Kenneth Cheng數學建模

研究筆記

當隨機性戰勝自然選擇

Wright–Fisher 計算實驗說明：有利等位基因由單一拷貝開始時為何仍多數消失、遷移如何抵消局部適應，以及短暫瓶頸為何會留下長期遺傳缺口。

2026年7月20日 · 約 20 分鐘閱讀

自然選擇有方向，但有限族群中的演化並不是確定性的。

一個能提高預期繁殖成功率的新等位基因，仍可能在最初數代便消失；一個在當地環境有利的基因，可能因持續遷入而長期維持在低頻；族群數量可以在瓶頸後恢復，但遺傳多樣性仍然不足。這些現象不是附加在確定性理論上的少數例外，而是抽樣本身帶來的結果。

本研究以二倍體 Wright–Fisher 模型，把遺傳漂變、選擇、遷移和瓶頸放進同一組可重現的合成實驗。目的不是推斷任何真實物種的歷史，而是分辨哪些定性結論由模型直接支持，哪些必須依靠實證資料。

模型從拷貝數開始，而不只是百分比

設二倍體族群大小為 (N)。若等位基因 (A) 在第 (t) 代的頻率為 (p_t)，繁殖前便有 (2Np_t) 個拷貝。採用基因型無顯隱性的選擇係數 (s)，選擇後的預期頻率為

pt⋆=pt(1+s)1+spt.p_t^\star=\frac{p_t(1+s)}{1+s p_t}.

下一代不是直接取預期值，而是經過抽樣：

Xt+1∼Binomial⁡(2N,pt⋆),pt+1=Xt+12N.X_{t+1}\sim\operatorname{Binomial}(2N,p_t^\star), \qquad p_{t+1}=\frac{X_{t+1}}{2N}.

二項抽樣就是漂變的來源，其條件變異數為

Var⁡(pt+1∣pt)=pt⋆(1−pt⋆)2N.\operatorname{Var}(p_{t+1}\mid p_t) =\frac{p_t^\star(1-p_t^\star)}{2N}.

當 (N) 增大，逐代波動會縮小；但只要族群有限，波動便不會完全消失。在沒有突變和遷移時，(p=0) 與 (p=1) 都是吸收狀態，一條軌跡最終會以基因消失或固定結束。

這也說明「有利突變的選擇係數為 (0.05)」仍是不完整的描述。初始頻率同樣重要。本實驗每次固定模擬都只由一個新拷貝開始：

p0=12N.p_0=\frac{1}{2N}.

較大的族群降低每代漂變，但亦令單一拷貝佔族群的初始比例更小。

選擇改變勝算，而不是保證命運

固定機率實驗使用五個族群大小和六個選擇係數，每組參數進行 2,500 次獨立模擬。在中性情況下，單一拷貝的固定機率理應是 (1/(2N))。模擬結果與此基準接近：當 (N=20)、100 和 500 時，估計值分別為 (0.0248)、(0.0056) 和 (0.0008)，理論值則為 (0.025)、(0.005) 和 (0.001)。

五個族群大小與六個選擇係數組合下的模擬固定機率熱圖。
圖 1。 每組參數 2,500 次模擬所得的固定機率。當 \(s=0.05\) 時，固定機率提升至約 0.09–0.10，但約十個新拷貝仍有九個最終消失。數值均為合成模型輸出。

在 (s=0.05) 時，當 (N) 由 20 增至 500，固定機率依次為 (0.0952)、(0.1016)、(0.0868)、(0.0924) 和 (0.0992)。這種近似穩定的水平符合「選擇較強而新拷貝罕見」的區域：選擇抵消了初始頻率下降的部分影響，卻沒有令固定成為大概率事件。

因此，實際教訓不只是「小族群漂變較強」。即使一個有利基因的預期軌跡向上，它由單一拷貝開始時仍很可能早期消失。若只報告確定性遞推式，便會掩蓋大部分模擬真正發生的事件。

遷移可以抵消局部適應

兩個亞族群的模型先進行遷移，再進行選擇和抽樣。若對稱遷移比例為 (m)，則

p~1=(1−m)p1+mp2,p~2=(1−m)p2+mp1.\widetilde p_1=(1-m)p_1+mp_2,\qquad \widetilde p_2=(1-m)p_2+mp_1.

