膠樽之爭：一次性樽裝水禁售的影響模型

封存文章

本文源自 2019 HiMCM Problem B。舊版以隨機產生的表現分數比較 Concord、 San Francisco 與 SF Airport，因而不能支持任何真實政策排名。本版本把「量度政策影響」與「按價值觀選擇方案」分開，保留 AHP／TOPSIS 作為決策工具，而不是把它們當作因果證據。

一次性樽裝水禁售的直覺目標是減少塑膠廢物、化石燃料使用與運輸排放；反對者則關注消費者轉買含糖飲品、替代包裝、飲水可得性與緊急供水。 Concord 的政策、San Francisco 市有物業規則與機場零售限制，涵蓋範圍和使用者群組不同，不能只用三個地方名稱當作同一組「alternatives」排序。

一個完整模型要回答兩層問題：

效果層： 每項政策會改變多少瓶裝水銷售、廢物、排放、成本與飲水行為？
價值層： 不同持份者如何權衡環境、經濟、健康、公平與韌性？

一、先定義政策方案

每個地區應獨立比較可行方案，例如：

$a_0$ ：維持現狀；
$a_1$ ：只禁售 $\le1$ L 的 plain water PET bottles；
$a_2$ ：禁售並增加 refill stations；
$a_3$ ：收費／deposit-return 而非全面禁售；
$a_4$ ：公共採購限制加零售資訊措施；
$a_5$ ：有災害、醫療與無安全自來水時的豁免。

機場還需要處理 security checkpoint、旅客停留時間、國際旅客、airside refill 容量與 concession contracts。這些變數令同一政策在城鎮和機場有不同效果。

二、物料流與替代

令政策前每年售出 $Q_0$ 樽，禁售合規率為 $c$ ，消費需求轉移至選項 $k$ 的比例為 $s_k$ ，且

\sum_ks_k=1.

政策後被避免的目標水樽數量約為

Q_{\rm avoided}=Q_0c(1-\ell),

$\ell$ 表示跨境購買、非合規或其他 leakage。對替代選項：

Q_k=Q_0c\,s_k.

替代可能包括：

自攜可重用樽及 refill；
鋁罐、玻璃或紙複合包裝；
較大容量容器；
汽水、果汁或其他飲品；
不再購買飲品。

若忽略 $s_k$ ，就會把每一個少賣的水樽當成淨消失，而高估環境效益。

廢物

物料 $m$ 的年度廢物流為

W_m =\sum_k Q_k \;w_{km} \left(1-r_{km}\right),

其中 $w_{km}$ 是每件包裝中物料 $m$ 的質量， $r_{km}$ 是實際回收／回收後有效替代 virgin material 的比率。收集率不等於真正循環率；出口、污染和 downcycling 要分開。

生命週期溫室氣體

在一致 system boundary 下：

G = \sum_kQ_k \left( e_k^{\rm material} +e_k^{\rm manufacturing} +e_k^{\rm transport} +e_k^{\rm refrigeration} +e_k^{\rm end-of-life} \right) +G_{\rm infrastructure}.

可重用樽的 per-use impact 取決於實際使用次數 $n$ ：

e_{\rm reusable/use} =\frac{e_{\rm bottle}}{n} +e_{\rm washing/use}.

因此「可重用」不會自動等於低排放；break-even uses 應由當地能源、水和清洗行為計算。

三、健康、可得性與公平

飲品替代可用 transition matrix：

\mathbf q_{\rm after} =\mathbf P(a)\mathbf q_{\rm before},

$P_{kl}(a)$ 表示政策 $a$ 下由原飲品 $l$ 轉向 $k$ 的概率。若一部分消費者轉向含糖飲品，可估算 added sugar exposure；若轉向 refill，則要量度水站可靠性、排隊時間與水質。

公平性不能只用平均值。可按群組 $g$ 報告：

\Delta C_g,\quad \Delta T_g,\quad \Pr(\text{safe water unavailable}\mid g),

其中 $\Delta C_g$ 是額外成本， $\Delta T_g$ 是取得飲水的時間負擔。旅客、無家者、戶外工作者、殘疾人士及災害期間使用者可能承受不同影響。

四、經濟與營運

政策的社會淨成本可寫成

\Delta SC = \Delta C_{\rm consumers} +\Delta C_{\rm retailers} +C_{\rm enforcement} +C_{\rm refill} -B_{\rm litter} -B_{\rm waste} -B_{\rm climate}.

