紙筆・推理・練習

分組與直方圖：頻數及面積｜教師參考

邊界值恰記一次，標清縱軸量，不等組距用頻數除以組距。

40 分鐘 · 七下・正文 95–98 頁・正文第 48–49 課時

教材對照：七下第10章數據的收集、整理與描述・正文第48–49課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。查看下冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

學生課堂頁在研習室安排題單

課堂路線課堂環節

4′先備檢查
5′短探究／概念示範
8′示範與帶做
15′獨立練習
5′訂正
3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

18 分鐘固定數據紙筆探究：用 1、1、1、1、2、2、3、3、3、3、4、5，預測改分組會否改樣本容量（3 分）。先按組距 2 分 [0,2)、[2,4)、[4,6]，再按組距 3 分 [0,3)、[3,6]，比較頻數 4、6、2 與 6、6，以及密度柱高（7 分）。第二個所給表用組距 10、20、頻數 20、30，算高 2、3/2，再以面積還原頻數（5 分）。總結哪些總數不變，為何較矮密度柱可以包含較多觀察（3 分）。

整理關鍵概念

邊界值恰記一次，標清縱軸量，不等組距用頻數除以組距。

開啟原章節

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

普通班用首個指定例作5分鐘概念示範；進階班按完整18分鐘探究，先寫預測再核對。

教師示範1

把數據 $1,1,1,1,2,2,3,3,3,3,4,5$ 分入 $0\leq x<2$ 、 $2\leq x<4$ 、 $4\leq x\leq6$ ，求頻數及密度柱高（頻數÷組距）。

組別	頻數	頻數密度
[0,2)	____	____
[2,4)	____	____
[4,6]	____	____

依已知條件及所標刻度作答。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

每個邊界值按指定不等號入組。
頻數為 4、6、2，和為 12。
各頻數除以組距 2，柱面積即等於頻數。

參考答案

頻數 4、6、2；各組距 2；柱高 2、3、1。

(h_1,h_2,h_3)=(2,3,1)

組別	頻數	頻數密度
[0,2)	4	2
[2,4)	6	3
[4,6]	2	1

依已知條件及所標刻度作答。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

為 $0\leq x<2$ : 4; $2\leq x<4$ : 6; $4\leq x\leq6$ : 2 畫密度直方圖，縱軸標示每單位的頻數。

各組距都是 $2-0=\square$ 。
完成柱高 $h_1=\frac{4}{2}=\square,\ h_2=\frac{6}{2}=\square,\ h_3=\frac{2}{2}=\square$ 。
在三組界畫相接柱，縱軸標每單位頻數，核對面積總和 ____。

依已知條件及所標刻度作答。

用組距 2，不能用組數 3。
縱軸是密度，頻數 4、6、2 分別除以所屬組距。
三柱面積須還原為 4、6、2，總和是 12 次觀察。

各組距均為 2。
柱高為 4/2＝2、6/2＝3、2/2＝1。
柱與柱相接，保留組界。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備3

數據為 4、7、9、12，求最大值與最小值之差。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

最大值是 12，最小值是 4。
差為 8。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

一組包含 12 次觀察中的 3 次，求其頻率。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

所給類別把每次觀察恰好記錄一次。
用 $\frac{3}{12}$ 表示頻率。
所求為 $\frac{1}{4}$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

數據為 $0,1,2,2,3,4,5,6$ ，組界為 $0\leq x<2$ 、 $2\leq x<4$ 、 $4\leq x\leq6$ 。求三組頻數。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

兩個 2 歸第二組，4 歸第三組。
末組包含 6；2＋3＋3＝8，每次觀察恰記一次。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習6

所給密度直方圖各組距為 2，柱高為 1、2、1。數值至少為 2 的觀察佔幾分之幾？

依已知條件及所標刻度作答。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

柱高乘組距得頻數 2、4、2。
最後兩組有 6 次，共 8 次，6/8＝3/4。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

A 組跨 0 至 10，頻數 20；B 組跨 10 至 30，頻數 30。求密度直方圖的兩柱高，指出哪組觀察較多。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

組距為 10、20。
柱高是 20/10＝2、30/20＝3/2；比較觀察數要用頻數 20、30。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

為 $0\leq x<2$ ：2、 $2\leq x<4$ ：4、 $4\leq x\leq6$ ：2 畫密度直方圖，標清兩軸。

依已知條件及所標刻度作答。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

組距均為 2，所以頻數除以 2。
按指定組界畫高 1、2、1，面積總和為 8。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

