紙筆・推理・練習

分組與直方圖：頻數及面積

邊界值恰記一次，標清縱軸量，不等組距用頻數除以組距。

40 分鐘 · 七下・正文 95–98 頁・正文第 48–49 課時

教材對照：七下第10章數據的收集、整理與描述・正文第48–49課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。查看下冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

教師參考在研習室安排題單

課堂路線課堂環節

4′先備檢查
5′短探究／概念示範
8′示範與帶做
15′獨立練習
5′訂正
3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

18 分鐘固定數據紙筆探究：用 1、1、1、1、2、2、3、3、3、3、4、5，預測改分組會否改樣本容量（3 分）。先按組距 2 分 [0,2)、[2,4)、[4,6]，再按組距 3 分 [0,3)、[3,6]，比較頻數 4、6、2 與 6、6，以及密度柱高（7 分）。第二個所給表用組距 10、20、頻數 20、30，算高 2、3/2，再以面積還原頻數（5 分）。總結哪些總數不變，為何較矮密度柱可以包含較多觀察（3 分）。

整理關鍵概念

邊界值恰記一次，標清縱軸量，不等組距用頻數除以組距。

開啟原章節

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

普通班用首個指定例作5分鐘概念示範；進階班按完整18分鐘探究，先寫預測再核對。

教師示範1

把數據 $1,1,1,1,2,2,3,3,3,3,4,5$ 分入 $0\leq x<2$ 、 $2\leq x<4$ 、 $4\leq x\leq6$ ，求頻數及密度柱高（頻數÷組距）。

組別	頻數	頻數密度
[0,2)	____	____
[2,4)	____	____
[4,6]	____	____

依已知條件及所標刻度作答。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

每個邊界值按指定不等號入組。
頻數為 4、6、2，和為 12。
各頻數除以組距 2，柱面積即等於頻數。

參考答案

頻數 4、6、2；各組距 2；柱高 2、3、1。

(h_1,h_2,h_3)=(2,3,1)

組別	頻數	頻數密度
[0,2)	4	2
[2,4)	6	3
[4,6]	2	1

依已知條件及所標刻度作答。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

為 $0\leq x<2$ : 4; $2\leq x<4$ : 6; $4\leq x\leq6$ : 2 畫密度直方圖，縱軸標示每單位的頻數。

各組距都是 $2-0=\square$ 。
完成柱高 $h_1=\frac{4}{2}=\square,\ h_2=\frac{6}{2}=\square,\ h_3=\frac{2}{2}=\square$ 。
在三組界畫相接柱，縱軸標每單位頻數，核對面積總和 ____。

依已知條件及所標刻度作答。

用組距 2，不能用組數 3。
縱軸是密度，頻數 4、6、2 分別除以所屬組距。
三柱面積須還原為 4、6、2，總和是 12 次觀察。

各組距均為 2。
柱高為 4/2＝2、6/2＝3、2/2＝1。
柱與柱相接，保留組界。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備3

數據為 4、7、9、12，求最大值與最小值之差。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

最大值是 12，最小值是 4。
差為 8。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

一組包含 12 次觀察中的 3 次，求其頻率。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

所給類別把每次觀察恰好記錄一次。
用 $\frac{3}{12}$ 表示頻率。
所求為 $\frac{1}{4}$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

數據為 $0,1,2,2,3,4,5,6$ ，組界為 $0\leq x<2$ 、 $2\leq x<4$ 、 $4\leq x\leq6$ 。求三組頻數。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

兩個 2 歸第二組，4 歸第三組。
末組包含 6；2＋3＋3＝8，每次觀察恰記一次。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習6

所給密度直方圖各組距為 2，柱高為 1、2、1。數值至少為 2 的觀察佔幾分之幾？

依已知條件及所標刻度作答。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

柱高乘組距得頻數 2、4、2。
最後兩組有 6 次，共 8 次，6/8＝3/4。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

A 組跨 0 至 10，頻數 20；B 組跨 10 至 30，頻數 30。求密度直方圖的兩柱高，指出哪組觀察較多。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

組距為 10、20。
柱高是 20/10＝2、30/20＝3/2；比較觀察數要用頻數 20、30。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

