紙筆・推理・練習

二元方程組：數量與建模｜教師參考

說明未知數、統一單位、列獨立條件，再檢查情境可行性。

40 分鐘 · 七下・正文 61–66 頁・正文第 31–33 課時

教材對照：七下第8章二元一次方程組・正文第31–33課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。查看下冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

學生課堂頁在研習室安排題單

課堂路線課堂環節

4′先備檢查
5′短探究／概念示範
8′示範與帶做
15′獨立練習
5′訂正
3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

18 分鐘 tickets 探究：先設單價 2、5 元，共 10 張、收入 32 元，在顯示方程前說明兩未知數（3 分）。枚舉及求解，核對非負整數張數與收入（5 分）。保持共 10 張，把兩種單價都改成 3 元，比較收入 30、31 元（6 分）。解釋「獨立資料不足」與「資料矛盾」的分別，再分清實數解及可行票數（4 分）。既有引擎支援同價情況。

整理關鍵概念

說明未知數、統一單位、列獨立條件，再檢查情境可行性。

開啟原章節開啟互動探究

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

普通班用首個指定例作5分鐘概念示範；進階班按完整18分鐘探究，先寫預測再核對。

教師示範1

筆記簿每本 x 元，筆每支 y 元。2 本筆記簿及 3 支筆共 16 元；4 本及 1 支共 12 元。求兩種單價。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(2)x+(3)y=16\\(4)x+(1)y=12\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(-5)y=-20$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

A 票每張 2 元，B 票每張 5 元。共 10 張，收入 32 元。設 x、y 分別為 A、B 票張數，列方程組求解，核對非負整數限制。

張數條件： $x+y=\square$ ；收入： $2x+5y=\square$ 。
使用 $x=10-y$ ： $2(10-y)+5y=32$ 。
所以 $3y=32-20=\square$ ；求 y＝____、x＝____，兩者須為非負整數。

10 是張數，32 是元數。
每張 A 票貢獻 2 元、B 票 5 元，要用兩個獨立條件。
把 x＝10−y 代入 2x＋5y＝32，求解後核對張數及收入。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=10\\(2)x+(5)y=32\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(3)y=12$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=6$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備3

有 x 名成人、y 名兒童參觀，寫出總人數；不能把票價加進人數。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

兩個未知數都是人數，單位一致。
總人數為 x＋y。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

速度用 km/h 時，把 1 小時 30 分換成小時。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

30 分鐘是 30/60 小時。
共 3/2 小時。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

A 票每張 3 元，B 票每張 5 元。共 12 張，收入 44 元。設 x、y 分別為 A、B 票張數，列方程組求解，核對非負整數限制。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=12\\(3)x+(5)y=44\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $3$ 倍，得 $(0)x+(2)y=8$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=8$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習6

筆記簿每本 x 元，筆每支 y 元。3 本筆記簿及 2 支筆共 19 元；2 本及 5 支共 31 元。求兩種單價。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(3)x+(2)y=19\\(2)x+(5)y=31\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $\frac{2}{3}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{11}{3})y=\frac{55}{3}$ 。
回代得 $y=5$ 。
回代得 $x=3$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

船順流速度為 28 km/h，逆流速度為 20 km/h。設靜水船速為 x、水流速度為 y，單位均為 km/h，求 x、y。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=28\\(1)x+(-1)y=20\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y=-8$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=24$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

一組共 18 人，成人數是兒童數兩倍。設成人 x 人、兒童 y 人，求兩種人數。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(-2)y=0\\(1)x+(1)y=18\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(3)y=18$ 。
回代得 $y=6$ 。
回代得 $x=12$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

x 是票數，p 是每張票的元數，px 表示甚麼？

總票數，單位張。
速度。
總票價，單位元。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

每張元數乘票數。
張的單位抵消，餘下元。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

售票模型解得 x＝11/3、y＝7/3，能否四捨五入為 4、2，當作精確解？說明。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

6 張票分別每張 2、5 元時，該分數解的收入是 19 元。
取整成 (4,2) 的收入是 18 元，並非原解。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

長方形周長 30 cm，長 x 比寬 y 多 3 cm，求長、寬。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=15\\(1)x+(-1)y=3\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y=-12$ 。
回代得 $y=6$ 。
回代得 $x=9$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