這不是要求把所有結果強行貨幣化。無法可靠 monetise 的健康、公平或韌性指標可以保留為獨立 criteria。

機場模型還要加入：

每小時旅客流與 peak demand；
refill station flow rate、故障率及 queue；
security 後空樽可否攜帶；
concession revenue 與替代飲品存貨；
flight disruption 或緊急事件的 bottled-water reserve。

簡單的 station capacity condition 是

\lambda(t)<s\mu,

其中 $\lambda$ 是到達率， $s$ 是水站數， $\mu$ 是單站服務率。平均可行仍不代表高峰排隊可接受，應以 queue simulation 檢查。

五、因果效果如何估計

政策後銷量或 litter 下降，未必全由禁售造成；季節、疫情、價格與遊客量都會改變。若有適當比較地區，可用 difference-in-differences：

Y_{it} =\alpha_i+\gamma_t+\beta \bigl(\text{Treated}_i\times\text{Post}_t\bigr) +\mathbf z_{it}^{\mathsf T}\delta+\varepsilon_{it}.

$\beta$ 估計政策的平均處理效果，但需要 parallel-trends 假設。資料可包括：

POS 銷售與飲品類別；
廢物 audit 與 litter transects；
refill station flow meter；
消費者 intercept survey；
零售價格與 concession data；
水站 uptime、水質與 queue；
旅客／人口與天氣；
enforcement records。

若只有政策前後單一地點，應誠實稱為 interrupted time-series 或 descriptive study，並報告較弱的因果識別。

六、AHP：由持份者判斷取得權重

效果估計完成後，AHP 可協助取得 criteria weights。對 reciprocal pairwise matrix $A$ ：

a_{ij}>0,\qquad a_{ji}=\frac1{a_{ij}},\qquad a_{ii}=1.

權重可取 principal eigenvector：

A\mathbf w=\lambda_{\max}\mathbf w, \qquad \sum_jw_j=1.

一致性指標為

CI=\frac{\lambda_{\max}-n}{n-1}, \qquad CR=\frac{CI}{RI_n}.

$CR<0.1$ 是常用 heuristic，不表示判斷「真實」或政策結論可靠。舊稿前段以 row average 寫權重公式，只有在先做特定 normalization 時才成立；實作則用 eigenvector，兩者不應混為一談。

import numpy as np

def ahp_weights(matrix, random_index):
    matrix = np.asarray(matrix, dtype=float)
    if not np.allclose(matrix * matrix.T, 1.0):
        raise ValueError("pairwise matrix 必須 reciprocal")

    eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(matrix)
    idx = np.argmax(eigenvalues.real)
    weights = np.abs(eigenvectors[:, idx].real)
    weights /= weights.sum()

    n = len(weights)
    ci = 0 if n == 1 else (eigenvalues[idx].real - n) / (n - 1)
    cr = 0 if n <= 2 else ci / random_index[n]
    return weights, cr

不同持份者不應被一張由研究者自行填寫的 matrix 取代。可以分別取得居民、零售商、清潔部門、健康部門與倡議團體的權重，再展示共識與衝突。

七、TOPSIS：方向與尺度

給定 alternatives × criteria 的 decision matrix $X$ ，向量正規化：

r_{ij} =\frac{x_{ij}} {\sqrt{\sum_i x_{ij}^2}}, \qquad v_{ij}=w_jr_{ij}.

對 benefit criterion，理想值是最大；對 cost criterion，理想值是最小：

v_j^+ = \begin{cases} \max_i v_{ij},&j\in J_{\rm benefit},\\ \min_i v_{ij},&j\in J_{\rm cost}. \end{cases}

再計算

D_i^\pm =\sqrt{\sum_j(v_{ij}-v_j^\pm)^2}, \qquad C_i=\frac{D_i^-}{D_i^++D_i^-}.

