紙筆・推理・練習

矩形與菱形：對角線條件及逆向判定

保留平行四邊形前提，分清對角線相等與垂直，並使用直角三角形斜邊中線定理。

40 分鐘 · 八下・正文 37–44 頁・正文第 19–22 課時

教材對照：八下第18章平行四邊形・第19–22課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。查看下冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

教師參考在研習室安排題單

課堂路線課堂環節

4′先備檢查
5′短探究／概念示範
8′示範與帶做
15′獨立練習
5′訂正
3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

3分鐘：預測非正方形的矩形與菱形有哪些共同對角線性質。 8分鐘：紙上比較4×3矩形（對角線5）與頂點 (0,0)、(3,4)、(6,0)、(3,−4) 的菱形（對角線6、8）；分開記錄互相平分、等長及垂直，使用已知圖形條件，不從外觀推斷。 5分鐘：指出共同的互相平分性質，以及等長、垂直的差異；用對角線判定矩形或菱形時保留平行四邊形前提。 2分鐘：獨立判斷任意四邊形僅有對角線垂直是否必為菱形，指出欠缺條件。

整理關鍵概念

矩形是有直角的平行四邊形；菱形是四邊相等的平行四邊形。兩者的特殊對角線性質有不同用途。

開啟原章節

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

普通班用首個指定例作5分鐘概念示範；進階班按完整18分鐘探究，先寫預測再核對。

教師示範1

ABCD 是矩形，AC＝10 cm。求 BD，並寫矩形的特殊性質。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

矩形兩條對角線相等。
BD＝AC＝10 cm。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

帶做2

ABCD 是菱形，AB＝5 cm。求 CD，說明為何不需計算對角線。

菱形有____條相等的邊。
$AB=BC=CD=DA=\square$ cm。
因此 CD＝____ cm；所需資料是邊長，不是對角線長。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

AB、CD 都是邊；本題並非求對角線。
使用菱形四邊相等的性質。
CD 須與已知 AB 同長，即 5 cm。

菱形四邊相等。
CD＝AB＝5 cm。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備3

一個平行四邊形有一個直角，必屬哪種特殊圖形？

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

保留平行四邊形前提，使用一個直角的判定。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備4

平行四邊形有 AB＝BC，可推出哪種特殊圖形？

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

相鄰邊相等，再配合對邊相等，得四邊相等。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習5

ABCD 為平行四邊形且 AC＝BD。寫出這些條件足以支持的特殊分類。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

把對角線相等與已知平行四邊形合用。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習6

ABCD 為平行四邊形且 AC⊥BD，可推出哪種特殊圖形？說明所需前提。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

一般四邊形對角線垂直，不一定四邊相等。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習7

△ABC 中 ∠A＝90°，BC＝10 cm，M 是 BC 中點，求 AM。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

直角三角形斜邊上的中線等於斜邊一半。
AM＝10/2＝5 cm。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習8

菱形兩對角線 AC＝6 cm、BD＝8 cm，交於 O。求邊 AB，交代所用兩項對角線性質。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

AO＝3、BO＝4，且 ∠AOB＝90°。
AB²＝3²＋4²＝25，所以 AB＝5 cm。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題9

每個矩形都是平行四邊形嗎？按包含式定義說明。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

加上直角條件後，兩組對邊仍平行。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題10

每個菱形必為矩形嗎？用圖中的非正方形菱形說明。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

此菱形對角線垂直，但長度不相等。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課11

矩形 AC＝10 cm，對角線交於 O，求 BO。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

BD＝AC＝10，且 O 平分 BD。
BO＝5 cm。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課12

一般四邊形兩對角線相等，必為矩形嗎？用圖中梯形說明。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

等腰梯形對角線相等，但只有一組對邊平行。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課13

一般四邊形對角線垂直，必為菱形嗎？用圖中箏形說明。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

單憑垂直，不保證對角線互相平分或四邊相等。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課14

直角 △ABC 中，M 是斜邊 BC 中點，AM＝10 cm，求 BC。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

AM＝BC/2，所以 BC＝20 cm。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階15

菱形兩對角線為 6 cm、8 cm。分成四個直角三角形，推得其面積。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

對角線互相垂直且平分。
總面積＝4×（3×4/2）＝24 cm²。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階16

在不退化三角形 ABC 中，M 是 BC 中點，且 AM＝BM。利用兩個等腰三角形的角，說明 ∠BAC 是直角。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