筆記簿每本 x 元，筆每支 y 元。4 本筆記簿及 3 支筆共 27 元；2 本及 5 支共 31 元。求兩種單價。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(4)x+(3)y=27\\(2)x+(5)y=31\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{7}{2})y=\frac{35}{2}$ 。
回代得 $y=5$ 。
回代得 $x=3$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

船順流速度為 34 km/h，逆流速度為 26 km/h。設靜水船速為 x、水流速度為 y，單位均為 km/h，求 x、y。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=34\\(1)x+(-1)y=26\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y=-8$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=30$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

機器 A 每小時製 x 件，B 製 y 件。A 工作 2 小時加 B 工作 1 小時共製 26 件；A 工作 1 小時加 B 工作 3 小時共製 33 件。求兩機每小時產量。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(2)x+(1)y=26\\(1)x+(3)y=33\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{5}{2})y=20$ 。
回代得 $y=8$ 。
回代得 $x=9$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

兩作物種植面積為 x、y 公頃，共 100 公頃；每公頃產量分別 2、3 噸，總產量 260 噸。求兩面積，再核對單位。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=100\\(2)x+(3)y=260\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(1)y=60$ 。
回代得 $y=60$ 。
回代得 $x=40$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

A 票每張 2 元，B 票每張 5 元。共 10 張，收入 60 元。設 x、y 分別為 A、B 票張數，列方程組求解，核對非負整數限制。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=10\\(2)x+(5)y=60\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(3)y=40$ 。
回代得 $y=\frac{40}{3}$ 。
回代得 $x=\frac{-10}{3}$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

備課與評量說明

先備要求

會解二元方程組，分清數量、單價、總量、速度及統一時間單位。

觀察學生作答

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

全部參考答案

教師示範1

筆記簿每本 x 元，筆每支 y 元。2 本筆記簿及 3 支筆共 16 元；4 本及 1 支共 12 元。求兩種單價。

參考答案

$x=2,\quad y=4$ 。

x=2,\quad y=4

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(2)x+(3)y=16\\(4)x+(1)y=12\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(-5)y=-20$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

A 票每張 2 元，B 票每張 5 元。共 10 張，收入 32 元。設 x、y 分別為 A、B 票張數，列方程組求解，核對非負整數限制。

張數條件： $x+y=\square$ ；收入： $2x+5y=\square$ 。
使用 $x=10-y$ ： $2(10-y)+5y=32$ 。
所以 $3y=32-20=\square$ ；求 y＝____、x＝____，兩者須為非負整數。

參考答案

$x=6,\quad y=4$ 。

x=6,\quad y=4

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=10\\(2)x+(5)y=32\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(3)y=12$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=6$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備3

有 x 名成人、y 名兒童參觀，寫出總人數；不能把票價加進人數。

參考答案

$x+y$ 人。

x+y

兩個未知數都是人數，單位一致。
總人數為 x＋y。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

速度用 km/h 時，把 1 小時 30 分換成小時。

參考答案

$\frac{3}{2}$ h。

1+30/60

30 分鐘是 30/60 小時。
共 3/2 小時。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

A 票每張 3 元，B 票每張 5 元。共 12 張，收入 44 元。設 x、y 分別為 A、B 票張數，列方程組求解，核對非負整數限制。

參考答案

$x=8,\quad y=4$ 。

x=8,\quad y=4

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=12\\(3)x+(5)y=44\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $3$ 倍，得 $(0)x+(2)y=8$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=8$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習6

筆記簿每本 x 元，筆每支 y 元。3 本筆記簿及 2 支筆共 19 元；2 本及 5 支共 31 元。求兩種單價。

參考答案

$x=3,\quad y=5$ 。

x=3,\quad y=5

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(3)x+(2)y=19\\(2)x+(5)y=31\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $\frac{2}{3}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{11}{3})y=\frac{55}{3}$ 。
回代得 $y=5$ 。
回代得 $x=3$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

船順流速度為 28 km/h，逆流速度為 20 km/h。設靜水船速為 x、水流速度為 y，單位均為 km/h，求 x、y。

參考答案

$x=24,\quad y=4$ 。

x=24,\quad y=4

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=28\\(1)x+(-1)y=20\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y=-8$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=24$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

