 課時

教材對照：七下第8章二元一次方程組・正文第34–35課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。查看下冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

學生課堂頁在研習室安排題單

課堂路線課堂環節

4′先備檢查
5′短探究／概念示範
8′示範與帶做
15′獨立練習
5′訂正
3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

18 分鐘紙筆：用 x＋y＋z＝9、x−y＝−1、y−z＝−1，先預測三值次序（3 分）。兩組各選不同未知數，但在各自過程一致地消去它，形成二元方程組再求完整三元解（7 分）。比較並驗算三原式（4 分）。只把第一式總和由 9 改為 12，先預測再核對各值如何改變（3 分）。說明只求兩值為何未完成三元求解（1 分）。不聲稱已有三元互動引擎。

整理關鍵概念

消去同一未知數得到二元方程組，再回代求三個值。

開啟原章節

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

普通班用首個指定例作5分鐘概念示範；進階班按完整18分鐘探究，先寫預測再核對。

教師示範1

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=9\\(1)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-10$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=-6$ 。
回代得 $z=4$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=6\\(1)x+(-1)y+(0)z=0\\(0)x+(1)y+(-1)z=0\end{cases}

由 $x-y=0$ 寫 $y=\square$ 。
由 $y-z=0$ 寫 $z=y=\square$ 。
代入第一式： $x+x+x=6$ ，所以 $x=\square$ ；求 y、z，驗算三式。

第二、三式比較未知數的成對關係。
它們給 y＝x、z＝y，把所有未知數用 x 表示。
總和方程變為 3x＝6，一個值即可確定另外兩個。

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-6$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=-3$ 。
回代得 $z=2$ 。
回代得 $y=2$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備3

檢查 $x=1, y=2, z=3$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=6\\(1)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

是，每條原方程都成立。
不是，只核對一條就足以否定。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

第 1 式左邊為 6，右邊為 6。
第 2 式左邊為 -1，右邊為 -1。
第 3 式左邊為 -1，右邊為 -1。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

要把三條 x、y、z 方程化成二元方程組，兩條新方程應有甚麼共同特點？

都消去同一未知數，留下相同另外兩個。
一條消 x，另一條只消 y，合起來仍有三個未知數。
兩個右邊都必須為零。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

新的一對須只含同樣兩個未知數。
否則尚未化為二元方程組。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=12\\(1)x+(-1)y+(0)z=2\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-10$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=-6$ 。
回代得 $z=4$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=5$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習6

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=10\\(2)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=2\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(-3)y+(-2)z=-21$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{3}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-5}{3})z=-5$ 。
回代得 $z=3$ 。
回代得 $y=5$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(0)z=5\\(0)x+(1)y+(1)z=7\\(1)x+(0)y+(1)z=6\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 3 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-1)y+(1)z=1$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $-1$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(2)z=8$ 。
回代得 $z=4$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=3\\(1)x+(-1)y+(0)z=1\\(0)x+(1)y+(-1)z=1\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-2$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=0$ 。
回代得 $z=0$ 。
回代得 $y=1$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

檢查 $x=2, y=3, z=4$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=9\\(1)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

是，每條原方程都成立。
不是，只核對一條就足以否定。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

第 1 式左邊為 9，右邊為 9。
第 2 式左邊為 -1，右邊為 -1。
第 3 式左邊為 -1，右邊為 -1。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

消元已得 y＝3、z＝4，原第一式為 x＋y＋z＝9。完成求解還要做甚麼？

求 x＝2，再驗算三條原方程。
停止；兩個值已足夠。
任選 x，不需檢查。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

把 3、4 代入 x＋y＋z＝9。
x＝9−3−4＝2，再驗算完整三元解。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=7\\(1)x+(-1)y+(0)z=2\\(0)x+(1)y+(-1)z=1\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-5$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=\frac{-3}{2}$ 。
回代得 $z=1$ 。
回代得 $y=2$ 。
回代得 $x=4$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=3\\(2)x+(-1)y+(0)z=0\\(0)x+(1)y+(-1)z=\frac{-1}{2}\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(-3)y+(-2)z=-6$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{3}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-5}{3})z=\frac{-5}{2}$ 。
回代得 $z=\frac{3}{2}$ 。
回代得 $y=1$ 。
回代得 $x=\frac{1}{2}$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(2)x+(1)y+(-1)z=1\\(1)x+(-1)y+(1)z=2\\(1)x+(1)y+(1)z=6\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 2 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{-3}{2})y+(\frac{3}{2})z=\frac{3}{2}$ 。
第 3 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{1}{2})y+(\frac{3}{2})z=\frac{11}{2}$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{3}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(2)z=6$ 。
回代得 $z=3$ 。
回代得 $y=2$ 。
回代得 $x=1$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(-2)y+(0)z=0\\(0)x+(1)y+(-2)z=0\\(1)x+(1)y+(1)z=21\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 3 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(3)y+(1)z=21$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $3$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(7)z=21$ 。
回代得 $z=3$ 。
回代得 $y=6$ 。
回代得 $x=12$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