組界為 $0\leq x<2$ 、 $2\leq x<4$ ，x＝2 應記在哪組？

兩組都記。
兩組都不記。
只記第二組。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

第一組不包含上界 2。
第二組包含下界，所以只在第二組記一次。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

密度直方圖一柱組距為 4，高為每單位 3 次觀察，求頻數。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

頻數等於組距乘密度柱高。
4×3＝12 次觀察。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

三個不重疊組的頻數為 4、7、5，求樣本容量。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

所給類別把每次觀察恰好記錄一次。
把互斥類別的頻數相加： $4+7+5$ 。
所求為 $16$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

20 次觀察中 6 次在某組，求該組百分率。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

所給類別把每次觀察恰好記錄一次。
用 $\frac{6}{20}$ 乘 100% 表示百分率。
所求為 $30$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

[0,2)、[2,4)、[4,6] 三組頻數為 2、4、2。畫頻數分布折線時，寫出依次連接的三個「組中點、頻數」坐標。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

組中點為 (0＋2)/2＝1、(2＋4)/2＝3、(4＋6)/2＝5。
配上頻數 2、4、2，按組次序連接。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

對 1 至 18 的數據，選 [0,5)、[5,10)、[10,15)、[15,20] 為組界，共幾組？共同組距多少？

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

依次組界是 0、5、10、15、20。
共有四個區間，相鄰組界之差均為 5。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

一密度柱跨 0–10，高 1；另一柱跨 10–40，高 1/2。哪柱觀察較多？解釋為何不能只比柱高。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

各柱高乘其組距：1×10＝10、(1/2)×30＝15。
不等組距時不能把密度柱高直接當頻數比較。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

同一組數據 $1,1,1,1,2,2,3,3,3,3,4,5$ 改分為 $0\leq x<3$ 、 $3\leq x\leq6$ 。求頻數，說明哪個總數不變。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

第一組包含四個 1、兩個 2。
餘下六個值歸第二組，6＋6＝12。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

備課與評量說明

先備要求

讀頻數、比較區間邊界，計組距、比例及長方形面積。

觀察學生作答

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

全部參考答案

教師示範1

把數據 $1,1,1,1,2,2,3,3,3,3,4,5$ 分入 $0\leq x<2$ 、 $2\leq x<4$ 、 $4\leq x\leq6$ ，求頻數及密度柱高（頻數÷組距）。

組別	頻數	頻數密度
[0,2)	____	____
[2,4)	____	____
[4,6]	____	____

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

頻數 4、6、2；各組距 2；柱高 2、3、1。

(h_1,h_2,h_3)=(2,3,1)

每個邊界值按指定不等號入組。
頻數為 4、6、2，和為 12。
各頻數除以組距 2，柱面積即等於頻數。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

組別	頻數	頻數密度
[0,2)	4	2
[2,4)	6	3
[4,6]	2	1

依已知條件及所標刻度作答。

帶做2

為 $0\leq x<2$ : 4; $2\leq x<4$ : 6; $4\leq x\leq6$ : 2 畫密度直方圖，縱軸標示每單位的頻數。

各組距都是 $2-0=\square$ 。
完成柱高 $h_1=\frac{4}{2}=\square,\ h_2=\frac{6}{2}=\square,\ h_3=\frac{2}{2}=\square$ 。
在三組界畫相接柱，縱軸標每單位頻數，核對面積總和 ____。

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

相鄰三柱分別跨 [0,2)、[2,4)、[4,6]，柱高為 2、3、1。

各組距均為 2。
柱高為 4/2＝2、6/2＝3、2/2＝1。
柱與柱相接，保留組界。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

依已知條件及所標刻度作答。

先備3

數據為 4、7、9、12，求最大值與最小值之差。

參考答案

$8$ 。

12-4

最大值是 12，最小值是 4。
差為 8。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

一組包含 12 次觀察中的 3 次，求其頻率。

參考答案

$\frac{1}{4}$ 。

(3/12)\cdot 1

所給類別把每次觀察恰好記錄一次。
用 $\frac{3}{12}$ 表示頻率。
所求為 $\frac{1}{4}$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

數據為 $0,1,2,2,3,4,5,6$ ，組界為 $0\leq x<2$ 、 $2\leq x<4$ 、 $4\leq x\leq6$ 。求三組頻數。

參考答案

2、3、3。

兩個 2 歸第二組，4 歸第三組。
末組包含 6；2＋3＋3＝8，每次觀察恰記一次。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習6

所給密度直方圖各組距為 2，柱高為 1、2、1。數值至少為 2 的觀察佔幾分之幾？

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

$\frac{3}{4}$

\frac{3}{4}

柱高乘組距得頻數 2、4、2。
最後兩組有 6 次，共 8 次，6/8＝3/4。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

