紙筆・推理・練習

二元方程組：數量與建模

說明未知數、統一單位、列獨立條件，再檢查情境可行性。

40 分鐘 · 七下・正文 61–66 頁・正文第 31–33 課時

教材對照：七下第8章二元一次方程組・正文第31–33課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。查看下冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

教師參考在研習室安排題單

課堂路線課堂環節

4′先備檢查
5′短探究／概念示範
8′示範與帶做
15′獨立練習
5′訂正
3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

18 分鐘 tickets 探究：先設單價 2、5 元，共 10 張、收入 32 元，在顯示方程前說明兩未知數（3 分）。枚舉及求解，核對非負整數張數與收入（5 分）。保持共 10 張，把兩種單價都改成 3 元，比較收入 30、31 元（6 分）。解釋「獨立資料不足」與「資料矛盾」的分別，再分清實數解及可行票數（4 分）。既有引擎支援同價情況。

整理關鍵概念

說明未知數、統一單位、列獨立條件，再檢查情境可行性。

開啟原章節開啟互動探究

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

普通班用首個指定例作5分鐘概念示範；進階班按完整18分鐘探究，先寫預測再核對。

教師示範1

筆記簿每本 x 元，筆每支 y 元。2 本筆記簿及 3 支筆共 16 元；4 本及 1 支共 12 元。求兩種單價。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(2)x+(3)y=16\\(4)x+(1)y=12\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(-5)y=-20$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

A 票每張 2 元，B 票每張 5 元。共 10 張，收入 32 元。設 x、y 分別為 A、B 票張數，列方程組求解，核對非負整數限制。

張數條件： $x+y=\square$ ；收入： $2x+5y=\square$ 。
使用 $x=10-y$ ： $2(10-y)+5y=32$ 。
所以 $3y=32-20=\square$ ；求 y＝____、x＝____，兩者須為非負整數。

10 是張數，32 是元數。
每張 A 票貢獻 2 元、B 票 5 元，要用兩個獨立條件。
把 x＝10−y 代入 2x＋5y＝32，求解後核對張數及收入。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=10\\(2)x+(5)y=32\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(3)y=12$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=6$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備3

有 x 名成人、y 名兒童參觀，寫出總人數；不能把票價加進人數。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

兩個未知數都是人數，單位一致。
總人數為 x＋y。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

速度用 km/h 時，把 1 小時 30 分換成小時。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

30 分鐘是 30/60 小時。
共 3/2 小時。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

A 票每張 3 元，B 票每張 5 元。共 12 張，收入 44 元。設 x、y 分別為 A、B 票張數，列方程組求解，核對非負整數限制。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=12\\(3)x+(5)y=44\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $3$ 倍，得 $(0)x+(2)y=8$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=8$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習6

筆記簿每本 x 元，筆每支 y 元。3 本筆記簿及 2 支筆共 19 元；2 本及 5 支共 31 元。求兩種單價。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(3)x+(2)y=19\\(2)x+(5)y=31\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $\frac{2}{3}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{11}{3})y=\frac{55}{3}$ 。
回代得 $y=5$ 。
回代得 $x=3$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

船順流速度為 28 km/h，逆流速度為 20 km/h。設靜水船速為 x、水流速度為 y，單位均為 km/h，求 x、y。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=28\\(1)x+(-1)y=20\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y=-8$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=24$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

一組共 18 人，成人數是兒童數兩倍。設成人 x 人、兒童 y 人，求兩種人數。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(-2)y=0\\(1)x+(1)y=18\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(3)y=18$ 。
回代得 $y=6$ 。
回代得 $x=12$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

x 是票數，p 是每張票的元數，px 表示甚麼？

總票數，單位張。
速度。
總票價，單位元。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

每張元數乘票數。
張的單位抵消，餘下元。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

售票模型解得 x＝11/3、y＝7/3，能否四捨五入為 4、2，當作精確解？說明。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

6 張票分別每張 2、5 元時，該分數解的收入是 19 元。
取整成 (4,2) 的收入是 18 元，並非原解。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