三種票單價為 2、3、5 元，張數分別 x、y、z。共 9 張、收入 33 元，前兩種合共 5 張。列三元方程組求解並核對整數張數。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

張數給 $x+y+z=9$ ，收入給 $2x+3y+5z=33$ ，另有 $x+y=5$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(1)y+(3)z=15$ 。
第 3 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(-1)z=-4$ 。
回代得 $z=4$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

寫了三條方程，是否必定唯一確定三個值？描述此方程組的實數解。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=6\\(2)x+(2)y+(2)z=12\\(1)x+(-1)y+(0)z=0\end{cases}

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

第二式是第一式兩倍，第三式給 x＝y。
令 x＝y＝t，得 z＝6−2t，各原式均成立。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

備課與評量說明

先備要求

能用代入或消元解二元方程組，並在全部原方程驗解。

觀察學生作答

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

全部參考答案

教師示範1

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=9\\(1)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

參考答案

$x=2,\quad y=3,\quad z=4$ 。

x=2,\quad y=3,\quad z=4

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-10$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=-6$ 。
回代得 $z=4$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=6\\(1)x+(-1)y+(0)z=0\\(0)x+(1)y+(-1)z=0\end{cases}

由 $x-y=0$ 寫 $y=\square$ 。
由 $y-z=0$ 寫 $z=y=\square$ 。
代入第一式： $x+x+x=6$ ，所以 $x=\square$ ；求 y、z，驗算三式。

參考答案

$x=2,\quad y=2,\quad z=2$ 。

x=2,\quad y=2,\quad z=2

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-6$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=-3$ 。
回代得 $z=2$ 。
回代得 $y=2$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備3

檢查 $x=1, y=2, z=3$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=6\\(1)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

是，每條原方程都成立。
不是，只核對一條就足以否定。

參考答案

是，每條原方程都成立。

第 1 式左邊為 6，右邊為 6。
第 2 式左邊為 -1，右邊為 -1。
第 3 式左邊為 -1，右邊為 -1。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

要把三條 x、y、z 方程化成二元方程組，兩條新方程應有甚麼共同特點？

都消去同一未知數，留下相同另外兩個。
一條消 x，另一條只消 y，合起來仍有三個未知數。
兩個右邊都必須為零。

參考答案

都消去同一未知數，留下相同另外兩個。

新的一對須只含同樣兩個未知數。
否則尚未化為二元方程組。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=12\\(1)x+(-1)y+(0)z=2\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

參考答案

$x=5,\quad y=3,\quad z=4$ 。

x=5,\quad y=3,\quad z=4

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-10$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=-6$ 。
回代得 $z=4$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=5$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習6

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=10\\(2)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=2\end{cases}

參考答案

$x=2,\quad y=5,\quad z=3$ 。

x=2,\quad y=5,\quad z=3

第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(-3)y+(-2)z=-21$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{3}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-5}{3})z=-5$ 。
回代得 $z=3$ 。
回代得 $y=5$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(0)z=5\\(0)x+(1)y+(1)z=7\\(1)x+(0)y+(1)z=6\end{cases}

參考答案

$x=2,\quad y=3,\quad z=4$ 。

x=2,\quad y=3,\quad z=4

第 3 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-1)y+(1)z=1$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $-1$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(2)z=8$ 。
回代得 $z=4$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=3\\(1)x+(-1)y+(0)z=1\\(0)x+(1)y+(-1)z=1\end{cases}

參考答案

$x=2,\quad y=1,\quad z=0$ 。

x=2,\quad y=1,\quad z=0

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-2$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=0$ 。
回代得 $z=0$ 。
回代得 $y=1$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

檢查 $x=2, y=3, z=4$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=9\\(1)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

是，每條原方程都成立。
不是，只核對一條就足以否定。

參考答案

是，每條原方程都成立。

第 1 式左邊為 9，右邊為 9。
第 2 式左邊為 -1，右邊為 -1。
第 3 式左邊為 -1，右邊為 -1。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