M 是 BC 內部的中點，故 $BM=CM$ ；配合已知 $AM=BM$ ，得 $AM=BM=CM$ 。
由兩個等腰三角形，設 $\alpha=\angle BAM=\angle ABM$ 、 $\beta=\angle MAC=\angle ACM$ 。
三角形不退化且 M 在 B、C 之間，因此 $\angle A=\alpha+\beta$ 、 $\angle B=\alpha$ 、 $\angle C=\beta$ 。
由三角形內角和， $(\alpha+\beta)+\alpha+\beta=180^{\circ}$ ，所以 $2(\alpha+\beta)=180^{\circ}$ 。
因此 $\angle BAC=\alpha+\beta=90^{\circ}$ 。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

備課與評量說明

先備要求

平行四邊形性質、勾股及全等。

觀察學生作答

以兩題先備判斷支援需要；投影示範及帶做，再收集八題紙筆核心作答。補練及進階按需要選用，接受其他完整正確方法；本頁不保存學生紙筆答案。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

列印版本

教材對照與編寫

配合所列下冊正文課時學習後使用的原創章節核心練習。教材頁碼只作技能對照，不重刊教材習題。

大湾区初中数学三维课堂（八年级下册）正文.pdf

八下・正文 37–44 頁・正文第 19–22 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

矩形與菱形：對角線條件及逆向判定

八下・正文 37–44 頁・正文第 19–22 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

ABCD 是矩形，AC＝10 cm。求 BD，並寫矩形的特殊性質。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

帶做2

ABCD 是菱形，AB＝5 cm。求 CD，說明為何不需計算對角線。

菱形有____條相等的邊。
$AB=BC=CD=DA=\square$ cm。
因此 CD＝____ cm；所需資料是邊長，不是對角線長。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

先備3

一個平行四邊形有一個直角，必屬哪種特殊圖形？

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

先備4

平行四邊形有 AB＝BC，可推出哪種特殊圖形？

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

矩形與菱形：對角線條件及逆向判定

八下・正文 37–44 頁・正文第 19–22 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

ABCD 為平行四邊形且 AC＝BD。寫出這些條件足以支持的特殊分類。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

獨立練習6

ABCD 為平行四邊形且 AC⊥BD，可推出哪種特殊圖形？說明所需前提。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

獨立練習7

△ABC 中 ∠A＝90°，BC＝10 cm，M 是 BC 中點，求 AM。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

獨立練習8

菱形兩對角線 AC＝6 cm、BD＝8 cm，交於 O。求邊 AB，交代所用兩項對角線性質。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

離堂題9

每個矩形都是平行四邊形嗎？按包含式定義說明。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

離堂題10

每個菱形必為矩形嗎？用圖中的非正方形菱形說明。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

矩形與菱形：對角線條件及逆向判定 — 補練

八下・正文 37–44 頁・正文第 19–22 課時

補練／家課11

矩形 AC＝10 cm，對角線交於 O，求 BO。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

補練／家課12

一般四邊形兩對角線相等，必為矩形嗎？用圖中梯形說明。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

補練／家課13

一般四邊形對角線垂直，必為菱形嗎？用圖中箏形說明。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

補練／家課14

直角 △ABC 中，M 是斜邊 BC 中點，AM＝10 cm，求 BC。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

進階15

菱形兩對角線為 6 cm、8 cm。分成四個直角三角形，推得其面積。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

進階16

在不退化三角形 ABC 中，M 是 BC 中點，且 AM＝BM。利用兩個等腰三角形的角，說明 ∠BAC 是直角。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

矩形與菱形：對角線條件及逆向判定 — 教師解答

八下・正文 37–44 頁・正文第 19–22 課時

以兩題先備判斷支援需要；投影示範及帶做，再收集八題紙筆核心作答。補練及進階按需要選用，接受其他完整正確方法；本頁不保存學生紙筆答案。

普通班：先備4、短探究5、示範帶做8、獨立15、訂正5、離堂3分鐘。進階班：探究18、整理4、精選練習13、離堂5分鐘。

先備：平行四邊形性質、勾股及全等。

普通班取首個指定例作5分鐘概念示範；進階班完成整個探究。

3′ 預測非正方形的矩形與菱形有哪些共同對角線性質。
8′ 紙上比較4×3矩形（對角線5）與頂點 (0,0)、(3,4)、(6,0)、(3,−4) 的菱形（對角線6、8）；分開記錄互相平分、等長及垂直，使用已知圖形條件，不從外觀推斷。
5′ 指出共同的互相平分性質，以及等長、垂直的差異；用對角線判定矩形或菱形時保留平行四邊形前提。
2′ 獨立判斷任意四邊形僅有對角線垂直是否必為菱形，指出欠缺條件。