長方形周長 30 cm，長 x 比寬 y 多 3 cm，求長、寬。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=15\\(1)x+(-1)y=3\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y=-12$ 。
回代得 $y=6$ 。
回代得 $x=9$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

筆記簿每本 x 元，筆每支 y 元。4 本筆記簿及 3 支筆共 27 元；2 本及 5 支共 31 元。求兩種單價。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(4)x+(3)y=27\\(2)x+(5)y=31\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{7}{2})y=\frac{35}{2}$ 。
回代得 $y=5$ 。
回代得 $x=3$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

船順流速度為 34 km/h，逆流速度為 26 km/h。設靜水船速為 x、水流速度為 y，單位均為 km/h，求 x、y。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=34\\(1)x+(-1)y=26\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y=-8$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=30$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

機器 A 每小時製 x 件，B 製 y 件。A 工作 2 小時加 B 工作 1 小時共製 26 件；A 工作 1 小時加 B 工作 3 小時共製 33 件。求兩機每小時產量。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(2)x+(1)y=26\\(1)x+(3)y=33\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{5}{2})y=20$ 。
回代得 $y=8$ 。
回代得 $x=9$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

兩作物種植面積為 x、y 公頃，共 100 公頃；每公頃產量分別 2、3 噸，總產量 260 噸。求兩面積，再核對單位。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=100\\(2)x+(3)y=260\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(1)y=60$ 。
回代得 $y=60$ 。
回代得 $x=40$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

A 票每張 2 元，B 票每張 5 元。共 10 張，收入 60 元。設 x、y 分別為 A、B 票張數，列方程組求解，核對非負整數限制。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=10\\(2)x+(5)y=60\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(3)y=40$ 。
回代得 $y=\frac{40}{3}$ 。
回代得 $x=\frac{-10}{3}$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

備課與評量說明

先備要求

會解二元方程組，分清數量、單價、總量、速度及統一時間單位。

觀察學生作答

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

列印版本

教材對照與編寫

對應教材教學後使用的 40 分鐘原創核心鞏固，並非代替每節新授課；來源對照只限已提供正文。

大湾区初中数学三维课堂（七年级下册）正文.pdf

七下・正文 61–66 頁・正文第 31–33 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

二元方程組：數量與建模

七下・正文 61–66 頁・正文第 31–33 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

筆記簿每本 x 元，筆每支 y 元。2 本筆記簿及 3 支筆共 16 元；4 本及 1 支共 12 元。求兩種單價。

帶做2

A 票每張 2 元，B 票每張 5 元。共 10 張，收入 32 元。設 x、y 分別為 A、B 票張數，列方程組求解，核對非負整數限制。

張數條件： $x+y=\square$ ；收入： $2x+5y=\square$ 。
使用 $x=10-y$ ： $2(10-y)+5y=32$ 。
所以 $3y=32-20=\square$ ；求 y＝____、x＝____，兩者須為非負整數。