消元已得 y＝3、z＝4，原第一式為 x＋y＋z＝9。完成求解還要做甚麼？

求 x＝2，再驗算三條原方程。
停止；兩個值已足夠。
任選 x，不需檢查。

參考答案

求 x＝2，再驗算三條原方程。

把 3、4 代入 x＋y＋z＝9。
x＝9−3−4＝2，再驗算完整三元解。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=7\\(1)x+(-1)y+(0)z=2\\(0)x+(1)y+(-1)z=1\end{cases}

參考答案

$x=4,\quad y=2,\quad z=1$ 。

x=4,\quad y=2,\quad z=1

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-5$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=\frac{-3}{2}$ 。
回代得 $z=1$ 。
回代得 $y=2$ 。
回代得 $x=4$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=3\\(2)x+(-1)y+(0)z=0\\(0)x+(1)y+(-1)z=\frac{-1}{2}\end{cases}

參考答案

$x=\frac{1}{2},\quad y=1,\quad z=\frac{3}{2}$ 。

x=\frac{1}{2},\quad y=1,\quad z=\frac{3}{2}

第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(-3)y+(-2)z=-6$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{3}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-5}{3})z=\frac{-5}{2}$ 。
回代得 $z=\frac{3}{2}$ 。
回代得 $y=1$ 。
回代得 $x=\frac{1}{2}$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(2)x+(1)y+(-1)z=1\\(1)x+(-1)y+(1)z=2\\(1)x+(1)y+(1)z=6\end{cases}

參考答案

$x=1,\quad y=2,\quad z=3$ 。

x=1,\quad y=2,\quad z=3

第 2 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{-3}{2})y+(\frac{3}{2})z=\frac{3}{2}$ 。
第 3 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{1}{2})y+(\frac{3}{2})z=\frac{11}{2}$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{3}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(2)z=6$ 。
回代得 $z=3$ 。
回代得 $y=2$ 。
回代得 $x=1$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(-2)y+(0)z=0\\(0)x+(1)y+(-2)z=0\\(1)x+(1)y+(1)z=21\end{cases}

參考答案

$x=12,\quad y=6,\quad z=3$ 。

x=12,\quad y=6,\quad z=3

第 3 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(3)y+(1)z=21$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $3$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(7)z=21$ 。
回代得 $z=3$ 。
回代得 $y=6$ 。
回代得 $x=12$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

三種票單價為 2、3、5 元，張數分別 x、y、z。共 9 張、收入 33 元，前兩種合共 5 張。列三元方程組求解並核對整數張數。

參考答案

$x=2,\quad y=3,\quad z=4$ 。

x=2,\quad y=3,\quad z=4

張數給 $x+y+z=9$ ，收入給 $2x+3y+5z=33$ ，另有 $x+y=5$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(1)y+(3)z=15$ 。
第 3 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(-1)z=-4$ 。
回代得 $z=4$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

寫了三條方程，是否必定唯一確定三個值？描述此方程組的實數解。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=6\\(2)x+(2)y+(2)z=12\\(1)x+(-1)y+(0)z=0\end{cases}

參考答案

$x=t,\ y=t,\ z=6-2t,\ t\in\mathbb{R}$ ；無限多解。

x=t,\ y=t,\ z=6-2t,\ t\in\mathbb{R}

第二式是第一式兩倍，第三式給 x＝y。
令 x＝y＝t，得 z＝6−2t，各原式均成立。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

列印版本

教材對照與編寫

對應教材教學後使用的 40 分鐘原創核心鞏固，並非代替每節新授課；來源對照只限已提供正文。

大湾区初中数学三维课堂（七年级下册）正文.pdf

七下・正文 67–70 頁・正文第 34–35 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

三元方程組：消元、求解與驗算

七下・正文 67–70 頁・正文第 34–35 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=9\\(1)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

帶做2

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=6\\(1)x+(-1)y+(0)z=0\\(0)x+(1)y+(-1)z=0\end{cases}

由 $x-y=0$ 寫 $y=\square$ 。
由 $y-z=0$ 寫 $z=y=\square$ 。
代入第一式： $x+x+x=6$ ，所以 $x=\square$ ；求 y、z，驗算三式。

先備3

檢查 $x=1, y=2, z=3$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=6\\(1)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

是，每條原方程都成立。
不是，只核對一條就足以否定。

先備4

要把三條 x、y、z 方程化成二元方程組，兩條新方程應有甚麼共同特點？

都消去同一未知數，留下相同另外兩個。
一條消 x，另一條只消 y，合起來仍有三個未知數。
兩個右邊都必須為零。

三元方程組：消元、求解與驗算

七下・正文 67–70 頁・正文第 34–35 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=12\\(1)x+(-1)y+(0)z=2\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

獨立練習6

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=10\\(2)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=2\end{cases}