一組共 18 人，成人數是兒童數兩倍。設成人 x 人、兒童 y 人，求兩種人數。

參考答案

$x=12,\quad y=6$ 。

x=12,\quad y=6

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(-2)y=0\\(1)x+(1)y=18\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(3)y=18$ 。
回代得 $y=6$ 。
回代得 $x=12$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

x 是票數，p 是每張票的元數，px 表示甚麼？

總票數，單位張。
速度。
總票價，單位元。

參考答案

總票價，單位元。

每張元數乘票數。
張的單位抵消，餘下元。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

售票模型解得 x＝11/3、y＝7/3，能否四捨五入為 4、2，當作精確解？說明。

參考答案

不能。票數須為整數，四捨五入可能破壞原收入條件。

6 張票分別每張 2、5 元時，該分數解的收入是 19 元。
取整成 (4,2) 的收入是 18 元，並非原解。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

長方形周長 30 cm，長 x 比寬 y 多 3 cm，求長、寬。

參考答案

$x=9,\quad y=6$ 。

x=9,\quad y=6

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=15\\(1)x+(-1)y=3\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y=-12$ 。
回代得 $y=6$ 。
回代得 $x=9$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

筆記簿每本 x 元，筆每支 y 元。4 本筆記簿及 3 支筆共 27 元；2 本及 5 支共 31 元。求兩種單價。

參考答案

$x=3,\quad y=5$ 。

x=3,\quad y=5

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(4)x+(3)y=27\\(2)x+(5)y=31\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{7}{2})y=\frac{35}{2}$ 。
回代得 $y=5$ 。
回代得 $x=3$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

船順流速度為 34 km/h，逆流速度為 26 km/h。設靜水船速為 x、水流速度為 y，單位均為 km/h，求 x、y。

參考答案

$x=30,\quad y=4$ 。

x=30,\quad y=4

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=34\\(1)x+(-1)y=26\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y=-8$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=30$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

機器 A 每小時製 x 件，B 製 y 件。A 工作 2 小時加 B 工作 1 小時共製 26 件；A 工作 1 小時加 B 工作 3 小時共製 33 件。求兩機每小時產量。

參考答案

$x=9,\quad y=8$ 。

x=9,\quad y=8

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(2)x+(1)y=26\\(1)x+(3)y=33\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{5}{2})y=20$ 。
回代得 $y=8$ 。
回代得 $x=9$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

兩作物種植面積為 x、y 公頃，共 100 公頃；每公頃產量分別 2、3 噸，總產量 260 噸。求兩面積，再核對單位。

參考答案

$x=40,\quad y=60$ 。

x=40,\quad y=60

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=100\\(2)x+(3)y=260\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(1)y=60$ 。
回代得 $y=60$ 。
回代得 $x=40$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

A 票每張 2 元，B 票每張 5 元。共 10 張，收入 60 元。設 x、y 分別為 A、B 票張數，列方程組求解，核對非負整數限制。

參考答案

沒有可行票數。實數解為 $x=-\frac{10}{3},\ y=\frac{40}{3}$ ，而 60 元超過最高可能收入 50 元。

x=\frac{-10}{3},\quad y=\frac{40}{3}

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=10\\(2)x+(5)y=60\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(3)y=40$ 。
回代得 $y=\frac{40}{3}$ 。
回代得 $x=\frac{-10}{3}$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

列印版本

教材對照與編寫

對應教材教學後使用的 40 分鐘原創核心鞏固，並非代替每節新授課；來源對照只限已提供正文。

大湾区初中数学三维课堂（七年级下册）正文.pdf

七下・正文 61–66 頁・正文第 31–33 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

二元方程組：數量與建模

七下・正文 61–66 頁・正文第 31–33 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

筆記簿每本 x 元，筆每支 y 元。2 本筆記簿及 3 支筆共 16 元；4 本及 1 支共 12 元。求兩種單價。

帶做2

A 票每張 2 元，B 票每張 5 元。共 10 張，收入 32 元。設 x、y 分別為 A、B 票張數，列方程組求解，核對非負整數限制。

張數條件： $x+y=\square$ ；收入： $2x+5y=\square$ 。
使用 $x=10-y$ ： $2(10-y)+5y=32$ 。
所以 $3y=32-20=\square$ ；求 y＝____、x＝____，兩者須為非負整數。