之後，兩個棲地施加方向相反的選擇。問題便變成：當遷入者不斷帶來另一種等位基因時，當地有利基因能否維持差異？

這不是一個普遍「好基因」與隨機雜訊的比賽，因為適合度取決於環境。較弱遷移可以補充變異並減少局部消失；較強遷移則可能令兩地同質化，削弱分歧選擇的效果。真正重要的不是單獨看 (m) 或 (s)，而是比較它們相對於漂變及彼此的尺度。

合成結果支持一個權衡關係，而不是一條通用遷移門檻。若應用到真實族群，還需要有效族群大小、具方向性的遷移、顯性、連鎖位點，以及基因型抽樣的觀察模型。

族群數量恢復後，瓶頸仍會被記住

預期雜合度

Ht=2pt(1−pt)H_t=2p_t(1-p_t)

衡量位點內的遺傳多樣性。在中性 Wright–Fisher 漂變下，

E[Ht]=H0(1−12N)t.\mathbb E[H_t] =H_0\left(1-\frac{1}{2N}\right)^t.

模擬先以每個族群大小 8,000 個獨立位點檢查這條衰減律，再把 (N=500) 的族群暫時縮小至 (N_b) 十代，之後立即把族群數量恢復至 500。

比較無瓶頸與暫時縮小至 50、25 和 10 個體時，平均雜合度隨世代變化的折線圖。
圖 2。 10,000 個合成位點的平均雜合度。陰影區表示十代瓶頸。族群數量回復至 500，並不會令已消失的變異自動回來。

在第 180 代，沒有瓶頸時的平均雜合度約為 (0.417)；瓶頸降至 (N_b=10) 後只有 (0.252)。若瓶頸為 (N_b=25) 和 50，終值分別約為 (0.345) 和 (0.381)。

這個結果把兩種狀態變數清楚分開。模型可以命令族群數量在一代內回升，但等位基因多樣性不能在沒有突變、遷移或保留變異的情況下復原。人口學復甦與遺傳復甦是兩個不同的命題。

同一個模擬裡的四個時鐘

固定、局部適應、遷移平衡與多樣性損失經常被一起討論，但它們有不同時間尺度。拷貝數每一代都被重新抽樣；固定可能要很多代才到達 0 或 1；遷移—選擇平衡可以長期停在兩個邊界之間；雜合度則跨越大量位點，對短暫的小有效族群特別敏感。

因此「選擇很強，所以很快固定」與「族群數目已回升，所以多樣性也恢復」都不是必然推論。選擇可以提高最終固定機率，但大部分新拷貝仍在最初數代消失；個體數可在一代回升，已失去的等位基因卻要靠突變或移入才會再出現。

中性二倍體 Wright–Fisher 族群中的單一新拷貝由

p0=12Np_0=\frac{1}{2N}

開始，其最終固定機率亦為 (p_0)。已驗證模擬在 (N=20,100,500) 分別得到 (0.0248,0.0056,0.0008)，理論值為 (0.0250,0.0050,0.0010)。每格 2,500 次模擬仍會有二項抽樣誤差，所以應檢查區間，而不是要求小數位完全相同。

理論曲線是一項診斷

對具有加性優勢 (s) 的新等位基因，常用 diffusion 近似為

u(p0)≈1−exp⁡(−4Nsp0)1−exp⁡(−4Ns).u(p_0)\approx \frac{1-\exp(-4Ns p_0)} {1-\exp(-4Ns)}.

增加 (s) 會提高固定機率，但稀有的首個拷貝仍非常容易被抽樣移除。在 (s=0.05) 時，本網格固定機率約 (0.09)–(0.10)：遠高於中性值，卻仍代表接近九成最終消失。

不同選擇係數與族群大小下，Wright–Fisher 固定模擬與 Kimura diffusion 近似的比較。
圖 3。 與 Kimura 近似一致，可檢查拷貝數、選擇順序與吸收邊界的實作；它不會消除 Monte Carlo 不確定性，也不表示近似在所有有限族群都完全精確。

這個比較可找出肉眼看單一路徑不易發現的錯誤，例如把 (N) 而非 (2N) 當作拷貝總數、錯置選擇與抽樣次序，或沒有在 0 和 1 停止。同時它亦標示模型邊界：顯性、頻率依賴、連鎖背景、變動族群大小與多個受選位點都可能改變固定。

遷移可以維持選擇想移除的變異

兩個 deme 在局部選擇後由 (p_i) 變為 (p_i^\ast)，對稱遷移率 (m) 給出

p~1=(1−m)p1∗+mp2∗,p~2=(1−m)p2∗+mp1∗.\widetilde p_1=(1-m)p_1^\ast+mp_2^\ast,\qquad \widetilde p_2=(1-m)p_2^\ast+mp_1^\ast.