獨立練習7

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(0)z=5\\(0)x+(1)y+(1)z=7\\(1)x+(0)y+(1)z=6\end{cases}

獨立練習8

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=3\\(1)x+(-1)y+(0)z=1\\(0)x+(1)y+(-1)z=1\end{cases}

離堂題9

檢查 $x=2, y=3, z=4$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=9\\(1)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

是，每條原方程都成立。
不是，只核對一條就足以否定。

離堂題10

消元已得 y＝3、z＝4，原第一式為 x＋y＋z＝9。完成求解還要做甚麼？

求 x＝2，再驗算三條原方程。
停止；兩個值已足夠。
任選 x，不需檢查。

三元方程組：消元、求解與驗算 — 補練

七下・正文 67–70 頁・正文第 34–35 課時

補練／家課11

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=7\\(1)x+(-1)y+(0)z=2\\(0)x+(1)y+(-1)z=1\end{cases}

補練／家課12

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=3\\(2)x+(-1)y+(0)z=0\\(0)x+(1)y+(-1)z=\frac{-1}{2}\end{cases}

補練／家課13

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(2)x+(1)y+(-1)z=1\\(1)x+(-1)y+(1)z=2\\(1)x+(1)y+(1)z=6\end{cases}

補練／家課14

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(-2)y+(0)z=0\\(0)x+(1)y+(-2)z=0\\(1)x+(1)y+(1)z=21\end{cases}

進階15

三種票單價為 2、3、5 元，張數分別 x、y、z。共 9 張、收入 33 元，前兩種合共 5 張。列三元方程組求解並核對整數張數。

進階16

寫了三條方程，是否必定唯一確定三個值？描述此方程組的實數解。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=6\\(2)x+(2)y+(2)z=12\\(1)x+(-1)y+(0)z=0\end{cases}

三元方程組：消元、求解與驗算 — 教師解答

七下・正文 67–70 頁・正文第 34–35 課時

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

普通班：先備4、短探究5、示範帶做8、獨立15、訂正5、離堂3分鐘。進階班：探究18、整理4、精選練習13、離堂5分鐘。

先備：能用代入或消元解二元方程組，並在全部原方程驗解。

普通班取首個指定例作5分鐘概念示範；進階班完成整個探究。

探究與討論：18 分鐘紙筆：用 x＋y＋z＝9、x−y＝−1、y−z＝−1，先預測三值次序（3 分）。兩組各選不同未知數，但在各自過程一致地消去它，形成二元方程組再求完整三元解（7 分）。比較並驗算三原式（4 分）。只把第一式總和由 9 改為 12，先預測再核對各值如何改變（3 分）。說明只求兩值為何未完成三元求解（1 分）。不聲稱已有三元互動引擎。

教師示範1

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=9\\(1)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

參考答案

$x=2,\quad y=3,\quad z=4$ 。

x=2,\quad y=3,\quad z=4

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-10$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=-6$ 。
回代得 $z=4$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=6\\(1)x+(-1)y+(0)z=0\\(0)x+(1)y+(-1)z=0\end{cases}

由 $x-y=0$ 寫 $y=\square$ 。
由 $y-z=0$ 寫 $z=y=\square$ 。
代入第一式： $x+x+x=6$ ，所以 $x=\square$ ；求 y、z，驗算三式。

參考答案

$x=2,\quad y=2,\quad z=2$ 。

x=2,\quad y=2,\quad z=2

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-6$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=-3$ 。
回代得 $z=2$ 。
回代得 $y=2$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備3

檢查 $x=1, y=2, z=3$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=6\\(1)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

是，每條原方程都成立。
不是，只核對一條就足以否定。

參考答案

是，每條原方程都成立。

第 1 式左邊為 6，右邊為 6。
第 2 式左邊為 -1，右邊為 -1。
第 3 式左邊為 -1，右邊為 -1。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

要把三條 x、y、z 方程化成二元方程組，兩條新方程應有甚麼共同特點？

都消去同一未知數，留下相同另外兩個。
一條消 x，另一條只消 y，合起來仍有三個未知數。
兩個右邊都必須為零。

參考答案

都消去同一未知數，留下相同另外兩個。

新的一對須只含同樣兩個未知數。
否則尚未化為二元方程組。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=12\\(1)x+(-1)y+(0)z=2\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

參考答案

$x=5,\quad y=3,\quad z=4$ 。

x=5,\quad y=3,\quad z=4

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-10$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=-6$ 。
回代得 $z=4$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=5$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習6

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=10\\(2)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=2\end{cases}