教師示範1

ABCD 是矩形，AC＝10 cm。求 BD，並寫矩形的特殊性質。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

$BD=10$ cm。

矩形兩條對角線相等。
BD＝AC＝10 cm。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

帶做2

ABCD 是菱形，AB＝5 cm。求 CD，說明為何不需計算對角線。

菱形有____條相等的邊。
$AB=BC=CD=DA=\square$ cm。
因此 CD＝____ cm；所需資料是邊長，不是對角線長。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

$CD=5$ cm。

菱形四邊相等。
CD＝AB＝5 cm。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備3

一個平行四邊形有一個直角，必屬哪種特殊圖形？

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

矩形。

保留平行四邊形前提，使用一個直角的判定。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備4

平行四邊形有 AB＝BC，可推出哪種特殊圖形？

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

菱形。

相鄰邊相等，再配合對邊相等，得四邊相等。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習5

ABCD 為平行四邊形且 AC＝BD。寫出這些條件足以支持的特殊分類。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

矩形；單憑對角線相等不能再保證正方形。

把對角線相等與已知平行四邊形合用。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習6

ABCD 為平行四邊形且 AC⊥BD，可推出哪種特殊圖形？說明所需前提。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

菱形；須把對角線垂直與平行四邊形前提合用。

一般四邊形對角線垂直，不一定四邊相等。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習7

△ABC 中 ∠A＝90°，BC＝10 cm，M 是 BC 中點，求 AM。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

$AM=5$ cm。

直角三角形斜邊上的中線等於斜邊一半。
AM＝10/2＝5 cm。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習8

菱形兩對角線 AC＝6 cm、BD＝8 cm，交於 O。求邊 AB，交代所用兩項對角線性質。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

AB＝5 cm。對角線互相垂直且平分，得到直角邊 3、4。

AO＝3、BO＝4，且 ∠AOB＝90°。
AB²＝3²＋4²＝25，所以 AB＝5 cm。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題9

每個矩形都是平行四邊形嗎？按包含式定義說明。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

是；矩形是特殊的平行四邊形。

加上直角條件後，兩組對邊仍平行。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題10

每個菱形必為矩形嗎？用圖中的非正方形菱形說明。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

不一定；四邊相等不保證有直角。

此菱形對角線垂直，但長度不相等。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課11

矩形 AC＝10 cm，對角線交於 O，求 BO。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

$BO=5$ cm。

BD＝AC＝10，且 O 平分 BD。
BO＝5 cm。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課12

一般四邊形兩對角線相等，必為矩形嗎？用圖中梯形說明。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

不一定；欠缺平行四邊形前提。

等腰梯形對角線相等，但只有一組對邊平行。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課13

一般四邊形對角線垂直，必為菱形嗎？用圖中箏形說明。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

不一定；兩條上邊與兩條下邊長度不同。

單憑垂直，不保證對角線互相平分或四邊相等。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課14

直角 △ABC 中，M 是斜邊 BC 中點，AM＝10 cm，求 BC。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

$BC=20$ cm。

AM＝BC/2，所以 BC＝20 cm。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階15

菱形兩對角線為 6 cm、8 cm。分成四個直角三角形，推得其面積。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

24 cm²。每個直角三角形直角邊為 3、4，面積為 6，共四個。

對角線互相垂直且平分。
總面積＝4×（3×4/2）＝24 cm²。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階16

在不退化三角形 ABC 中，M 是 BC 中點，且 AM＝BM。利用兩個等腰三角形的角，說明 ∠BAC 是直角。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

AM＝BM＝CM。設 ∠B＝x、∠C＝y，則 ∠A＝x＋y；2（x＋y）＝180°，所以 ∠A＝90°。

M 是 BC 內部的中點，故 $BM=CM$ ；配合已知 $AM=BM$ ，得 $AM=BM=CM$ 。
由兩個等腰三角形，設 $\alpha=\angle BAM=\angle ABM$ 、 $\beta=\angle MAC=\angle ACM$ 。
三角形不退化且 M 在 B、C 之間，因此 $\angle A=\alpha+\beta$ 、 $\angle B=\alpha$ 、 $\angle C=\beta$ 。
由三角形內角和， $(\alpha+\beta)+\alpha+\beta=180^{\circ}$ ，所以 $2(\alpha+\beta)=180^{\circ}$ 。
因此 $\angle BAC=\alpha+\beta=90^{\circ}$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。