經得起單位改變的方程發現

一條方程可以擬合所有訓練點，卻在物理上不連貫。把米改成厘米後，它的預測以無法由輸出單位轉換修補的方式改變。量綱分析提供強先驗：物理方程中的項必須量綱相容。

研究問：

當量測稀少且含噪聲，量綱不變量能把緊湊控制方程的恢復改善多少？

本文不發現新物理定律，而是用已知定律作受控目標，令精確恢復與失敗都可觀察。

透明 monomial 搜尋

候選方程為

\hat y=c\prod_{j=1}^p x_j^{\alpha_j},

指數由有限 grammar 選出。每個候選在 log space 擬合係數，再於留出樣本量度預測誤差。

Raw 方法搜尋所有指數組合；dimensional 方法只保留滿足

[y]=\prod_j[x_j]^{\alpha_j}

的候選，基本量綱為質量、長度與時間。

基準包括阻力尺度、單擺週期、擴散長度與完全無量綱相關式。最後一項是 negative control：若所有變數都無量綱，量綱篩選沒有任何東西可刪。

阻力 raw search 評估 4,096 個指數組合，量綱篩選後只餘兩個；單擺及擴散由 512 個縮至一個；無量綱 control 兩種方法都維持 512。

每個條件 24 次重複中，約束方法在所有聚合基準精確恢復指數向量。Raw 方法在擴散與無量綱 control 同樣完美，但阻力約 $0.966$ 、單擺約 $0.953$ 。

Raw 方法有時以錯誤指數取得稍低的同單位 RMSE。這警告我們不能把預測誤差當作唯一發現準則：噪聲可令無效公式在某一單位表示中略勝。

擬合後，輸入改用另一組單位而不重新 fit。正確量綱公式應協變。代表性錯誤 raw winner 在阻力與單擺的相對單位轉移誤差均約 $4.606$ ；約束 exact winner 約為 $0.138$ 與 $0.153$ ，主要來自觀察噪聲與係數估計。

測試之所以是對抗性，是因為只改變表示而沒有改變物理案例。它直接問學習關係是否尊重本應精確的對稱。

在無量綱相關式，兩種方法都搜尋 512 個候選，以相同誤差恢復同一關係。這防止「加入 physics 永遠有幫助」的空泛結論。約束只有在能移除資料本身難以區分的 hypotheses 時才有作用。

量綱也不能區分所有物理上不同的定律；多個 monomial 可共享相同量綱，阻力案例留下兩個候選就是例子。無量綱群仍可能需要漸近知識、守恆、對稱或能改變正確組合的實驗。

可支持結論是：

在已聲明有限 monomial grammar 中，量綱篩選把候選數最多減少三個數量級，改善含噪阻力與單擺的精確恢復，並防止嚴重單位轉移失敗；對無量綱 negative control 則沒有優勢。

這不自動推廣到無限制 symbolic regression、微分方程、隱藏變數或真正未知物理。本文 grammar 已包含目標定律；發現 grammar 以外關係需要更豐富表示及更強 complexity control。

E. Buckingham, “On physically similar systems,” Physical Review, 1914. doi:10.1103/PhysRev.4.345.
S.-M. Udrescu and M. Tegmark, “AI Feynman,” Science Advances, 2020. doi:10.1126/sciadv.aay2631.
M. Schmidt and H. Lipson, “Distilling free-form natural laws from experimental data,” Science, 2009. doi:10.1126/science.1165893.
G. I. Barenblatt, Scaling, Cambridge University Press, 2003. doi:10.1017/CBO9780511814921.