舊 Python 把所有 criteria 的 maximum 當理想值；但 carbon、cost、litter、 sugar exposure 等都是越低越好，所以 ranking 可能反轉。

def topsis(matrix, weights, benefit):
    x = np.asarray(matrix, dtype=float)
    denom = np.linalg.norm(x, axis=0)
    if np.any(denom == 0):
        raise ValueError("constant zero criterion 無法作向量正規化")

    v = (x / denom) * np.asarray(weights)
    benefit = np.asarray(benefit, dtype=bool)
    ideal = np.where(benefit, v.max(axis=0), v.min(axis=0))
    anti = np.where(benefit, v.min(axis=0), v.max(axis=0))
    d_plus = np.linalg.norm(v - ideal, axis=1)
    d_minus = np.linalg.norm(v - anti, axis=1)
    return d_minus / (d_plus + d_minus)

AHP score 與 TOPSIS closeness 的數值尺度不同，不能把兩組 bar height 當成同一量比較；合理比較是 ranking、rank reversal 和 sensitivity。

八、為何舊排名無效

舊例子：

隨機產生 sub-criteria pairwise comparisons；
隨機產生 Concord、San Francisco、SF Airport 的表現分數；
再用 AHP 與 TOPSIS 排名；
因兩者偶然同序，便稱結果相似、robust。

隨機 seed 只令同一組虛構數字可重現，不令它成為政策資料。而且三個地點不是互斥政策方案；San Francisco 可能同時包含機場政策。因此所有舊 ranking 圖只可視為 software demo，不能推論禁售效果相近。

舊 sensitivity 亦只用

\mathbf w'\sim\operatorname{Dirichlet}(10\mathbf w)

任意擾動 criteria weights。它沒有擾動測量誤差、替代率、LCA factors 或 compliance，也沒有解釋 concentration 10 的依據。TOPSIS boxplot 沒有「箱」只可能表示模擬中排名不變，與 TOPSIS 不檢查 AHP consistency 無直接關係。

九、完整不確定性與情景

對每個政策 $a$ ，把 outcome model 寫成

\mathbf y_a=f(a,\boldsymbol\theta),

$\boldsymbol\theta$ 包括 baseline sales、substitution shares、recycling、 emission factors、compliance、station uptime 等。可用 bootstrap／Bayesian posterior 或明確情景傳播，而不是所有參數任意 ±10%。

最終可報告：

各 outcome 的區間；
每個方案成為第一名的概率；
權重改變造成的 rank acceptability；
哪些參數最可能改變決策；
regret： $R(a,\theta) =\max_{a'}V(a',\theta)-V(a,\theta).$

若一項方案在多數合理情景下低 regret，即使不是每次第一，也可能較穩健。

十、政策設計建議

在沒有本地資料前，模型不應直接推薦全面禁售；但可提出可測試設計：

禁售與 refill capacity 同步上線；
保留醫療、災害與供水中斷豁免；
監測替代飲品，避免包裝與糖分 leakage；
以分階段 rollout 建立比較組；
公開銷量、廢物、水站 uptime 與投訴 dashboard；
設定預先承諾的 review date 與 adjustment rule。

對較大城市，模型架構可沿用，但參數不可直接由 Concord 放大：人口密度、通勤、旅遊、供水信任、零售市場與回收系統都會改變效果。

結論

瓶裝水禁售不是單純的「膠樽減少」問題。可信分析需要：

先把每個地區的政策選項定義清楚；
用物料流與 substitution model 估計實際 outcome；
以準實驗或時間序列評估政策效果；
把健康、公平、經濟、環境與韌性分開量度；
最後才用 AHP／TOPSIS 表達持份者取捨；
對權重與科學參數同時做敏感度。

AHP 和 TOPSIS 可以整理價值衝突，卻不能把隨機分數轉化為公共政策證據。修正後的模型不再聲稱哪個城市「排名第一」，而是清楚列出要收集的資料、可驗證的因果問題，以及不同價值選擇如何改變決策。

參考資料

COMAP, Inc. (2019). HiMCM 2019 Problem B: Bottle Battles.
Saaty, T. L. (1980). The Analytic Hierarchy Process. McGraw–Hill.
Hwang, C.-L., & Yoon, K. (1981). Multiple Attribute Decision Making: Methods and Applications. Springer.
ISO. (2006). ISO 14040: Environmental management—Life cycle assessment—Principles and framework.
Angrist, J. D., & Pischke, J.-S. (2009). Mostly Harmless Econometrics. Princeton University Press.