依已知條件及所標刻度作答。

獨立練習7

A 組跨 0 至 10，頻數 20；B 組跨 10 至 30，頻數 30。求密度直方圖的兩柱高，指出哪組觀察較多。

參考答案

柱高為 2、3/2；B 觀察較多，但柱較矮。

h_A=2,\quad h_B=\frac{3}{2}

組距為 10、20。
柱高是 20/10＝2、30/20＝3/2；比較觀察數要用頻數 20、30。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

為 $0\leq x<2$ ：2、 $2\leq x<4$ ：4、 $4\leq x\leq6$ ：2 畫密度直方圖，標清兩軸。

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

相接三柱高為 1、2、1；橫軸是數值，縱軸是每單位頻數。

組距均為 2，所以頻數除以 2。
按指定組界畫高 1、2、1，面積總和為 8。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

依已知條件及所標刻度作答。

離堂題9

組界為 $0\leq x<2$ 、 $2\leq x<4$ ，x＝2 應記在哪組？

兩組都記。
兩組都不記。
只記第二組。

參考答案

只記第二組。

第一組不包含上界 2。
第二組包含下界，所以只在第二組記一次。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

密度直方圖一柱組距為 4，高為每單位 3 次觀察，求頻數。

參考答案

$12$ 。

4\cdot 3

頻數等於組距乘密度柱高。
4×3＝12 次觀察。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

三個不重疊組的頻數為 4、7、5，求樣本容量。

參考答案

$16$ 。

4+7+5

所給類別把每次觀察恰好記錄一次。
把互斥類別的頻數相加： $4+7+5$ 。
所求為 $16$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

20 次觀察中 6 次在某組，求該組百分率。

參考答案

$30$ %。

(6/20)\cdot 100

所給類別把每次觀察恰好記錄一次。
用 $\frac{6}{20}$ 乘 100% 表示百分率。
所求為 $30$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

[0,2)、[2,4)、[4,6] 三組頻數為 2、4、2。畫頻數分布折線時，寫出依次連接的三個「組中點、頻數」坐標。

參考答案

$(1,2),(3,4),(5,2)$

組中點為 (0＋2)/2＝1、(2＋4)/2＝3、(4＋6)/2＝5。
配上頻數 2、4、2，按組次序連接。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

對 1 至 18 的數據，選 [0,5)、[5,10)、[10,15)、[15,20] 為組界，共幾組？共同組距多少？

參考答案

四組，各組距 5。

依次組界是 0、5、10、15、20。
共有四個區間，相鄰組界之差均為 5。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

一密度柱跨 0–10，高 1；另一柱跨 10–40，高 1/2。哪柱觀察較多？解釋為何不能只比柱高。

參考答案

第二柱較多；面積／頻數分別 10、15。

各柱高乘其組距：1×10＝10、(1/2)×30＝15。
不等組距時不能把密度柱高直接當頻數比較。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

同一組數據 $1,1,1,1,2,2,3,3,3,3,4,5$ 改分為 $0\leq x<3$ 、 $3\leq x\leq6$ 。求頻數，說明哪個總數不變。

參考答案

6、6；觀察總數仍為 12，但分布外觀改變。

第一組包含四個 1、兩個 2。
餘下六個值歸第二組，6＋6＝12。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

列印版本

教材對照與編寫

對應教材教學後使用的 40 分鐘原創核心鞏固，並非代替每節新授課；來源對照只限已提供正文。

大湾区初中数学三维课堂（七年级下册）正文.pdf

七下・正文 95–98 頁・正文第 48–49 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

分組與直方圖：頻數及面積

七下・正文 95–98 頁・正文第 48–49 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

把數據 $1,1,1,1,2,2,3,3,3,3,4,5$ 分入 $0\leq x<2$ 、 $2\leq x<4$ 、 $4\leq x\leq6$ ，求頻數及密度柱高（頻數÷組距）。

組別	頻數	頻數密度
[0,2)	____	____
[2,4)	____	____
[4,6]	____	____

依已知條件及所標刻度作答。

帶做2

為 $0\leq x<2$ : 4; $2\leq x<4$ : 6; $4\leq x\leq6$ : 2 畫密度直方圖，縱軸標示每單位的頻數。

各組距都是 $2-0=\square$ 。
完成柱高 $h_1=\frac{4}{2}=\square,\ h_2=\frac{6}{2}=\square,\ h_3=\frac{2}{2}=\square$ 。
在三組界畫相接柱，縱軸標每單位頻數，核對面積總和 ____。