先備3

有 x 名成人、y 名兒童參觀，寫出總人數；不能把票價加進人數。

先備4

速度用 km/h 時，把 1 小時 30 分換成小時。

二元方程組：數量與建模

七下・正文 61–66 頁・正文第 31–33 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

A 票每張 3 元，B 票每張 5 元。共 12 張，收入 44 元。設 x、y 分別為 A、B 票張數，列方程組求解，核對非負整數限制。

獨立練習6

筆記簿每本 x 元，筆每支 y 元。3 本筆記簿及 2 支筆共 19 元；2 本及 5 支共 31 元。求兩種單價。

獨立練習7

船順流速度為 28 km/h，逆流速度為 20 km/h。設靜水船速為 x、水流速度為 y，單位均為 km/h，求 x、y。

獨立練習8

一組共 18 人，成人數是兒童數兩倍。設成人 x 人、兒童 y 人，求兩種人數。

離堂題9

x 是票數，p 是每張票的元數，px 表示甚麼？

總票數，單位張。
速度。
總票價，單位元。

離堂題10

售票模型解得 x＝11/3、y＝7/3，能否四捨五入為 4、2，當作精確解？說明。

二元方程組：數量與建模 — 補練

七下・正文 61–66 頁・正文第 31–33 課時

補練／家課11

長方形周長 30 cm，長 x 比寬 y 多 3 cm，求長、寬。

補練／家課12

筆記簿每本 x 元，筆每支 y 元。4 本筆記簿及 3 支筆共 27 元；2 本及 5 支共 31 元。求兩種單價。

補練／家課13

船順流速度為 34 km/h，逆流速度為 26 km/h。設靜水船速為 x、水流速度為 y，單位均為 km/h，求 x、y。

補練／家課14

機器 A 每小時製 x 件，B 製 y 件。A 工作 2 小時加 B 工作 1 小時共製 26 件；A 工作 1 小時加 B 工作 3 小時共製 33 件。求兩機每小時產量。

進階15

兩作物種植面積為 x、y 公頃，共 100 公頃；每公頃產量分別 2、3 噸，總產量 260 噸。求兩面積，再核對單位。

進階16

A 票每張 2 元，B 票每張 5 元。共 10 張，收入 60 元。設 x、y 分別為 A、B 票張數，列方程組求解，核對非負整數限制。

二元方程組：數量與建模 — 教師解答

七下・正文 61–66 頁・正文第 31–33 課時

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

普通班：先備4、短探究5、示範帶做8、獨立15、訂正5、離堂3分鐘。進階班：探究18、整理4、精選練習13、離堂5分鐘。

先備：會解二元方程組，分清數量、單價、總量、速度及統一時間單位。

普通班取首個指定例作5分鐘概念示範；進階班完成整個探究。

探究與討論：18 分鐘 tickets 探究：先設單價 2、5 元，共 10 張、收入 32 元，在顯示方程前說明兩未知數（3 分）。枚舉及求解，核對非負整數張數與收入（5 分）。保持共 10 張，把兩種單價都改成 3 元，比較收入 30、31 元（6 分）。解釋「獨立資料不足」與「資料矛盾」的分別，再分清實數解及可行票數（4 分）。既有引擎支援同價情況。

教師示範1

筆記簿每本 x 元，筆每支 y 元。2 本筆記簿及 3 支筆共 16 元；4 本及 1 支共 12 元。求兩種單價。

參考答案

$x=2,\quad y=4$ 。

x=2,\quad y=4

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(2)x+(3)y=16\\(4)x+(1)y=12\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(-5)y=-20$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

A 票每張 2 元，B 票每張 5 元。共 10 張，收入 32 元。設 x、y 分別為 A、B 票張數，列方程組求解，核對非負整數限制。

張數條件： $x+y=\square$ ；收入： $2x+5y=\square$ 。
使用 $x=10-y$ ： $2(10-y)+5y=32$ 。
所以 $3y=32-20=\square$ ；求 y＝____、x＝____，兩者須為非負整數。

參考答案

$x=6,\quad y=4$ 。

x=6,\quad y=4

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=10\\(2)x+(5)y=32\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(3)y=12$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=6$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備3

有 x 名成人、y 名兒童參觀，寫出總人數；不能把票價加進人數。

參考答案

$x+y$ 人。

x+y

兩個未知數都是人數，單位一致。
總人數為 x＋y。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

速度用 km/h 時，把 1 小時 30 分換成小時。

參考答案

$\frac{3}{2}$ h。

1+30/60

30 分鐘是 30/60 小時。
共 3/2 小時。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

A 票每張 3 元，B 票每張 5 元。共 12 張，收入 44 元。設 x、y 分別為 A、B 票張數，列方程組求解，核對非負整數限制。

參考答案

$x=8,\quad y=4$ 。

x=8,\quad y=4

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=12\\(3)x+(5)y=44\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $3$ 倍，得 $(0)x+(2)y=8$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=8$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習6

