先聽學生怎樣想，再決定怎樣教。
這是三個可調整的課堂設計，不是已驗證成效的教材。年級與時間為建議，請按先備知識安排。
基本流程：用一句預測暴露原有想法；一次只改一個條件；留下兩筆可比較的紀錄；最後用證據修正解釋。網頁不替代教師提問，也不自動判斷開放題。
本頁向所有人公開，不是受密碼保護的「教師模式」。提示及參考答案不適合用作保密測驗。
三個層次，不是三類學生。
「核心、深究、挑戰」指任務深度，學生可按準備情況轉換。操作熟練不等於理解；不以完成頁面或點擊次數當作學習成效。投影模式只是隱藏筆記、放大圖像，不啟動任何監控。
| 階段 | 教師可留意的證據 |
|---|---|
| 預測 | 學生能否指出「我只改哪一個條件」？ |
| 比較 | 兩筆紀錄能否支持所提出的結論？ |
| 解釋 | 能否從數學關係解釋，而不只是描述畫面？ |
| 遷移 | 離開互動圖像後，能否解釋一個新例子？ |
01 / 二次函數
先備知識：座標、代入求值、平方；建議 20–25 分鐘。開啟活動 →
目標：以平方項解釋頂點與平移；在固定刻度及相同相對高度下比較伸縮；辨認 a = 0 的退化情況。
提問：「在哪個 x 值，平方項等於零？」比「h 正數向哪邊？」更能引出原因。比較 a = 0.5、1、2 時，可固定 y − k = 2，再比較 |x − h|；不要換刻度後只憑視覺大小下結論。
分層：核心只改 h；需要支援時先填 h − 1、h、h + 1 的表格。深究比較 |a|，再比較正負 a。挑戰由頂點及一點反推參數，不靠亂拖猜中。
參考推理與離堂題
對 a ≠ 0，平方項在 x = h 時為零，因此頂點是 (h,k)；只要 (y − k)/a ≥ 0，便有 |x − h| = √((y − k)/a)。比較同號 a 時，在開口一側固定非零的 y − k，|a| 愈大，|x − h| 愈小；在頂點高度 y = k，這個距離一律為零。a = 0 時是常數函數，不應仍顯示唯一頂點；k = 0 時所有實數都是零點，k ≠ 0 時沒有零點。
挑戰：頂點 (2,−3) 給出 h = 2、k = −3；代入 (4,5)，5 = 4a − 3，所以 a = 2。離堂題：頂點 (−1,3)，對稱軸 x = −1，向下開口。圖像觀察之後仍需代數論證。
02 / 概率與相對頻率
先備知識：比率與概率；建議 20–25 分鐘。開啟活動 →
目標：區分理論概率與實驗相對頻率；區分一般穩定趨勢與每一步必然接近；在固定概率的獨立試驗模型中避免「補回偏差」的推理。
提問：「你能找到某一步比前一步離 p 更遠嗎？」「多條序列一起看，與只挑一條漂亮路徑有甚麼不同？」先 p = 0.5，再 p = 0.7，避免把大數法則誤記成『一定趨近 0.5』。
分層：核心比較小樣本與大樣本；深究加入第二條序列，同時看頻率偏差與次數偏差；挑戰討論連續正面會否改變下一次概率。短時間可只做 10、100、1,000 次。
參考推理與模擬限制
理想化的獨立 Bernoulli(p) 模型中，n ≥ 1 時，相對頻率的方差是 p(1 − p)/n；這描述同一 n 下重複試驗的變異，不表示每條樣本路徑在每一步都單調接近 p。次數與 np 的絕對偏差可以增加，同時相對偏差減少。n = 0 時相對頻率未定義，頁面以「—」顯示。
有限次模擬不是大數法則的證明。網頁用固定 seed 的偽隨機數重現教學示例，不適合作為密碼學或嚴格隨機試驗工具。畫面大量資料會抽樣連線；表中數值仍由全部試驗計算。
