紙筆・推理・練習

一次不等式：方向與端點

保持等價條件，除以負數時反向，並表示完整解集。

40 分鐘 · 七下・正文 71–78 頁・正文第 36–39 課時

教材對照：七下第9章不等式與不等式組・正文第36–39課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。查看下冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

教師參考在研習室安排題單

課堂路線課堂環節

4′先備檢查
5′短探究／概念示範
8′示範與帶做
15′獨立練習
5′訂正
3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

18 分鐘數軸紙卡：由 −3<1 出發，預測兩邊加 5、乘 2、乘 −2 時次序如何改變（3 分）。把結果數對標在共同數軸，比較哪種操作反轉位置（6 分）。分別解 3x>6、−3x>6，再把 x＝3、x＝−3 代回兩原不等式（6 分）。說明減法本身為何不反向，並畫嚴格不等式所需空心端點（3 分）。

整理關鍵概念

保持等價條件，除以負數時反向，並表示完整解集。

開啟原章節開啟互動探究

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

普通班用首個指定例作5分鐘概念示範；進階班按完整18分鐘探究，先寫預測再核對。

教師示範1

解不等式。

3-2x\geq7

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-2x\geq4$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x\leq-2$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

解不等式。

2(x-1)<x+5

把 $2(x-1)<x+5$ 展開為 $2x-\square<x+5$ 。
兩邊減 x、加 2： $x<5+\square$ 。
所以 $x<\square$ ；判斷是否包含邊界。

括號內兩項都要乘 2。
兩邊減 x，再兩邊加 2。
最後 x 係數為正，保留嚴格方向及空心端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $1x<7$ 。
除以正係數，不等號方向不變。
解集是 $x<7$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備3

x＝3 滿足 $2x+1>8$ 嗎？

不滿足；7 不大於 8。
滿足；所有正 x 都可以。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

左邊代入 3：2×3＋1＝7。
7>8 不成立。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

由 −3<1 出發，兩邊乘 −2，得到哪個真不等式？

$6<-2$
$6>-2$

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

兩個積為 6、−2。
乘負數時方向反轉。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

解不等式，並在空白數軸表示解集。

-3x>6

依已知條件及所標刻度作答。

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-3x>6$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x<-2$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習6

解不等式。

5x-4\leq11

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $5x\leq15$ 。
除以正係數，不等號方向不變。
解集是 $x\leq3$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

解不等式。

\frac{x+1}{2}>\frac{x-2}{3}

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $\frac{1}{6}x>\frac{-7}{6}$ 。
除以正係數，不等號方向不變。
解集是 $x>-7$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

解不等式。

4-2(x+1)\geq x-7

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-3x\geq-9$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x\leq3$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

解不等式。

-x\leq4

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-1x\leq4$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x\geq-4$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

$x\leq3$ 的端點應怎樣標？

3 處實心點，向左延伸。
3 處空心點，向左延伸。
3 處實心點，向右延伸。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

允許相等，所以包含 3。
較小的數在左方。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

解不等式。

2x+3<7

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $2x<4$ 。
除以正係數，不等號方向不變。
解集是 $x<2$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

解不等式。

3x+2\geq5x-6

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-2x\geq-8$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x\leq4$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

解不等式。

-4(x-2)>12

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-4x>4$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x<-1$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

讀所給數軸，寫出解集；實心端點表示包含該值。

依已知條件及所標刻度作答。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

標示部分由 2 向右延伸。
實心端點包含相等：x≥2。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

解不等式。

2x+1<2x+3

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $0x<2$ 。
所得常數不等式恆真。
解集是 $x\in\mathbb{R}$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

解不等式。

2x+5\leq2x+1

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $0x\leq-4$ 。
所得常數不等式不成立。
解集是 $\varnothing$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

備課與評量說明

先備要求

比較有向數、解簡單方程，辨認嚴格與非嚴格不等號。

觀察學生作答

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

列印版本

教材對照與編寫

對應教材教學後使用的 40 分鐘原創核心鞏固，並非代替每節新授課；來源對照只限已提供正文。

大湾区初中数学三维课堂（七年级下册）正文.pdf

七下・正文 71–78 頁・正文第 36–39 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

一次不等式：方向與端點

七下・正文 71–78 頁・正文第 36–39 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

解不等式。

3-2x\geq7

帶做2

解不等式。

2(x-1)<x+5

把 $2(x-1)<x+5$ 展開為 $2x-\square<x+5$ 。
兩邊減 x、加 2： $x<5+\square$ 。
所以 $x<\square$ ；判斷是否包含邊界。

