把陽光儲起來：離網住宅的太陽能與電池配置

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本文源自 HiMCM 2021 Problem A。舊程式把「每日 15 kWh」誤當成每小時 15 kWh，又用一星期只有一個週期的正弦波和最高 $5\ {\rm kW\,m^{-2}}$ 模擬日照，因而產生約 1,900 kWh unmet demand。本版本重建能源帳；原有技術排名與水泥電池成本數字不視為有效結果。

離網住宅沒有電網隨時補足差額。設計儲能時，平均每日發電等於平均需求仍不夠：系統還要跨過夜晚、陰天、高峰功率、季節低日照和設備損失。

一個可用模型要同時回答：

住宅每個時段需要多少 power（kW）？
一天或數天需要多少 energy（kWh）？
太陽能陣列在指定地點和傾角每小時可產生多少？
電池的 usable capacity、charge/discharge power 和效率是否足夠？
在一年或多年天氣中，停電風險是否低於目標？
哪一組 PV、battery 和 backup 組合的 lifecycle cost 最合理？

一、先建立負載清單

對 appliance $i$ ，令額定功率為 $P_i$ ，時段 $t$ 的 on-fraction 為 $z_i(t)$ ：

P_{\rm load}(t) =\sum_iP_i z_i(t)+P_{\rm standby}(t).

時間步長為 $\Delta t$ 小時時，

E_{\rm load}(t)=P_{\rm load}(t)\Delta t.

要分開 critical 與 flexible loads：

類別	例子	模型用途
關鍵	冰箱、醫療、通訊	不容許或極少 unmet
可移時	洗衣、熱水、充電	可移到太陽充足時段
可削減	部分空調、非必要照明	emergency control
瞬時高峰	水泵、壓縮機啟動	inverter surge rating

住宅面積本身不是需求的充分預測量。住戶數、氣候、供暖燃料、煮食方式、熱水、泵和行為都更重要。

二、太陽能發電

若有 plane-of-array irradiance $G_{\rm POA}(t)$ ：

P_{\rm PV}(t) =P_{\rm STC} \frac{G_{\rm POA}(t)}{G_{\rm STC}} f_T(t)f_{\rm soiling}f_{\rm mismatch} \eta_{\rm inverter}.

或從面積表示：

P_{\rm DC}(t) =A_{\rm PV}\eta_{\rm module}(T_c)G_{\rm POA}(t).

$G$ 的單位是 $\rm kW\,m^{-2}$ ，乘面積和效率後得到 kW；再乘 $\Delta t$ 才是 kWh。地面晴天峰值通常在 $1\ {\rm kW\,m^{-2}}$ 左右的量級，舊模型的 5 倍峰值不合理。

def pv_energy(pv_kw_stc, poa_kw_m2, temperature_factor,
              system_factor, dt_hours):
    power_kw = (
        pv_kw_stc
        * poa_kw_m2 / 1.0
        * temperature_factor
        * system_factor
    )
    return np.maximum(power_kw, 0) * dt_hours

應使用至少一整年逐時 weather file；一個星期只有一次日照正弦週期，會令六天近乎沒有太陽。

三、電池狀態與能源守恆

令 $S_t$ 是電池內可用 energy（kWh），容量為 $C$ 。把 round-trip efficiency 拆成 $\eta_c$ 和 $\eta_d$ ，例如可近似

\eta_c=\eta_d=\sqrt{\eta_{\rm rt}}.

充電端接收 $E_t^c$ 、負載端輸出 $E_t^d$ ：

S_{t+1} =S_t+\eta_cE_t^c-\frac{E_t^d}{\eta_d}.

並有：

\begin{aligned} S_{\min}&\le S_t\le S_{\max},\\ 0&\le E_t^c\le P_c^{\max}\Delta t,\\ 0&\le E_t^d\le P_d^{\max}\Delta t. \end{aligned}

$S_{\min}$ 反映最大 depth of discharge； continuous power 和短時間 surge power 不能由 capacity 取代。