離堂題已設定 p = 0.5，但「一定」仍不成立。可重現反例：p = 0.5、seed = 5，首 100 次有 49 次正面，相對頻率為 0.49；首 1,000 次有 528 次正面，相對頻率為 0.528，反而離 0.5 更遠。先記錄 100 次，再重設試驗並增加 1,000 次，便可比較同一序列的兩個長度。這是一個反例，不是每條序列的共同走勢。
在設定的獨立試驗模型中，之前五次正面不會令下一次的反面概率改變；它仍為 1 − p。若 p = 0 或 p = 1，結果沒有隨機波動；p = 0 時「連續五次正面」不是模型中可能發生的事件。
03 / 一個點的影響
先備知識：直線、散點圖及平均數；建議 25–30 分鐘。開啟活動 →
目標：比較加入一點前後的擬合；從 x 位置及垂直偏離區分高槓桿、離群與影響；不把高 R² 當成因果或有效預測的證據。
提問：「為甚麼 x = 4.5 的點往上移，斜率可以幾乎不變？」「一個遠離其他 x、但接近原有趨勢的點，與偏離趨勢的點有何不同？」保留基準虛線，避免只看變化後的圖。
分層：核心只移 y，比較斜率與截距；深究比較兩個預設；挑戰討論是否需要核實或保留觀測值。未教 R² 時，可先用斜率變化及垂直殘差，不要求推導公式。
參考推理與資料說明
原有八點的平均 x 為 4.5，Sxx = 42、Sxy = 45，因此基準斜率為 15/14、截距為 13/14。加入 x = 4.5 的點不改變 Sxx 或 Sxy，故此例中斜率不變；若新增點的 y 不等於原有平均 5.75，y 平均及截距便會改變。斜率不變不代表整條直線不受影響。
殘差 eᵢ = yᵢ − ŷᵢ 是相對目前擬合的垂直偏離，不是點到直線的最短距離；頁面的殘差線段會隨重新擬合改變。探究影響時，另外比較該點相對原有基準線的偏離及加入前後的直線，避免只憑重新擬合後的小殘差下結論。
槓桿值 hᵢ = 1/n + (xᵢ − x̄)²/Sxx 只由 x 位置決定。兩個右側預設 (11,2) 及 (11,13) 的槓桿值同為 95/179，但加入後的斜率分別為 105/358 及 391/358；後者較接近基準斜率。「右側延伸點」接近原有趨勢，並非恰在線上，因此仍有小幅變化。若新增點恰好在基準線上，OLS 的斜率與截距都不變。高槓桿不等於高影響，仍須考慮相對原有趨勢的偏離。
程式以含截距的普通最小平方法計算 b = Sxy/Sxx、c = ȳ − bx̄、R² = 1 − SSE/SST。若 x 無變異，斜率無法唯一估計；若 y 為常數，R² 顯示未定義，不能硬設為 1。
資料全部是設計用的示意點，不是學生真實成績。不能只為提高 R² 刪除觀測值；應先檢查來源、量度與研究目的。
把活動變成教學證據
先在一個班試用一個活動。課前保留匿名預測，課後保留解釋及離堂題，再記下你如何因應學生回答調整教學。不要以網站完成或作品漂亮作為已改善學習的證明。
建議觀察三件事：是否只改一個變量；是否引用可比較的紀錄；能否用數學關係解釋新例子。對同一份作品作 0／1／2 級描述時，應保留評分理由及例子；這是教師設計的初步觀察表，不是經驗證量表。
筆記、私隱與教室設備
預設不儲存筆記；學生自行匯出文字或 JSON。勾選本機儲存後，筆記只寫入目前瀏覽器的活動專用項目。共用電腦應取消勾選或清除筆記；不要填寫姓名、私人資料或真實成績。教師不會自動收到筆記。
設定連結只包含參數、seed、試驗次數及任務層級，不含筆記。首次載入需連線；載入完成後的操作不需要額外網絡請求。沒有 service worker，不能保證重新開頁時離線可用。託管平台仍可能記錄一般連線資料，故不能宣稱「完全無網絡紀錄」。
桌面可用滑桿及數值輸入；手機可直接輸入數值，不必精準拖動點。以 Tab 鍵巡覽，滑桿可用方向鍵。列印會保留當前圖像、文字筆記及紀錄，隱藏按鈕。列印不是作業提交。