紙筆・推理・練習

一次不等式：方向與端點｜教師參考

保持等價條件，除以負數時反向，並表示完整解集。

40 分鐘 · 七下・正文 71–78 頁・正文第 36–39 課時

教材對照：七下第9章不等式與不等式組・正文第36–39課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。查看下冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

學生課堂頁在研習室安排題單

課堂路線課堂環節

4′先備檢查
5′短探究／概念示範
8′示範與帶做
15′獨立練習
5′訂正
3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

18 分鐘數軸紙卡：由 −3<1 出發，預測兩邊加 5、乘 2、乘 −2 時次序如何改變（3 分）。把結果數對標在共同數軸，比較哪種操作反轉位置（6 分）。分別解 3x>6、−3x>6，再把 x＝3、x＝−3 代回兩原不等式（6 分）。說明減法本身為何不反向，並畫嚴格不等式所需空心端點（3 分）。

整理關鍵概念

保持等價條件，除以負數時反向，並表示完整解集。

開啟原章節開啟互動探究

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

普通班用首個指定例作5分鐘概念示範；進階班按完整18分鐘探究，先寫預測再核對。

教師示範1

解不等式。

3-2x\geq7

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-2x\geq4$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x\leq-2$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

解不等式。

2(x-1)<x+5

把 $2(x-1)<x+5$ 展開為 $2x-\square<x+5$ 。
兩邊減 x、加 2： $x<5+\square$ 。
所以 $x<\square$ ；判斷是否包含邊界。

括號內兩項都要乘 2。
兩邊減 x，再兩邊加 2。
最後 x 係數為正，保留嚴格方向及空心端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $1x<7$ 。
除以正係數，不等號方向不變。
解集是 $x<7$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備3

x＝3 滿足 $2x+1>8$ 嗎？

不滿足；7 不大於 8。
滿足；所有正 x 都可以。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

左邊代入 3：2×3＋1＝7。
7>8 不成立。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

由 −3<1 出發，兩邊乘 −2，得到哪個真不等式？

$6<-2$
$6>-2$

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

兩個積為 6、−2。
乘負數時方向反轉。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

解不等式，並在空白數軸表示解集。

-3x>6

依已知條件及所標刻度作答。

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-3x>6$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x<-2$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習6

解不等式。

5x-4\leq11

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $5x\leq15$ 。
除以正係數，不等號方向不變。
解集是 $x\leq3$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

解不等式。

\frac{x+1}{2}>\frac{x-2}{3}

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $\frac{1}{6}x>\frac{-7}{6}$ 。
除以正係數，不等號方向不變。
解集是 $x>-7$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

解不等式。

4-2(x+1)\geq x-7

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-3x\geq-9$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x\leq3$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

解不等式。

-x\leq4

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-1x\leq4$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x\geq-4$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

$x\leq3$ 的端點應怎樣標？

3 處實心點，向左延伸。
3 處空心點，向左延伸。
3 處實心點，向右延伸。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

允許相等，所以包含 3。
較小的數在左方。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

解不等式。

2x+3<7

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $2x<4$ 。
除以正係數，不等號方向不變。
解集是 $x<2$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

解不等式。

3x+2\geq5x-6

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-2x\geq-8$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x\leq4$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

解不等式。

-4(x-2)>12

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-4x>4$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x<-1$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

讀所給數軸，寫出解集；實心端點表示包含該值。

依已知條件及所標刻度作答。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

標示部分由 2 向右延伸。
實心端點包含相等：x≥2。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

解不等式。

2x+1<2x+3

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $0x<2$ 。
所得常數不等式恆真。
解集是 $x\in\mathbb{R}$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

解不等式。

2x+5\leq2x+1

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $0x\leq-4$ 。
所得常數不等式不成立。
解集是 $\varnothing$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

備課與評量說明

先備要求

比較有向數、解簡單方程，辨認嚴格與非嚴格不等號。

觀察學生作答

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

全部參考答案

教師示範1

解不等式。

3-2x\geq7

參考答案

$x\leq-2$ 。

x\leq-2

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-2x\geq4$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x\leq-2$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

解不等式。

2(x-1)<x+5

把 $2(x-1)<x+5$ 展開為 $2x-\square<x+5$ 。
兩邊減 x、加 2： $x<5+\square$ 。
所以 $x<\square$ ；判斷是否包含邊界。