依已知條件及所標刻度作答。

先備3

數據為 4、7、9、12，求最大值與最小值之差。

先備4

一組包含 12 次觀察中的 3 次，求其頻率。

分組與直方圖：頻數及面積

七下・正文 95–98 頁・正文第 48–49 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

數據為 $0,1,2,2,3,4,5,6$ ，組界為 $0\leq x<2$ 、 $2\leq x<4$ 、 $4\leq x\leq6$ 。求三組頻數。

獨立練習6

所給密度直方圖各組距為 2，柱高為 1、2、1。數值至少為 2 的觀察佔幾分之幾？

依已知條件及所標刻度作答。

獨立練習7

A 組跨 0 至 10，頻數 20；B 組跨 10 至 30，頻數 30。求密度直方圖的兩柱高，指出哪組觀察較多。

獨立練習8

為 $0\leq x<2$ ：2、 $2\leq x<4$ ：4、 $4\leq x\leq6$ ：2 畫密度直方圖，標清兩軸。

依已知條件及所標刻度作答。

離堂題9

組界為 $0\leq x<2$ 、 $2\leq x<4$ ，x＝2 應記在哪組？

兩組都記。
兩組都不記。
只記第二組。

離堂題10

密度直方圖一柱組距為 4，高為每單位 3 次觀察，求頻數。

分組與直方圖：頻數及面積 — 補練

七下・正文 95–98 頁・正文第 48–49 課時

補練／家課11

三個不重疊組的頻數為 4、7、5，求樣本容量。

補練／家課12

20 次觀察中 6 次在某組，求該組百分率。

補練／家課13

[0,2)、[2,4)、[4,6] 三組頻數為 2、4、2。畫頻數分布折線時，寫出依次連接的三個「組中點、頻數」坐標。

補練／家課14

對 1 至 18 的數據，選 [0,5)、[5,10)、[10,15)、[15,20] 為組界，共幾組？共同組距多少？

進階15

一密度柱跨 0–10，高 1；另一柱跨 10–40，高 1/2。哪柱觀察較多？解釋為何不能只比柱高。

進階16

同一組數據 $1,1,1,1,2,2,3,3,3,3,4,5$ 改分為 $0\leq x<3$ 、 $3\leq x\leq6$ 。求頻數，說明哪個總數不變。

分組與直方圖：頻數及面積 — 教師解答

七下・正文 95–98 頁・正文第 48–49 課時

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

普通班：先備4、短探究5、示範帶做8、獨立15、訂正5、離堂3分鐘。進階班：探究18、整理4、精選練習13、離堂5分鐘。

先備：讀頻數、比較區間邊界，計組距、比例及長方形面積。

普通班取首個指定例作5分鐘概念示範；進階班完成整個探究。

探究與討論：18 分鐘固定數據紙筆探究：用 1、1、1、1、2、2、3、3、3、3、4、5，預測改分組會否改樣本容量（3 分）。先按組距 2 分 [0,2)、[2,4)、[4,6]，再按組距 3 分 [0,3)、[3,6]，比較頻數 4、6、2 與 6、6，以及密度柱高（7 分）。第二個所給表用組距 10、20、頻數 20、30，算高 2、3/2，再以面積還原頻數（5 分）。總結哪些總數不變，為何較矮密度柱可以包含較多觀察（3 分）。

教師示範1

把數據 $1,1,1,1,2,2,3,3,3,3,4,5$ 分入 $0\leq x<2$ 、 $2\leq x<4$ 、 $4\leq x\leq6$ ，求頻數及密度柱高（頻數÷組距）。

組別	頻數	頻數密度
[0,2)	____	____
[2,4)	____	____
[4,6]	____	____

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

頻數 4、6、2；各組距 2；柱高 2、3、1。

(h_1,h_2,h_3)=(2,3,1)

每個邊界值按指定不等號入組。
頻數為 4、6、2，和為 12。
各頻數除以組距 2，柱面積即等於頻數。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

組別	頻數	頻數密度
[0,2)	4	2
[2,4)	6	3
[4,6]	2	1

依已知條件及所標刻度作答。

帶做2

為 $0\leq x<2$ : 4; $2\leq x<4$ : 6; $4\leq x\leq6$ : 2 畫密度直方圖，縱軸標示每單位的頻數。

各組距都是 $2-0=\square$ 。
完成柱高 $h_1=\frac{4}{2}=\square,\ h_2=\frac{6}{2}=\square,\ h_3=\frac{2}{2}=\square$ 。
在三組界畫相接柱，縱軸標每單位頻數，核對面積總和 ____。