參考答案

$x=2,\quad y=5,\quad z=3$ 。

x=2,\quad y=5,\quad z=3

第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(-3)y+(-2)z=-21$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{3}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-5}{3})z=-5$ 。
回代得 $z=3$ 。
回代得 $y=5$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(0)z=5\\(0)x+(1)y+(1)z=7\\(1)x+(0)y+(1)z=6\end{cases}

參考答案

$x=2,\quad y=3,\quad z=4$ 。

x=2,\quad y=3,\quad z=4

第 3 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-1)y+(1)z=1$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $-1$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(2)z=8$ 。
回代得 $z=4$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=3\\(1)x+(-1)y+(0)z=1\\(0)x+(1)y+(-1)z=1\end{cases}

參考答案

$x=2,\quad y=1,\quad z=0$ 。

x=2,\quad y=1,\quad z=0

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-2$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=0$ 。
回代得 $z=0$ 。
回代得 $y=1$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

檢查 $x=2, y=3, z=4$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=9\\(1)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

是，每條原方程都成立。
不是，只核對一條就足以否定。

參考答案

是，每條原方程都成立。

第 1 式左邊為 9，右邊為 9。
第 2 式左邊為 -1，右邊為 -1。
第 3 式左邊為 -1，右邊為 -1。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

消元已得 y＝3、z＝4，原第一式為 x＋y＋z＝9。完成求解還要做甚麼？

求 x＝2，再驗算三條原方程。
停止；兩個值已足夠。
任選 x，不需檢查。

參考答案

求 x＝2，再驗算三條原方程。

把 3、4 代入 x＋y＋z＝9。
x＝9−3−4＝2，再驗算完整三元解。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=7\\(1)x+(-1)y+(0)z=2\\(0)x+(1)y+(-1)z=1\end{cases}

參考答案

$x=4,\quad y=2,\quad z=1$ 。

x=4,\quad y=2,\quad z=1

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-5$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=\frac{-3}{2}$ 。
回代得 $z=1$ 。
回代得 $y=2$ 。
回代得 $x=4$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=3\\(2)x+(-1)y+(0)z=0\\(0)x+(1)y+(-1)z=\frac{-1}{2}\end{cases}

參考答案

$x=\frac{1}{2},\quad y=1,\quad z=\frac{3}{2}$ 。

x=\frac{1}{2},\quad y=1,\quad z=\frac{3}{2}

第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(-3)y+(-2)z=-6$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{3}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-5}{3})z=\frac{-5}{2}$ 。
回代得 $z=\frac{3}{2}$ 。
回代得 $y=1$ 。
回代得 $x=\frac{1}{2}$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(2)x+(1)y+(-1)z=1\\(1)x+(-1)y+(1)z=2\\(1)x+(1)y+(1)z=6\end{cases}

參考答案

$x=1,\quad y=2,\quad z=3$ 。

x=1,\quad y=2,\quad z=3

第 2 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{-3}{2})y+(\frac{3}{2})z=\frac{3}{2}$ 。
第 3 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{1}{2})y+(\frac{3}{2})z=\frac{11}{2}$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{3}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(2)z=6$ 。
回代得 $z=3$ 。
回代得 $y=2$ 。
回代得 $x=1$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(-2)y+(0)z=0\\(0)x+(1)y+(-2)z=0\\(1)x+(1)y+(1)z=21\end{cases}

參考答案

$x=12,\quad y=6,\quad z=3$ 。

x=12,\quad y=6,\quad z=3

第 3 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(3)y+(1)z=21$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $3$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(7)z=21$ 。
回代得 $z=3$ 。
回代得 $y=6$ 。
回代得 $x=12$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

三種票單價為 2、3、5 元，張數分別 x、y、z。共 9 張、收入 33 元，前兩種合共 5 張。列三元方程組求解並核對整數張數。

參考答案

$x=2,\quad y=3,\quad z=4$ 。

x=2,\quad y=3,\quad z=4

張數給 $x+y+z=9$ ，收入給 $2x+3y+5z=33$ ，另有 $x+y=5$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(1)y+(3)z=15$ 。
第 3 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(-1)z=-4$ 。
回代得 $z=4$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

寫了三條方程，是否必定唯一確定三個值？描述此方程組的實數解。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=6\\(2)x+(2)y+(2)z=12\\(1)x+(-1)y+(0)z=0\end{cases}

參考答案

$x=t,\ y=t,\ z=6-2t,\ t\in\mathbb{R}$ ；無限多解。

x=t,\ y=t,\ z=6-2t,\ t\in\mathbb{R}

第二式是第一式兩倍，第三式給 x＝y。
令 x＝y＝t，得 z＝6−2t，各原式均成立。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。