先備3

有 x 名成人、y 名兒童參觀，寫出總人數；不能把票價加進人數。

先備4

速度用 km/h 時，把 1 小時 30 分換成小時。

二元方程組：數量與建模

七下・正文 61–66 頁・正文第 31–33 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

A 票每張 3 元，B 票每張 5 元。共 12 張，收入 44 元。設 x、y 分別為 A、B 票張數，列方程組求解，核對非負整數限制。

獨立練習6

筆記簿每本 x 元，筆每支 y 元。3 本筆記簿及 2 支筆共 19 元；2 本及 5 支共 31 元。求兩種單價。

獨立練習7

船順流速度為 28 km/h，逆流速度為 20 km/h。設靜水船速為 x、水流速度為 y，單位均為 km/h，求 x、y。

獨立練習8

一組共 18 人，成人數是兒童數兩倍。設成人 x 人、兒童 y 人，求兩種人數。

離堂題9

x 是票數，p 是每張票的元數，px 表示甚麼？

總票數，單位張。
速度。
總票價，單位元。

離堂題10

售票模型解得 x＝11/3、y＝7/3，能否四捨五入為 4、2，當作精確解？說明。

二元方程組：數量與建模 — 補練

七下・正文 61–66 頁・正文第 31–33 課時

補練／家課11

長方形周長 30 cm，長 x 比寬 y 多 3 cm，求長、寬。

補練／家課12

筆記簿每本 x 元，筆每支 y 元。4 本筆記簿及 3 支筆共 27 元；2 本及 5 支共 31 元。求兩種單價。

補練／家課13

船順流速度為 34 km/h，逆流速度為 26 km/h。設靜水船速為 x、水流速度為 y，單位均為 km/h，求 x、y。

補練／家課14

機器 A 每小時製 x 件，B 製 y 件。A 工作 2 小時加 B 工作 1 小時共製 26 件；A 工作 1 小時加 B 工作 3 小時共製 33 件。求兩機每小時產量。

進階15

兩作物種植面積為 x、y 公頃，共 100 公頃；每公頃產量分別 2、3 噸，總產量 260 噸。求兩面積，再核對單位。

進階16

A 票每張 2 元，B 票每張 5 元。共 10 張，收入 60 元。設 x、y 分別為 A、B 票張數，列方程組求解，核對非負整數限制。

二元方程組：數量與建模 — 教師解答

七下・正文 61–66 頁・正文第 31–33 課時

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

普通班：先備4、短探究5、示範帶做8、獨立15、訂正5、離堂3分鐘。進階班：探究18、整理4、精選練習13、離堂5分鐘。

先備：會解二元方程組，分清數量、單價、總量、速度及統一時間單位。

普通班取首個指定例作5分鐘概念示範；進階班完成整個探究。

探究與討論：18 分鐘 tickets 探究：先設單價 2、5 元，共 10 張、收入 32 元，在顯示方程前說明兩未知數（3 分）。枚舉及求解，核對非負整數張數與收入（5 分）。保持共 10 張，把兩種單價都改成 3 元，比較收入 30、31 元（6 分）。解釋「獨立資料不足」與「資料矛盾」的分別，再分清實數解及可行票數（4 分）。既有引擎支援同價情況。

教師示範1

筆記簿每本 x 元，筆每支 y 元。2 本筆記簿及 3 支筆共 16 元；4 本及 1 支共 12 元。求兩種單價。

參考答案

$x=2,\quad y=4$ 。

x=2,\quad y=4

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(2)x+(3)y=16\\(4)x+(1)y=12\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(-5)y=-20$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

A 票每張 2 元，B 票每張 5 元。共 10 張，收入 32 元。設 x、y 分別為 A、B 票張數，列方程組求解，核對非負整數限制。

張數條件： $x+y=\square$ ；收入： $2x+5y=\square$ 。
使用 $x=10-y$ ： $2(10-y)+5y=32$ 。
所以 $3y=32-20=\square$ ；求 y＝____、x＝____，兩者須為非負整數。

參考答案

$x=6,\quad y=4$ 。

x=6,\quad y=4

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=10\\(2)x+(5)y=32\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(3)y=12$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=6$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備3

有 x 名成人、y 名兒童參觀，寫出總人數；不能把票價加進人數。

參考答案

$x+y$ 人。

x+y

兩個未知數都是人數，單位一致。
總人數為 x＋y。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

速度用 km/h 時，把 1 小時 30 分換成小時。

參考答案

$\frac{3}{2}$ h。

1+30/60

30 分鐘是 30/60 小時。
共 3/2 小時。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

A 票每張 3 元，B 票每張 5 元。共 12 張，收入 44 元。設 x、y 分別為 A、B 票張數，列方程組求解，核對非負整數限制。

參考答案

$x=8,\quad y=4$ 。

x=8,\quad y=4

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=12\\(3)x+(5)y=44\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $3$ 倍，得 $(0)x+(2)y=8$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=8$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習6