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

相鄰三柱分別跨 [0,2)、[2,4)、[4,6]，柱高為 2、3、1。

各組距均為 2。
柱高為 4/2＝2、6/2＝3、2/2＝1。
柱與柱相接，保留組界。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

依已知條件及所標刻度作答。

先備3

數據為 4、7、9、12，求最大值與最小值之差。

參考答案

$8$ 。

12-4

最大值是 12，最小值是 4。
差為 8。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

一組包含 12 次觀察中的 3 次，求其頻率。

參考答案

$\frac{1}{4}$ 。

(3/12)\cdot 1

所給類別把每次觀察恰好記錄一次。
用 $\frac{3}{12}$ 表示頻率。
所求為 $\frac{1}{4}$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

數據為 $0,1,2,2,3,4,5,6$ ，組界為 $0\leq x<2$ 、 $2\leq x<4$ 、 $4\leq x\leq6$ 。求三組頻數。

參考答案

2、3、3。

兩個 2 歸第二組，4 歸第三組。
末組包含 6；2＋3＋3＝8，每次觀察恰記一次。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習6

所給密度直方圖各組距為 2，柱高為 1、2、1。數值至少為 2 的觀察佔幾分之幾？

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

$\frac{3}{4}$

\frac{3}{4}

柱高乘組距得頻數 2、4、2。
最後兩組有 6 次，共 8 次，6/8＝3/4。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

依已知條件及所標刻度作答。

獨立練習7

A 組跨 0 至 10，頻數 20；B 組跨 10 至 30，頻數 30。求密度直方圖的兩柱高，指出哪組觀察較多。

參考答案

柱高為 2、3/2；B 觀察較多，但柱較矮。

h_A=2,\quad h_B=\frac{3}{2}

組距為 10、20。
柱高是 20/10＝2、30/20＝3/2；比較觀察數要用頻數 20、30。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

為 $0\leq x<2$ ：2、 $2\leq x<4$ ：4、 $4\leq x\leq6$ ：2 畫密度直方圖，標清兩軸。

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

相接三柱高為 1、2、1；橫軸是數值，縱軸是每單位頻數。

組距均為 2，所以頻數除以 2。
按指定組界畫高 1、2、1，面積總和為 8。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

依已知條件及所標刻度作答。

離堂題9

組界為 $0\leq x<2$ 、 $2\leq x<4$ ，x＝2 應記在哪組？

兩組都記。
兩組都不記。
只記第二組。

參考答案

只記第二組。

第一組不包含上界 2。
第二組包含下界，所以只在第二組記一次。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

密度直方圖一柱組距為 4，高為每單位 3 次觀察，求頻數。

參考答案

$12$ 。

4\cdot 3

頻數等於組距乘密度柱高。
4×3＝12 次觀察。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

三個不重疊組的頻數為 4、7、5，求樣本容量。

參考答案

$16$ 。

4+7+5

所給類別把每次觀察恰好記錄一次。
把互斥類別的頻數相加： $4+7+5$ 。
所求為 $16$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

20 次觀察中 6 次在某組，求該組百分率。

參考答案

$30$ %。

(6/20)\cdot 100

所給類別把每次觀察恰好記錄一次。
用 $\frac{6}{20}$ 乘 100% 表示百分率。
所求為 $30$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

[0,2)、[2,4)、[4,6] 三組頻數為 2、4、2。畫頻數分布折線時，寫出依次連接的三個「組中點、頻數」坐標。

參考答案

$(1,2),(3,4),(5,2)$

組中點為 (0＋2)/2＝1、(2＋4)/2＝3、(4＋6)/2＝5。
配上頻數 2、4、2，按組次序連接。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

對 1 至 18 的數據，選 [0,5)、[5,10)、[10,15)、[15,20] 為組界，共幾組？共同組距多少？

參考答案

四組，各組距 5。

依次組界是 0、5、10、15、20。
共有四個區間，相鄰組界之差均為 5。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

一密度柱跨 0–10，高 1；另一柱跨 10–40，高 1/2。哪柱觀察較多？解釋為何不能只比柱高。

參考答案

第二柱較多；面積／頻數分別 10、15。

各柱高乘其組距：1×10＝10、(1/2)×30＝15。
不等組距時不能把密度柱高直接當頻數比較。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

同一組數據 $1,1,1,1,2,2,3,3,3,3,4,5$ 改分為 $0\leq x<3$ 、 $3\leq x\leq6$ 。求頻數，說明哪個總數不變。

參考答案

6、6；觀察總數仍為 12，但分布外觀改變。

第一組包含四個 1、兩個 2。
餘下六個值歸第二組，6＋6＝12。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。