紙筆・推理・練習

分式運算、整數指數與科學記數法

鞏固通分、乘除及負整數指數，配合短題核對科學記數法。

40 分鐘 · 八上・正文 83–96 頁・基訓第 42–48 課時

教材對照：八上第十五章分式・第42–48課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。查看上冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

教師參考在研習室安排題單

課堂路線課堂環節

4′先備檢查
5′短探究／概念示範
8′示範與帶做
15′獨立練習
5′訂正
3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

比較1/x−1/(x+1)的兩種正確做法：為何無論哪種做法都須保留原限制？

整理關鍵概念

加減須通分；除式不可為零。負指數表示倒數；科學記數法須保留正負號及數量級。

開啟原章節

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

教師示範1

化簡，並保留原式的所有取值限制。

\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}

先找使原分母或除式為零的取值。
先通分，並把整個分子乘上所需因式。
化簡式為 (3x-1)/(x²-1)；保留 x≠-1、1。

先由原分母及除式記錄 x≠-1、1。
先通分，並把整個分子乘上所需因式。
(1)/(x-1)+(2)/(x+1) = ((x+1)+2(x-1))/((x-1)(x+1))。
所以為 (3x-1)/(x²-1)，仍須保留 x≠-1、1。

檢核清單

使用因式約分或正確通分。
保留所有原限制，包括除式不為零。

帶做2

化簡，並保留原式的所有取值限制。

\frac{x^2-4}{x+1}\div\frac{x-2}{x+1}

原分母排除___；除式還須排除___。
把÷改成乘倒數，因式分解，再約去___。

先找使原分母或除式為零的取值。
把除法改成乘倒數；原除式仍不可為零。
化簡式為 x+2；保留 x≠-1、2。

先由原分母及除式記錄 x≠-1、2。
把除法改成乘倒數；原除式仍不可為零。
(x²-4)/(x+1)÷(x-2)/(x+1) = ((x-2)(x+2))/(x+1)×(x+1)/(x-2)。
所以為 x+2，仍須保留 x≠-1、2。

檢核清單

使用因式約分或正確通分。
保留所有原限制，包括除式不為零。

先備3

計算2⁻³，說明負指數的意義。

2^{-3}

先辨認已知量及所求量。
計算前先寫出適用的等量關係。
小心代入，保留正負號與單位，最後核對結果。

負指數表示倒數，不表示負值。
2⁻³=1/2³=1/8。

檢核清單

使用題目所述關係並列出計算。
按題意寫出答案及單位。

先備4

化簡，並保留原式的所有取值限制。

\frac{x+1}{x-2}+\frac{2}{x-2}

先找使原分母或除式為零的取值。
分母已相同，只把分子相加。
化簡式為 (x+3)/(x-2)；保留 x≠2。

先由原分母及除式記錄 x≠2。
分母已相同，只把分子相加。
(x+1)/(x-2)+(2)/(x-2) = (x+1+2)/(x-2)。
所以為 (x+3)/(x-2)，仍須保留 x≠2。

檢核清單

使用因式約分或正確通分。
保留所有原限制，包括除式不為零。

獨立練習5

化簡，並保留原式的所有取值限制。

\frac{x^2-9}{x-1}\times\frac{x-1}{x+3}

先找使原分母或除式為零的取值。
先因式分解，再約去公因式；不可把加減項直接約去。
化簡式為 x-3；保留 x≠1、-3。

先由原分母及除式記錄 x≠1、-3。
先因式分解，再約去公因式；不可把加減項直接約去。
(x²-9)/(x-1)×(x-1)/(x+3) = ((x-3)(x+3)(x-1))/((x-1)(x+3))。
所以為 x-3，仍須保留 x≠1、-3。