正確 dispatch

from dataclasses import dataclass

@dataclass
class Battery:
    capacity_kwh: float
    min_soc_fraction: float
    max_charge_kw: float
    max_discharge_kw: float
    eta_charge: float
    eta_discharge: float
    soc_kwh: float

def dispatch_step(load_kwh, pv_kwh, battery, dt_hours):
    direct = min(load_kwh, pv_kwh)
    remaining_load = load_kwh - direct
    excess_pv = pv_kwh - direct

    room_at_input = (
        battery.capacity_kwh - battery.soc_kwh
    ) / battery.eta_charge
    charge_input = min(
        excess_pv,
        battery.max_charge_kw * dt_hours,
        room_at_input,
    )
    battery.soc_kwh += battery.eta_charge * charge_input
    curtailed = excess_pv - charge_input

    min_soc = battery.capacity_kwh * battery.min_soc_fraction
    available_at_load = max(
        0,
        (battery.soc_kwh - min_soc) * battery.eta_discharge,
    )
    discharge_to_load = min(
        remaining_load,
        battery.max_discharge_kw * dt_hours,
        available_at_load,
    )
    battery.soc_kwh -= discharge_to_load / battery.eta_discharge
    unmet = remaining_load - discharge_to_load

    return {
        "direct_pv_kwh": direct,
        "charged_kwh": charge_input,
        "discharged_kwh": discharge_to_load,
        "curtailed_kwh": curtailed,
        "unmet_kwh": unmet,
        "soc_kwh": battery.soc_kwh,
    }

舊 discharge() 先改 SOC，再用改後 SOC 判斷 shortfall，並把輸入／輸出 energy 方向混在一起，所以不守恆。上面的函數每一步都可檢查：

E_{\rm PV}+E_{\rm discharged} =E_{\rm load}-E_{\rm unmet} +E_{\rm charged} +E_{\rm curtailed},

但要留意 charged/discharged 是電池哪一側的量；最可靠是明確標註 bus-side 與 cell-side。

四、可靠度指標

總 unmet energy：

E_{\rm unmet}=\sum_tU_t

之外，離網系統還應報告：

Loss of load probability

\mathrm{LOLP} =\frac1T\sum_t\mathbf1(U_t>0).

Loss of power supply probability

\mathrm{LPSP} =\frac{\sum_tU_t}{\sum_tE_{\rm load}(t)}.

Autonomy

若沒有 PV，電池可供關鍵負載的小時或日數。簡單日數估算：

D_{\rm autonomy} \approx \frac{C_{\rm usable}\eta_d} {E_{\rm critical/day}},

但逐時峰值仍需另行檢查。

Resilience event

模擬連續陰天、設備故障或 smoke/dust event，檢查關鍵負載能否維持。平均天氣下零 unmet 不代表極端情景安全。

五、配置最佳化

決策變數可包括：

z=(P_{\rm PV},C_{\rm batt},P_{\rm inverter}, \text{battery type},P_{\rm backup}).

以 discounted lifecycle cost 為目標：

\min_z \left[ C_0(z) +\sum_{y=1}^{Y} \frac{C_{\rm O\&M}(y)+C_{\rm replacement}(y) +C_{\rm fuel}(y)} {(1+r)^y} \right],

並限制：

\mathrm{LPSP}\le\epsilon,\qquad P_{\rm inverter}\ge P_{\rm peak},\qquad \mathrm{SOC}_t\in[S_{\min},S_{\max}].

若可靠度是硬性要求，不能只把 unmet demand 以很小 penalty 加入成本。

def evaluate_design(pv_size, battery_spec, load, weather, dt):
    trace = simulate_year(pv_size, battery_spec, load, weather, dt)
    return {
        "lpsp": trace.unmet.sum() / load.sum(),
        "lolp": (trace.unmet > 0).mean(),
        "curtailment": trace.curtailed.sum(),
        "cycles": trace.equivalent_full_cycles,
        "cost": lifecycle_cost(pv_size, battery_spec, trace),
    }

六、舊 15 kWh/day 範例的錯誤

舊 HomeEnergyDemand(base_demand=15) 在每個 hour 返回：

return self.base_demand * demand_factor

所以 15 kWh/day 被當成至少 15 kWh/hour；基本負載變成 360 kWh/day，晚間還乘 1.5。這解釋了七日 unmet demand 為 1,677–1,893 kWh，亦解釋了 10、13.5、50 kWh 電池結果幾乎相同：主要缺口是發電與負載單位錯誤，不是 battery technology 的證據。

正確做法是先建立 normalized hourly shape $s_t$ ，使

\sum_{t\in\text{day}}s_t=1,

然後：

E_{\rm load}(t) =E_{\rm daily}s_t.