之後才加入漂變抽樣。若同一等位基因在一地有利、另一地不利，遷移會把拷貝帶向兩個局部梯度的反方向。小 (m) 可容許分化持續；較大 (m) 則令兩地均質化，甚至阻止本地有利基因接近固定。

兩個族群的合成 Wright–Fisher 實驗中，遷移抵消局部選擇的等位基因頻率結果。
圖 4。 遷移本身不是好或壞；視乎速率、方向與適合度差異，它可以拯救稀有變異、淹沒局部適應，或維持多型。

所以比較遷移與選擇時要先說明量度的是平均頻率、deme 間差異、局部負荷、消失機率，還是到達平衡的時間；單一時間序列不能支持普遍排序。

瓶頸為何留下數學傷痕

中性隨機交配下，期望雜合度近似滿足

E[Ht+1]=(1−12Nt)E[Ht],\mathbb E[H_{t+1}] = \left(1-\frac{1}{2N_t}\right)\mathbb E[H_t],

所以整段人口史為

E[HT]≈H0∏t=0T−1(1−12Nt).\mathbb E[H_T]\approx H_0 \prod_{t=0}^{T-1} \left(1-\frac{1}{2N_t}\right).

在 (N=10) 維持十代時，每代保留因子約 (0.95)，累積為 (0.95^{10}\approx0.60)。其後回到 (N=500) 只會把未來每代損失降至約千分之一，並不會把多樣性乘回原值。本次 10,000 位點實驗的嚴重瓶頸最後約為 (H=0.252)，無瓶頸對照約為 (0.417)；它們是獨立合成位點的平均，而非真實物種估計。

模擬設計要配合問題

本專案按任務使用不同重複單位：固定網格每格 2,500 條軌跡；中性雜合度 8,000 個位點；每個遷移組合 1,800 次；瓶頸比較 10,000 個位點；動畫每個族群大小 5,000 條軌跡。

更多重複只會減少 Monte Carlo 誤差，不會修正錯誤生物模型。解讀時應分開三層：模型內孟德爾抽樣的過程不確定性、有限重複造成的估計不確定性，以及人口史、選擇、顯性、遷移與連鎖的模型不確定性。只有第二層必然可靠增加運算而縮小。

具有研究價值的下一步

後續可加入顯性與隱性有利基因、非對稱遷移、時變人口、帶重組的連鎖位點及背景選擇，再以 approximate Bayesian computation 或 state-space likelihood 檢查不同歷史能否由摘要統計分辨。

若用於實證，次序應反過來：先定義抽樣設計與資料來源，說明模型中的有效族群大小代表甚麼，處理基因型不確定性，並驗證觀察模型。固定模擬最有價值之處，是揭示直覺在甚麼條件下失效，而不是把一條理想化路徑當成預測。

計算驗證了甚麼

完整運算包括五乘六的固定機率網格、中性多樣性檢查、遷移實驗和瓶頸實驗。每個固定機率格點使用 2,500 次模擬；中性驗證使用 8,000 個位點；每組遷移參數使用 1,800 次模擬；每個瓶頸情境使用 10,000 個位點。六項單元測試和輸出清單檢查均通過。

這些檢查支持程式正確實現所述模型，卻不等於模型已適用於某個真實物種。實驗沒有包括突變、顯性、世代重疊、連鎖、瓶頸以外的族群大小變化，以及 (N_e) 的估計不確定性；各位點亦被視為獨立。

下一步因此不只是把模擬再放大。一個更強的研究會加入觀察層，檢驗有限時間序列或基因組樣本能否識別 (N_e)、(s) 與 (m) 的組合，再在後驗不確定性下比較保育政策。

結語

自然選擇提供方向，漂變則提供一組可能的歷史分佈；遷移把空間上的歷史互相連結，瓶頸則刪去日後單靠數量增長無法自動恢復的選項。

本模型最重要的結果並非某一個固定機率，而是一套解讀紀律：把預期變化與實際軌跡、族群數量與遺傳多樣性、程式驗證與實證驗證清楚分開。

參考文獻

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