檢核清單

使用因式約分或正確通分。
保留所有原限制，包括除式不為零。

獨立練習6

化簡，並保留原式的所有取值限制。

\frac{2}{x}-\frac{1}{x+1}

先找使原分母或除式為零的取值。
先通分，並把整個分子乘上所需因式。
化簡式為 (x+2)/(x(x+1))；保留 x≠0、-1。

先由原分母及除式記錄 x≠0、-1。
先通分，並把整個分子乘上所需因式。
(2)/(x)-(1)/(x+1) = (2(x+1)-x)/(x(x+1))。
所以為 (x+2)/(x(x+1))，仍須保留 x≠0、-1。

檢核清單

使用因式約分或正確通分。
保留所有原限制，包括除式不為零。

獨立練習7

計算(−2)⁻²，先寫成倒數。

(-2)^{-2}

先辨認已知量及所求量。
計算前先寫出適用的等量關係。
小心代入，保留正負號與單位，最後核對結果。

整個負底數在倒數中平方。
(−2)⁻²=1/(−2)²=1/4。

檢核清單

使用題目所述關係並列出計算。
按題意寫出答案及單位。

獨立練習8

把 0.00056 寫成科學記數法，要求1≤|a|<10。

0.00056

保留原負號；負號不影響移動小數點的位數。
絕對值小於1時，10的指數為負。
寫成 5.6×10⁻⁴，再還原核對。

移動小數點，得尾數5.6，其絕對值介乎1與10之間。
用10⁻⁴補償，所以 0.00056=5.6×10⁻⁴。
核對正負號及小數的數量級。

檢核清單

使用標準化的非零尾數及整數指數。
保持原值及正負號。

離堂題9

化簡，並保留原式的所有取值限制。

\frac{3}{x}\div\frac{6}{x}

先找使原分母或除式為零的取值。
把除法改成乘倒數；原除式仍不可為零。
化簡式為 (1)/(2)；保留 x≠0。

先由原分母及除式記錄 x≠0。
把除法改成乘倒數；原除式仍不可為零。
(3)/(x)÷(6)/(x) = (3)/(x)×(x)/(6)。
所以為 (1)/(2)，仍須保留 x≠0。

檢核清單

使用因式約分或正確通分。
保留所有原限制，包括除式不為零。

離堂題10

把 0.000072 寫成科學記數法，要求1≤|a|<10。

0.000072

保留原負號；負號不影響移動小數點的位數。
絕對值小於1時，10的指數為負。
寫成 7.2×10⁻⁵，再還原核對。

移動小數點，得尾數7.2，其絕對值介乎1與10之間。
用10⁻⁵補償，所以 0.000072=7.2×10⁻⁵。
核對正負號及小數的數量級。

檢核清單

使用標準化的非零尾數及整數指數。
保持原值及正負號。

補練／家課11

化簡，並保留原式的所有取值限制。

(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})(x^2+x)

先找使原分母或除式為零的取值。
先完成減法，把x²+x分解成x(x+1)，再相乘約分。
化簡式為 1；保留 x≠0、-1。

先由原分母及除式記錄 x≠0、-1。
先完成減法，把x²+x分解成x(x+1)，再相乘約分。
((1)/(x)-(1)/(x+1))(x²+x) = (1)/(x(x+1))x(x+1)。
所以為 1，仍須保留 x≠0、-1。

檢核清單

使用因式約分或正確通分。
保留所有原限制，包括除式不為零。

補練／家課12

化簡，並保留原式的所有取值限制。

\frac{x+2}{x}-\frac{2}{x}

先找使原分母或除式為零的取值。
減去整個第二分子：(x+2)−2=x。
化簡式為 1；保留 x≠0。

先由原分母及除式記錄 x≠0。
減去整個第二分子：(x+2)−2=x。
(x+2)/(x)-(2)/(x) = (x+2-2)/(x)。
所以為 1，仍須保留 x≠0。