為 $0\leq x<2$ ：2、 $2\leq x<4$ ：4、 $4\leq x\leq6$ ：2 畫密度直方圖，標清兩軸。

依已知條件及所標刻度作答。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

組距均為 2，所以頻數除以 2。
按指定組界畫高 1、2、1，面積總和為 8。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

組界為 $0\leq x<2$ 、 $2\leq x<4$ ，x＝2 應記在哪組？

兩組都記。
兩組都不記。
只記第二組。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

第一組不包含上界 2。
第二組包含下界，所以只在第二組記一次。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

密度直方圖一柱組距為 4，高為每單位 3 次觀察，求頻數。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

頻數等於組距乘密度柱高。
4×3＝12 次觀察。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

三個不重疊組的頻數為 4、7、5，求樣本容量。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

所給類別把每次觀察恰好記錄一次。
把互斥類別的頻數相加： $4+7+5$ 。
所求為 $16$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

20 次觀察中 6 次在某組，求該組百分率。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

所給類別把每次觀察恰好記錄一次。
用 $\frac{6}{20}$ 乘 100% 表示百分率。
所求為 $30$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

[0,2)、[2,4)、[4,6] 三組頻數為 2、4、2。畫頻數分布折線時，寫出依次連接的三個「組中點、頻數」坐標。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

組中點為 (0＋2)/2＝1、(2＋4)/2＝3、(4＋6)/2＝5。
配上頻數 2、4、2，按組次序連接。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

對 1 至 18 的數據，選 [0,5)、[5,10)、[10,15)、[15,20] 為組界，共幾組？共同組距多少？

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

依次組界是 0、5、10、15、20。
共有四個區間，相鄰組界之差均為 5。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

一密度柱跨 0–10，高 1；另一柱跨 10–40，高 1/2。哪柱觀察較多？解釋為何不能只比柱高。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

各柱高乘其組距：1×10＝10、(1/2)×30＝15。
不等組距時不能把密度柱高直接當頻數比較。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

同一組數據 $1,1,1,1,2,2,3,3,3,3,4,5$ 改分為 $0\leq x<3$ 、 $3\leq x\leq6$ 。求頻數，說明哪個總數不變。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

第一組包含四個 1、兩個 2。
餘下六個值歸第二組，6＋6＝12。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

備課與評量說明

先備要求

讀頻數、比較區間邊界，計組距、比例及長方形面積。

觀察學生作答

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

列印版本

教材對照與編寫

對應教材教學後使用的 40 分鐘原創核心鞏固，並非代替每節新授課；來源對照只限已提供正文。

大湾区初中数学三维课堂（七年级下册）正文.pdf

七下・正文 95–98 頁・正文第 48–49 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

分組與直方圖：頻數及面積

七下・正文 95–98 頁・正文第 48–49 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

把數據 $1,1,1,1,2,2,3,3,3,3,4,5$ 分入 $0\leq x<2$ 、 $2\leq x<4$ 、 $4\leq x\leq6$ ，求頻數及密度柱高（頻數÷組距）。

組別	頻數	頻數密度
[0,2)	____	____
[2,4)	____	____
[4,6]	____	____

依已知條件及所標刻度作答。

帶做2

為 $0\leq x<2$ : 4; $2\leq x<4$ : 6; $4\leq x\leq6$ : 2 畫密度直方圖，縱軸標示每單位的頻數。

各組距都是 $2-0=\square$ 。
完成柱高 $h_1=\frac{4}{2}=\square,\ h_2=\frac{6}{2}=\square,\ h_3=\frac{2}{2}=\square$ 。
在三組界畫相接柱，縱軸標每單位頻數，核對面積總和 ____。