筆記簿每本 x 元，筆每支 y 元。3 本筆記簿及 2 支筆共 19 元；2 本及 5 支共 31 元。求兩種單價。

參考答案

$x=3,\quad y=5$ 。

x=3,\quad y=5

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(3)x+(2)y=19\\(2)x+(5)y=31\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $\frac{2}{3}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{11}{3})y=\frac{55}{3}$ 。
回代得 $y=5$ 。
回代得 $x=3$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

船順流速度為 28 km/h，逆流速度為 20 km/h。設靜水船速為 x、水流速度為 y，單位均為 km/h，求 x、y。

參考答案

$x=24,\quad y=4$ 。

x=24,\quad y=4

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=28\\(1)x+(-1)y=20\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y=-8$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=24$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

一組共 18 人，成人數是兒童數兩倍。設成人 x 人、兒童 y 人，求兩種人數。

參考答案

$x=12,\quad y=6$ 。

x=12,\quad y=6

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(-2)y=0\\(1)x+(1)y=18\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(3)y=18$ 。
回代得 $y=6$ 。
回代得 $x=12$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

x 是票數，p 是每張票的元數，px 表示甚麼？

總票數，單位張。
速度。
總票價，單位元。

參考答案

總票價，單位元。

每張元數乘票數。
張的單位抵消，餘下元。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

售票模型解得 x＝11/3、y＝7/3，能否四捨五入為 4、2，當作精確解？說明。

參考答案

不能。票數須為整數，四捨五入可能破壞原收入條件。

6 張票分別每張 2、5 元時，該分數解的收入是 19 元。
取整成 (4,2) 的收入是 18 元，並非原解。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

長方形周長 30 cm，長 x 比寬 y 多 3 cm，求長、寬。

參考答案

$x=9,\quad y=6$ 。

x=9,\quad y=6

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=15\\(1)x+(-1)y=3\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y=-12$ 。
回代得 $y=6$ 。
回代得 $x=9$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

筆記簿每本 x 元，筆每支 y 元。4 本筆記簿及 3 支筆共 27 元；2 本及 5 支共 31 元。求兩種單價。

參考答案

$x=3,\quad y=5$ 。

x=3,\quad y=5

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(4)x+(3)y=27\\(2)x+(5)y=31\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{7}{2})y=\frac{35}{2}$ 。
回代得 $y=5$ 。
回代得 $x=3$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

船順流速度為 34 km/h，逆流速度為 26 km/h。設靜水船速為 x、水流速度為 y，單位均為 km/h，求 x、y。

參考答案

$x=30,\quad y=4$ 。

x=30,\quad y=4

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=34\\(1)x+(-1)y=26\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y=-8$ 。
回代得 $y=4$ 。
回代得 $x=30$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

機器 A 每小時製 x 件，B 製 y 件。A 工作 2 小時加 B 工作 1 小時共製 26 件；A 工作 1 小時加 B 工作 3 小時共製 33 件。求兩機每小時產量。

參考答案

$x=9,\quad y=8$ 。

x=9,\quad y=8

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(2)x+(1)y=26\\(1)x+(3)y=33\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{5}{2})y=20$ 。
回代得 $y=8$ 。
回代得 $x=9$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

兩作物種植面積為 x、y 公頃，共 100 公頃；每公頃產量分別 2、3 噸，總產量 260 噸。求兩面積，再核對單位。

參考答案

$x=40,\quad y=60$ 。

x=40,\quad y=60

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=100\\(2)x+(3)y=260\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(1)y=60$ 。
回代得 $y=60$ 。
回代得 $x=40$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

A 票每張 2 元，B 票每張 5 元。共 10 張，收入 60 元。設 x、y 分別為 A、B 票張數，列方程組求解，核對非負整數限制。

參考答案

沒有可行票數。實數解為 $x=-\frac{10}{3},\ y=\frac{40}{3}$ ，而 60 元超過最高可能收入 50 元。

x=\frac{-10}{3},\quad y=\frac{40}{3}

依所設未知數，兩個獨立條件給 $\begin{cases}(1)x+(1)y=10\\(2)x+(5)y=60\end{cases}$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(3)y=40$ 。
回代得 $y=\frac{40}{3}$ 。
回代得 $x=\frac{-10}{3}$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。
按題意解釋兩值及單位，核對非負或整數限制。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。