檢核清單

使用因式約分或正確通分。
保留所有原限制，包括除式不為零。

補練／家課13

把 -0.00032 寫成科學記數法，要求1≤|a|<10。

-0.00032

保留原負號；負號不影響移動小數點的位數。
絕對值小於1時，10的指數為負。
寫成 -3.2×10⁻⁴，再還原核對。

移動小數點，得尾數-3.2，其絕對值介乎1與10之間。
用10⁻⁴補償，所以 -0.00032=-3.2×10⁻⁴。
核對正負號及小數的數量級。

檢核清單

使用標準化的非零尾數及整數指數。
保持原值及正負號。

補練／家課14

計算(−2/3)⁻²。

(-2/3)^{-2}

先辨認已知量及所求量。
計算前先寫出適用的等量關係。
小心代入，保留正負號與單位，最後核對結果。

把底數取倒數，指數改為正2。
(−3/2)²=9/4。

檢核清單

使用題目所述關係並列出計算。
按題意寫出答案及單位。

進階15

化簡，並保留原式的所有取值限制。

(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})\div\frac{2}{x^2-1}

先找使原分母或除式為零的取值。
括號先化成2/(x²−1)，再除以同一個非零式。
化簡式為 1；保留 x≠-1、1。

先由原分母及除式記錄 x≠-1、1。
括號先化成2/(x²−1)，再除以同一個非零式。
((1)/(x-1)-(1)/(x+1))÷(2)/(x²-1) = (2)/(x²-1)÷(2)/(x²-1)。
所以為 1，仍須保留 x≠-1、1。

檢核清單

使用因式約分或正確通分。
保留所有原限制，包括除式不為零。

進階16

計算0.0003×0.0002，並把乘積寫成科學記數法。

0.0003\times0.0002

保留原負號；負號不影響移動小數點的位數。
絕對值小於1時，10的指數為負。
寫成 6×10⁻⁸，再還原核對。

0.0003=3×10⁻⁴，0.0002=2×10⁻⁴。
尾數相乘，指數相加：3×2×10⁻⁸=6×10⁻⁸。
尾數6已標準化；乘積為0.00000006。

檢核清單

使用標準化的非零尾數及整數指數。
保持原值及正負號。

備課與評量說明

先備要求

因式分解、取值限制、分數運算及正整數冪法則。

觀察學生作答

按需要使用示範及帶做，再完成八題核心；補練及進階按程度選用。要求學生交代理由，並驗算原方程或展開核對。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

列印版本

教材對照與編寫

對應課本課時教學後的章節核心練習；這些題目不代替每一節新授課。

大湾区初中数学三维课堂（八年级上册）正文.pdf

八上・正文 83–96 頁・基訓第 42–48 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

分式運算、整數指數與科學記數法

八上・正文 83–96 頁・基訓第 42–48 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

化簡，並保留原式的所有取值限制。

\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}

帶做2

化簡，並保留原式的所有取值限制。

\frac{x^2-4}{x+1}\div\frac{x-2}{x+1}

原分母排除___；除式還須排除___。
把÷改成乘倒數，因式分解，再約去___。

先備3

計算2⁻³，說明負指數的意義。

2^{-3}

先備4

化簡，並保留原式的所有取值限制。

\frac{x+1}{x-2}+\frac{2}{x-2}

分式運算、整數指數與科學記數法

八上・正文 83–96 頁・基訓第 42–48 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

化簡，並保留原式的所有取值限制。

\frac{x^2-9}{x-1}\times\frac{x-1}{x+3}

獨立練習6

化簡，並保留原式的所有取值限制。

\frac{2}{x}-\frac{1}{x+1}

獨立練習7

計算(−2)⁻²，先寫成倒數。

(-2)^{-2}

獨立練習8

把 0.00056 寫成科學記數法，要求1≤|a|<10。

0.00056

離堂題9

化簡，並保留原式的所有取值限制。

\frac{3}{x}\div\frac{6}{x}

離堂題10

把 0.000072 寫成科學記數法，要求1≤|a|<10。

0.000072

分式運算、整數指數與科學記數法 — 補練

八上・正文 83–96 頁・基訓第 42–48 課時

補練／家課11

化簡，並保留原式的所有取值限制。

(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})(x^2+x)