先備3

x＝3 滿足 $2x+1>8$ 嗎？

不滿足；7 不大於 8。
滿足；所有正 x 都可以。

先備4

由 −3<1 出發，兩邊乘 −2，得到哪個真不等式？

$6<-2$
$6>-2$

一次不等式：方向與端點

七下・正文 71–78 頁・正文第 36–39 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

解不等式，並在空白數軸表示解集。

-3x>6

依已知條件及所標刻度作答。

獨立練習6

解不等式。

5x-4\leq11

獨立練習7

解不等式。

\frac{x+1}{2}>\frac{x-2}{3}

獨立練習8

解不等式。

4-2(x+1)\geq x-7

離堂題9

解不等式。

-x\leq4

離堂題10

$x\leq3$ 的端點應怎樣標？

3 處實心點，向左延伸。
3 處空心點，向左延伸。
3 處實心點，向右延伸。

一次不等式：方向與端點 — 補練

七下・正文 71–78 頁・正文第 36–39 課時

補練／家課11

解不等式。

2x+3<7

補練／家課12

解不等式。

3x+2\geq5x-6

補練／家課13

解不等式。

-4(x-2)>12

補練／家課14

讀所給數軸，寫出解集；實心端點表示包含該值。

依已知條件及所標刻度作答。

進階15

解不等式。

2x+1<2x+3

進階16

解不等式。

2x+5\leq2x+1

一次不等式：方向與端點 — 教師解答

七下・正文 71–78 頁・正文第 36–39 課時

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

普通班：先備4、短探究5、示範帶做8、獨立15、訂正5、離堂3分鐘。進階班：探究18、整理4、精選練習13、離堂5分鐘。

先備：比較有向數、解簡單方程，辨認嚴格與非嚴格不等號。

普通班取首個指定例作5分鐘概念示範；進階班完成整個探究。

探究與討論：18 分鐘數軸紙卡：由 −3<1 出發，預測兩邊加 5、乘 2、乘 −2 時次序如何改變（3 分）。把結果數對標在共同數軸，比較哪種操作反轉位置（6 分）。分別解 3x>6、−3x>6，再把 x＝3、x＝−3 代回兩原不等式（6 分）。說明減法本身為何不反向，並畫嚴格不等式所需空心端點（3 分）。

教師示範1

解不等式。

3-2x\geq7

參考答案

$x\leq-2$ 。

x\leq-2

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-2x\geq4$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x\leq-2$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

解不等式。

2(x-1)<x+5

把 $2(x-1)<x+5$ 展開為 $2x-\square<x+5$ 。
兩邊減 x、加 2： $x<5+\square$ 。
所以 $x<\square$ ；判斷是否包含邊界。

參考答案

$x<7$ 。

x<7

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $1x<7$ 。
除以正係數，不等號方向不變。
解集是 $x<7$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備3

x＝3 滿足 $2x+1>8$ 嗎？

不滿足；7 不大於 8。
滿足；所有正 x 都可以。

參考答案

不滿足；7 不大於 8。

左邊代入 3：2×3＋1＝7。
7>8 不成立。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

由 −3<1 出發，兩邊乘 −2，得到哪個真不等式？

$6<-2$
$6>-2$

參考答案

$6>-2$

兩個積為 6、−2。
乘負數時方向反轉。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

解不等式，並在空白數軸表示解集。

-3x>6

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

$x<-2$ 。

x<-2

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-3x>6$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x<-2$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

依已知條件及所標刻度作答。

獨立練習6

解不等式。

5x-4\leq11

參考答案

$x\leq3$ 。

x\leq3

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $5x\leq15$ 。
除以正係數，不等號方向不變。
解集是 $x\leq3$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

解不等式。

\frac{x+1}{2}>\frac{x-2}{3}

參考答案

$x>-7$ 。

x>-7

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $\frac{1}{6}x>\frac{-7}{6}$ 。
除以正係數，不等號方向不變。
解集是 $x>-7$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

解不等式。

4-2(x+1)\geq x-7

參考答案

$x\leq3$ 。

x\leq3

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-3x\geq-9$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x\leq3$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

解不等式。

-x\leq4

參考答案

$x\geq-4$ 。

x\geq-4

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-1x\leq4$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x\geq-4$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

$x\leq3$ 的端點應怎樣標？

3 處實心點，向左延伸。
3 處空心點，向左延伸。
3 處實心點，向右延伸。

參考答案

3 處實心點，向左延伸。

允許相等，所以包含 3。
較小的數在左方。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

解不等式。

2x+3<7

參考答案

$x<2$ 。

x<2

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $2x<4$ 。
除以正係數，不等號方向不變。
解集是 $x<2$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

解不等式。

3x+2\geq5x-6

參考答案

$x\leq4$ 。

x\leq4

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-2x\geq-8$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x\leq4$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

解不等式。

-4(x-2)>12

參考答案

$x<-1$ 。

x<-1

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $-4x>4$ 。
除以負係數，不等號反向。
解集是 $x<-1$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

讀所給數軸，寫出解集；實心端點表示包含該值。

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

$x\geq2$

x\geq2

標示部分由 2 向右延伸。
實心端點包含相等：x≥2。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

依已知條件及所標刻度作答。

進階15

解不等式。

2x+1<2x+3

參考答案

$x\in\mathbb{R}$ 。

x\in\mathbb{R}

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $0x<2$ 。
所得常數不等式恆真。
解集是 $x\in\mathbb{R}$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

解不等式。

2x+5\leq2x+1

參考答案

$\varnothing$ 。

\varnothing

把未知數項集中左邊、常數項右邊： $0x\leq-4$ 。
所得常數不等式不成立。
解集是 $\varnothing$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。