shape = np.array([
    0.025, 0.022, 0.020, 0.020, 0.022, 0.030,
    0.050, 0.055, 0.045, 0.035, 0.030, 0.030,
    0.032, 0.030, 0.032, 0.038, 0.050, 0.070,
    0.085, 0.090, 0.080, 0.060, 0.045, 0.035,
])
shape = shape / shape.sum()
hourly_kwh = 15.0 * shape

這只是示範 shape；真實住宅應由 smart-meter 或 appliance diary 建立。

七、電池技術比較

Lithium-ion／LFP

優點通常包括較高 round-trip efficiency、較高 energy density、良好 power capability 與成熟 inverter integration。需要考慮 thermal management、 BMS、cycle/calendar degradation、低溫性能與消防規範。

Lead-acid

初始成本可較低，技術成熟，但 usable depth of discharge、cycle life、效率、維護與通風會影響實際 lifetime cost。不能只比較 nameplate kWh。

Flow battery

energy 與 power 可相對獨立擴展，適合長時儲能概念，但家用規模的成本、泵與空間要按具體產品評估。

「水泥電池」

2021 年研究展示 electrically conductive cement-based rechargeable battery 的概念，但 energy density 遠低於商用 electrochemical batteries，技術成熟度、cycle life、結構安全、維修、回收與 code compliance 都未足以支持住宅產品比較。

舊文假設：

50 kWh 水泥電池；
65% 效率；
$100/kWh；
十年固定 degradation factor；

卻沒有資料來源。由此算出的 $0.05/kWh lifetime cost 和「水泥比鋰電更划算」應刪除。建築材料同時承重和儲能亦會產生 failure coupling：電化學維修不能危及結構。

八、混合系統

混合儲能只有在 dispatch 把各技術分工時才有意義，例如：

高功率 battery 處理短峰值；
長時儲能跨夜或多日；
thermal storage 承擔熱水／空調負載；
controllable backup 只在稀有低資源事件啟動。

把兩個 Battery 分別獨立跑同一負載，再各自報 unmet demand，並不是 hybrid simulation。真正模型需要共同 power balance：

P_{\rm PV}+P_1^{d}+P_2^{d}+P_{\rm backup} =P_{\rm load}+P_1^{c}+P_2^{c}+P_{\rm curtailed}.

控制規則亦要說明哪個先充、哪個先放，以及保留多少 emergency reserve。

九、敏感度與不確定性

至少改變：

annual load 及 hourly shape；
critical-load fraction；
weather year；
PV degradation；
battery usable capacity、efficiency 和 replacement year；
temperature-dependent derating；
component cost、discount rate；
required LPSP；
outage／multi-day low-solar events。

不要在每個 sensitivity run 重新抽一組 weather，否則參數效果與天氣 noise 混在一起。可用相同 weather years 作 paired comparison，再用多個 years 表達 climate variability。

十、驗證清單

全時段 energy balance residual 接近零；
SOC 從不超出界線；
charge/discharge power 不超上限；
全零 PV 時，SOC 和 autonomy 與手算一致；
無限容量但有限 PV 時，年度能量不足仍會造成 unmet；
增加容量不應在其他條件不變時增加 unmet；
減小 $\Delta t$ 後結果收斂；
與成熟工具或一個已知 benchmark 比較。

結論

離網儲能選擇不是按 capacity、efficiency 和 price 做一張簡單排名。先要建立逐時負載和當地 solar resource，再用守恆 dispatch 同時限制 SOC、 continuous power、surge power、efficiency 與 degradation，最後以可靠度約束和 lifecycle cost 找出可行設計。

原實驗的大量 unmet demand 主要源自每日／每小時單位錯誤和不合理 irradiance，所以不能用來支持 lithium、lead-acid 或 cement 的優劣。修正後的研究價值在於展示一套可泛化流程：需求盤點 → PV 模型 → 電池守恆 → 可靠度 → 成本與不確定性。

參考資料

COMAP, Inc. (2021). HiMCM 2021 Problem A: Storing the Sun.
Masters, G. M. (2013). Renewable and Efficient Electric Power Systems (2nd ed.). Wiley.
Duffie, J. A., & Beckman, W. A. (2013). Solar Engineering of Thermal Processes (4th ed.). Wiley.
IEEE. (2007). IEEE Std 1561-2007: Guide for Optimizing the Performance and Life of Lead-Acid Batteries in Remote Hybrid Power Systems.
Zhang, E., Tang, L., Zhang, Y., et al. (2021). Rechargeable concrete battery. Buildings, 11(3), 103.