筆記簿每本 x 元，筆每支 y 元。3 本筆記簿及 2 支筆共 19 元；2 本及 5 支共 31 元。求兩種單價。

參考答案

$x=3,\quad y=5$ 。

x=3,\quad y=5

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(3)x+(2)y=19\\(2)x+(5)y=31\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $\frac{2}{3}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{11}{3})y=\frac{55}{3}$ 。
回代得 $y=5$ 。
回代得 $x=3$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

船順流速度為 28 km/h，逆流速度為 20 km/h。設靜水船速為 x、水流速度為 y，單位均為 km/h，求 x、y。

參考答案

$x=24,\quad y=4$ 。

x=24,\quad y=4

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=28\\(1)x+(-1)y=20\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y=-8$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=24$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

一組共 18 人，成人數是兒童數兩倍。設成人 x 人、兒童 y 人，求兩種人數。

參考答案

$x=12,\quad y=6$ 。

x=12,\quad y=6

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(-2)y=0\\(1)x+(1)y=18\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(3)y=18$ 。
回代得 $y=6$ 。
回代得 $x=12$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

x 是票數，p 是每張票的元數，px 表示甚麼？

總票數，單位張。
速度。
總票價，單位元。

參考答案

總票價，單位元。

每張元數乘票數。
張的單位抵消，餘下元。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

售票模型解得 x＝11/3、y＝7/3，能否四捨五入為 4、2，當作精確解？說明。

參考答案

不能。票數須為整數，四捨五入可能破壞原收入條件。

6 張票分別每張 2、5 元時，該分數解的收入是 19 元。
取整成 (4,2) 的收入是 18 元，並非原解。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

長方形周長 30 cm，長 x 比寬 y 多 3 cm，求長、寬。

參考答案

$x=9,\quad y=6$ 。

x=9,\quad y=6

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=15\\(1)x+(-1)y=3\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y=-12$ 。
回代得 $y=6$ 。
回代得 $x=9$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

筆記簿每本 x 元，筆每支 y 元。4 本筆記簿及 3 支筆共 27 元；2 本及 5 支共 31 元。求兩種單價。

參考答案

$x=3,\quad y=5$ 。

x=3,\quad y=5

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(4)x+(3)y=27\\(2)x+(5)y=31\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{7}{2})y=\frac{35}{2}$ 。
回代得 $y=5$ 。
回代得 $x=3$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

船順流速度為 34 km/h，逆流速度為 26 km/h。設靜水船速為 x、水流速度為 y，單位均為 km/h，求 x、y。

參考答案

$x=30,\quad y=4$ 。

x=30,\quad y=4

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=34\\(1)x+(-1)y=26\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y=-8$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=30$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

機器 A 每小時製 x 件，B 製 y 件。A 工作 2 小時加 B 工作 1 小時共製 26 件；A 工作 1 小時加 B 工作 3 小時共製 33 件。求兩機每小時產量。

參考答案

$x=9,\quad y=8$ 。

x=9,\quad y=8

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(2)x+(1)y=26\\(1)x+(3)y=33\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{5}{2})y=20$ 。
回代得 $y=8$ 。
回代得 $x=9$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

兩作物種植面積為 x、y 公頃，共 100 公頃；每公頃產量分別 2、3 噸，總產量 260 噸。求兩面積，再核對單位。

參考答案

$x=40,\quad y=60$ 。

x=40,\quad y=60

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=100\\(2)x+(3)y=260\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(1)y=60$ 。
回代得 $y=60$ 。
回代得 $x=40$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

A 票每張 2 元，B 票每張 5 元。共 10 張，收入 60 元。設 x、y 分別為 A、B 票張數，列方程組求解，核對非負整數限制。

參考答案

沒有可行票數。實數解為 $x=-\frac{10}{3},\ y=\frac{40}{3}$ ，而 60 元超過最高可能收入 50 元。

x=\frac{-10}{3},\quad y=\frac{40}{3}

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=10\\(2)x+(5)y=60\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(3)y=40$ 。
回代得 $y=\frac{40}{3}$ 。
回代得 $x=\frac{-10}{3}$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。