依已知條件及所標刻度作答。

先備3

數據為 4、7、9、12，求最大值與最小值之差。

先備4

一組包含 12 次觀察中的 3 次，求其頻率。

分組與直方圖：頻數及面積

七下・正文 95–98 頁・正文第 48–49 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

數據為 $0,1,2,2,3,4,5,6$ ，組界為 $0\leq x<2$ 、 $2\leq x<4$ 、 $4\leq x\leq6$ 。求三組頻數。

獨立練習6

所給密度直方圖各組距為 2，柱高為 1、2、1。數值至少為 2 的觀察佔幾分之幾？

依已知條件及所標刻度作答。

獨立練習7

A 組跨 0 至 10，頻數 20；B 組跨 10 至 30，頻數 30。求密度直方圖的兩柱高，指出哪組觀察較多。

獨立練習8

為 $0\leq x<2$ ：2、 $2\leq x<4$ ：4、 $4\leq x\leq6$ ：2 畫密度直方圖，標清兩軸。

依已知條件及所標刻度作答。

離堂題9

組界為 $0\leq x<2$ 、 $2\leq x<4$ ，x＝2 應記在哪組？

兩組都記。
兩組都不記。
只記第二組。

離堂題10

密度直方圖一柱組距為 4，高為每單位 3 次觀察，求頻數。

分組與直方圖：頻數及面積 — 補練

七下・正文 95–98 頁・正文第 48–49 課時

補練／家課11

三個不重疊組的頻數為 4、7、5，求樣本容量。

補練／家課12

20 次觀察中 6 次在某組，求該組百分率。

補練／家課13

[0,2)、[2,4)、[4,6] 三組頻數為 2、4、2。畫頻數分布折線時，寫出依次連接的三個「組中點、頻數」坐標。

補練／家課14

對 1 至 18 的數據，選 [0,5)、[5,10)、[10,15)、[15,20] 為組界，共幾組？共同組距多少？

進階15

一密度柱跨 0–10，高 1；另一柱跨 10–40，高 1/2。哪柱觀察較多？解釋為何不能只比柱高。

進階16

同一組數據 $1,1,1,1,2,2,3,3,3,3,4,5$ 改分為 $0\leq x<3$ 、 $3\leq x\leq6$ 。求頻數，說明哪個總數不變。

分組與直方圖：頻數及面積 — 教師解答

七下・正文 95–98 頁・正文第 48–49 課時

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

普通班：先備4、短探究5、示範帶做8、獨立15、訂正5、離堂3分鐘。進階班：探究18、整理4、精選練習13、離堂5分鐘。

先備：讀頻數、比較區間邊界，計組距、比例及長方形面積。

普通班取首個指定例作5分鐘概念示範；進階班完成整個探究。

探究與討論：18 分鐘固定數據紙筆探究：用 1、1、1、1、2、2、3、3、3、3、4、5，預測改分組會否改樣本容量（3 分）。先按組距 2 分 [0,2)、[2,4)、[4,6]，再按組距 3 分 [0,3)、[3,6]，比較頻數 4、6、2 與 6、6，以及密度柱高（7 分）。第二個所給表用組距 10、20、頻數 20、30，算高 2、3/2，再以面積還原頻數（5 分）。總結哪些總數不變，為何較矮密度柱可以包含較多觀察（3 分）。

教師示範1

把數據 $1,1,1,1,2,2,3,3,3,3,4,5$ 分入 $0\leq x<2$ 、 $2\leq x<4$ 、 $4\leq x\leq6$ ，求頻數及密度柱高（頻數÷組距）。

組別	頻數	頻數密度
[0,2)	____	____
[2,4)	____	____
[4,6]	____	____

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

頻數 4、6、2；各組距 2；柱高 2、3、1。

(h_1,h_2,h_3)=(2,3,1)

每個邊界值按指定不等號入組。
頻數為 4、6、2，和為 12。
各頻數除以組距 2，柱面積即等於頻數。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

組別	頻數	頻數密度
[0,2)	4	2
[2,4)	6	3
[4,6]	2	1

依已知條件及所標刻度作答。

帶做2

為 $0\leq x<2$ : 4; $2\leq x<4$ : 6; $4\leq x\leq6$ : 2 畫密度直方圖，縱軸標示每單位的頻數。

各組距都是 $2-0=\square$ 。
完成柱高 $h_1=\frac{4}{2}=\square,\ h_2=\frac{6}{2}=\square,\ h_3=\frac{2}{2}=\square$ 。
在三組界畫相接柱，縱軸標每單位頻數，核對面積總和 ____。

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

相鄰三柱分別跨 [0,2)、[2,4)、[4,6]，柱高為 2、3、1。

各組距均為 2。
柱高為 4/2＝2、6/2＝3、2/2＝1。
柱與柱相接，保留組界。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