參考答案

$x<7$ 。

x<7

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $1x<7$ 。
除以正係數，不等號方向不變。
解集是 $x<7$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備3

x＝3 滿足 $2x+1>8$ 嗎？

不滿足；7 不大於 8。
滿足；所有正 x 都可以。

參考答案

不滿足；7 不大於 8。

左邊代入 3：2×3＋1＝7。
7>8 不成立。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

由 −3<1 出發，兩邊乘 −2，得到哪個真不等式？

$6<-2$
$6>-2$

參考答案

$6>-2$

兩個積為 6、−2。
乘負數時方向反轉。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

解不等式，並在空白數軸表示解集。

-3x>6

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

$x<-2$ 。

x<-2

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-3x>6$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x<-2$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

依已知條件及所標刻度作答。

獨立練習6

解不等式。

5x-4\leq11

參考答案

$x\leq3$ 。

x\leq3

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $5x\leq15$ 。
除以正係數，不等號方向不變。
解集是 $x\leq3$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

解不等式。

\frac{x+1}{2}>\frac{x-2}{3}

參考答案

$x>-7$ 。

x>-7

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $\frac{1}{6}x>\frac{-7}{6}$ 。
除以正係數，不等號方向不變。
解集是 $x>-7$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

解不等式。

4-2(x+1)\geq x-7

參考答案

$x\leq3$ 。

x\leq3

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-3x\geq-9$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x\leq3$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

解不等式。

-x\leq4

參考答案

$x\geq-4$ 。

x\geq-4

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-1x\leq4$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x\geq-4$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

$x\leq3$ 的端點應怎樣標？

3 處實心點，向左延伸。
3 處空心點，向左延伸。
3 處實心點，向右延伸。

參考答案

3 處實心點，向左延伸。

允許相等，所以包含 3。
較小的數在左方。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

解不等式。

2x+3<7

參考答案

$x<2$ 。

x<2

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $2x<4$ 。
除以正係數，不等號方向不變。
解集是 $x<2$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

解不等式。

3x+2\geq5x-6

參考答案

$x\leq4$ 。

x\leq4

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-2x\geq-8$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x\leq4$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

解不等式。

-4(x-2)>12

參考答案

$x<-1$ 。

x<-1

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-4x>4$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x<-1$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

讀所給數軸，寫出解集；實心端點表示包含該值。

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

$x\geq2$

x\geq2

標示部分由 2 向右延伸。
實心端點包含相等：x≥2。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

依已知條件及所標刻度作答。

進階15

解不等式。

2x+1<2x+3

參考答案

$x\in\mathbb{R}$ 。

x\in\mathbb{R}

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $0x<2$ 。
所得常數不等式恆真。
解集是 $x\in\mathbb{R}$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

解不等式。

2x+5\leq2x+1

參考答案

$\varnothing$ 。

\varnothing

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $0x\leq-4$ 。
所得常數不等式不成立。
解集是 $\varnothing$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

列印版本

教材對照與編寫

對應教材教學後使用的 40 分鐘原創核心鞏固，並非代替每節新授課；來源對照只限已提供正文。

大湾区初中数学三维课堂（七年级下册）正文.pdf

七下・正文 71–78 頁・正文第 36–39 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

一次不等式：方向與端點

七下・正文 71–78 頁・正文第 36–39 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

解不等式。

3-2x\geq7

帶做2

解不等式。

2(x-1)<x+5

把 $2(x-1)<x+5$ 展開為 $2x-\square<x+5$ 。
兩邊減 x、加 2： $x<5+\square$ 。
所以 $x<\square$ ；判斷是否包含邊界。