依已知條件及所標刻度作答。

先備3

數據為 4、7、9、12，求最大值與最小值之差。

參考答案

$8$ 。

12-4

最大值是 12，最小值是 4。
差為 8。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

一組包含 12 次觀察中的 3 次，求其頻率。

參考答案

$\frac{1}{4}$ 。

(3/12)\cdot 1

所給類別把每次觀察恰好記錄一次。
用 $\frac{3}{12}$ 表示頻率。
所求為 $\frac{1}{4}$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

數據為 $0,1,2,2,3,4,5,6$ ，組界為 $0\leq x<2$ 、 $2\leq x<4$ 、 $4\leq x\leq6$ 。求三組頻數。

參考答案

2、3、3。

兩個 2 歸第二組，4 歸第三組。
末組包含 6；2＋3＋3＝8，每次觀察恰記一次。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習6

所給密度直方圖各組距為 2，柱高為 1、2、1。數值至少為 2 的觀察佔幾分之幾？

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

$\frac{3}{4}$

\frac{3}{4}

柱高乘組距得頻數 2、4、2。
最後兩組有 6 次，共 8 次，6/8＝3/4。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

依已知條件及所標刻度作答。

獨立練習7

A 組跨 0 至 10，頻數 20；B 組跨 10 至 30，頻數 30。求密度直方圖的兩柱高，指出哪組觀察較多。

參考答案

柱高為 2、3/2；B 觀察較多，但柱較矮。

h_A=2,\quad h_B=\frac{3}{2}

組距為 10、20。
柱高是 20/10＝2、30/20＝3/2；比較觀察數要用頻數 20、30。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

為 $0\leq x<2$ ：2、 $2\leq x<4$ ：4、 $4\leq x\leq6$ ：2 畫密度直方圖，標清兩軸。

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

相接三柱高為 1、2、1；橫軸是數值，縱軸是每單位頻數。

組距均為 2，所以頻數除以 2。
按指定組界畫高 1、2、1，面積總和為 8。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

依已知條件及所標刻度作答。

離堂題9

組界為 $0\leq x<2$ 、 $2\leq x<4$ ，x＝2 應記在哪組？

兩組都記。
兩組都不記。
只記第二組。

參考答案

只記第二組。

第一組不包含上界 2。
第二組包含下界，所以只在第二組記一次。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

密度直方圖一柱組距為 4，高為每單位 3 次觀察，求頻數。

參考答案

$12$ 。

4\cdot 3

頻數等於組距乘密度柱高。
4×3＝12 次觀察。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

三個不重疊組的頻數為 4、7、5，求樣本容量。

參考答案

$16$ 。

4+7+5

所給類別把每次觀察恰好記錄一次。
把互斥類別的頻數相加： $4+7+5$ 。
所求為 $16$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

20 次觀察中 6 次在某組，求該組百分率。

參考答案

$30$ %。

(6/20)\cdot 100

所給類別把每次觀察恰好記錄一次。
用 $\frac{6}{20}$ 乘 100% 表示百分率。
所求為 $30$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

[0,2)、[2,4)、[4,6] 三組頻數為 2、4、2。畫頻數分布折線時，寫出依次連接的三個「組中點、頻數」坐標。

參考答案

$(1,2),(3,4),(5,2)$

組中點為 (0＋2)/2＝1、(2＋4)/2＝3、(4＋6)/2＝5。
配上頻數 2、4、2，按組次序連接。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

對 1 至 18 的數據，選 [0,5)、[5,10)、[10,15)、[15,20] 為組界，共幾組？共同組距多少？

參考答案

四組，各組距 5。

依次組界是 0、5、10、15、20。
共有四個區間，相鄰組界之差均為 5。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

一密度柱跨 0–10，高 1；另一柱跨 10–40，高 1/2。哪柱觀察較多？解釋為何不能只比柱高。

參考答案

第二柱較多；面積／頻數分別 10、15。

各柱高乘其組距：1×10＝10、(1/2)×30＝15。
不等組距時不能把密度柱高直接當頻數比較。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

同一組數據 $1,1,1,1,2,2,3,3,3,3,4,5$ 改分為 $0\leq x<3$ 、 $3\leq x\leq6$ 。求頻數，說明哪個總數不變。

參考答案

6、6；觀察總數仍為 12，但分布外觀改變。

第一組包含四個 1、兩個 2。
餘下六個值歸第二組，6＋6＝12。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。