先備3

x＝3 滿足 $2x+1>8$ 嗎？

不滿足；7 不大於 8。
滿足；所有正 x 都可以。

先備4

由 −3<1 出發，兩邊乘 −2，得到哪個真不等式？

$6<-2$
$6>-2$

一次不等式：方向與端點

七下・正文 71–78 頁・正文第 36–39 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

解不等式，並在空白數軸表示解集。

-3x>6

依已知條件及所標刻度作答。

獨立練習6

解不等式。

5x-4\leq11

獨立練習7

解不等式。

\frac{x+1}{2}>\frac{x-2}{3}

獨立練習8

解不等式。

4-2(x+1)\geq x-7

離堂題9

解不等式。

-x\leq4

離堂題10

$x\leq3$ 的端點應怎樣標？

3 處實心點，向左延伸。
3 處空心點，向左延伸。
3 處實心點，向右延伸。

一次不等式：方向與端點 — 補練

七下・正文 71–78 頁・正文第 36–39 課時

補練／家課11

解不等式。

2x+3<7

補練／家課12

解不等式。

3x+2\geq5x-6

補練／家課13

解不等式。

-4(x-2)>12

補練／家課14

讀所給數軸，寫出解集；實心端點表示包含該值。

依已知條件及所標刻度作答。

進階15

解不等式。

2x+1<2x+3

進階16

解不等式。

2x+5\leq2x+1

一次不等式：方向與端點 — 教師解答

七下・正文 71–78 頁・正文第 36–39 課時

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

普通班：先備4、短探究5、示範帶做8、獨立15、訂正5、離堂3分鐘。進階班：探究18、整理4、精選練習13、離堂5分鐘。

先備：比較有向數、解簡單方程，辨認嚴格與非嚴格不等號。

普通班取首個指定例作5分鐘概念示範；進階班完成整個探究。

探究與討論：18 分鐘數軸紙卡：由 −3<1 出發，預測兩邊加 5、乘 2、乘 −2 時次序如何改變（3 分）。把結果數對標在共同數軸，比較哪種操作反轉位置（6 分）。分別解 3x>6、−3x>6，再把 x＝3、x＝−3 代回兩原不等式（6 分）。說明減法本身為何不反向，並畫嚴格不等式所需空心端點（3 分）。

教師示範1

解不等式。

3-2x\geq7

參考答案

$x\leq-2$ 。

x\leq-2

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-2x\geq4$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x\leq-2$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

解不等式。

2(x-1)<x+5

把 $2(x-1)<x+5$ 展開為 $2x-\square<x+5$ 。
兩邊減 x、加 2： $x<5+\square$ 。
所以 $x<\square$ ；判斷是否包含邊界。

參考答案

$x<7$ 。

x<7

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $1x<7$ 。
除以正係數，不等號方向不變。
解集是 $x<7$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備3

x＝3 滿足 $2x+1>8$ 嗎？

不滿足；7 不大於 8。
滿足；所有正 x 都可以。

參考答案

不滿足；7 不大於 8。

左邊代入 3：2×3＋1＝7。
7>8 不成立。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

由 −3<1 出發，兩邊乘 −2，得到哪個真不等式？

$6<-2$
$6>-2$

參考答案

$6>-2$

兩個積為 6、−2。
乘負數時方向反轉。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

解不等式，並在空白數軸表示解集。

-3x>6

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

$x<-2$ 。

x<-2

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-3x>6$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x<-2$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

依已知條件及所標刻度作答。

獨立練習6

解不等式。

5x-4\leq11

參考答案

$x\leq3$ 。

x\leq3

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $5x\leq15$ 。
除以正係數，不等號方向不變。
解集是 $x\leq3$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

解不等式。

\frac{x+1}{2}>\frac{x-2}{3}

參考答案

$x>-7$ 。

x>-7

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $\frac{1}{6}x>\frac{-7}{6}$ 。
除以正係數，不等號方向不變。
解集是 $x>-7$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

解不等式。

4-2(x+1)\geq x-7

參考答案

$x\leq3$ 。

x\leq3

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-3x\geq-9$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x\leq3$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

解不等式。

-x\leq4

參考答案

$x\geq-4$ 。

x\geq-4

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-1x\leq4$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x\geq-4$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

$x\leq3$ 的端點應怎樣標？

3 處實心點，向左延伸。
3 處空心點，向左延伸。
3 處實心點，向右延伸。

參考答案

3 處實心點，向左延伸。

允許相等，所以包含 3。
較小的數在左方。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

解不等式。

2x+3<7

參考答案

$x<2$ 。

x<2

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $2x<4$ 。
除以正係數，不等號方向不變。
解集是 $x<2$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

解不等式。

3x+2\geq5x-6

參考答案

$x\leq4$ 。

x\leq4

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-2x\geq-8$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x\leq4$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

解不等式。

-4(x-2)>12

參考答案

$x<-1$ 。

x<-1

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-4x>4$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x<-1$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

讀所給數軸，寫出解集；實心端點表示包含該值。

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

$x\geq2$

x\geq2

標示部分由 2 向右延伸。
實心端點包含相等：x≥2。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

依已知條件及所標刻度作答。

進階15

解不等式。

2x+1<2x+3

參考答案

$x\in\mathbb{R}$ 。

x\in\mathbb{R}

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $0x<2$ 。
所得常數不等式恆真。
解集是 $x\in\mathbb{R}$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

解不等式。

2x+5\leq2x+1

參考答案

$\varnothing$ 。

\varnothing

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $0x\leq-4$ 。
所得常數不等式不成立。
解集是 $\varnothing$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。