補練／家課12

化簡，並保留原式的所有取值限制。

\frac{x+2}{x}-\frac{2}{x}

補練／家課13

把 -0.00032 寫成科學記數法，要求1≤|a|<10。

-0.00032

補練／家課14

計算(−2/3)⁻²。

(-2/3)^{-2}

進階15

化簡，並保留原式的所有取值限制。

(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})\div\frac{2}{x^2-1}

進階16

計算0.0003×0.0002，並把乘積寫成科學記數法。

0.0003\times0.0002

分式運算、整數指數與科學記數法 — 教師解答

八上・正文 83–96 頁・基訓第 42–48 課時

按需要使用示範及帶做，再完成八題核心；補練及進階按程度選用。要求學生交代理由，並驗算原方程或展開核對。

教師示範1

化簡，並保留原式的所有取值限制。

\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}

參考答案

(3x-1)/(x²-1)；x≠-1、1。

\frac{3x-1}{x^2-1}

先由原分母及除式記錄 x≠-1、1。
先通分，並把整個分子乘上所需因式。
(1)/(x-1)+(2)/(x+1) = ((x+1)+2(x-1))/((x-1)(x+1))。
所以為 (3x-1)/(x²-1)，仍須保留 x≠-1、1。

使用因式約分或正確通分。
保留所有原限制，包括除式不為零。

帶做2

化簡，並保留原式的所有取值限制。

\frac{x^2-4}{x+1}\div\frac{x-2}{x+1}

原分母排除___；除式還須排除___。
把÷改成乘倒數，因式分解，再約去___。

參考答案

x+2；x≠-1、2。

x+2

先由原分母及除式記錄 x≠-1、2。
把除法改成乘倒數；原除式仍不可為零。
(x²-4)/(x+1)÷(x-2)/(x+1) = ((x-2)(x+2))/(x+1)×(x+1)/(x-2)。
所以為 x+2，仍須保留 x≠-1、2。

使用因式約分或正確通分。
保留所有原限制，包括除式不為零。

先備3

計算2⁻³，說明負指數的意義。

2^{-3}

參考答案

1/8。

\frac{1}{8}

負指數表示倒數，不表示負值。
2⁻³=1/2³=1/8。

使用題目所述關係並列出計算。
按題意寫出答案及單位。

先備4

化簡，並保留原式的所有取值限制。

\frac{x+1}{x-2}+\frac{2}{x-2}

參考答案

(x+3)/(x-2)；x≠2。

\frac{x+3}{x-2}

先由原分母及除式記錄 x≠2。
分母已相同，只把分子相加。
(x+1)/(x-2)+(2)/(x-2) = (x+1+2)/(x-2)。
所以為 (x+3)/(x-2)，仍須保留 x≠2。

使用因式約分或正確通分。
保留所有原限制，包括除式不為零。

獨立練習5

化簡，並保留原式的所有取值限制。

\frac{x^2-9}{x-1}\times\frac{x-1}{x+3}

參考答案

x-3；x≠1、-3。

x-3

先由原分母及除式記錄 x≠1、-3。
先因式分解，再約去公因式；不可把加減項直接約去。
(x²-9)/(x-1)×(x-1)/(x+3) = ((x-3)(x+3)(x-1))/((x-1)(x+3))。
所以為 x-3，仍須保留 x≠1、-3。

使用因式約分或正確通分。
保留所有原限制，包括除式不為零。

獨立練習6

化簡，並保留原式的所有取值限制。

\frac{2}{x}-\frac{1}{x+1}

參考答案

(x+2)/(x(x+1))；x≠0、-1。

\frac{x+2}{x(x+1)}

先由原分母及除式記錄 x≠0、-1。
先通分，並把整個分子乘上所需因式。
(2)/(x)-(1)/(x+1) = (2(x+1)-x)/(x(x+1))。
所以為 (x+2)/(x(x+1))，仍須保留 x≠0、-1。

使用因式約分或正確通分。
保留所有原限制，包括除式不為零。

獨立練習7

計算(−2)⁻²，先寫成倒數。

(-2)^{-2}

參考答案

1/4。

\frac{1}{4}

整個負底數在倒數中平方。
(−2)⁻²=1/(−2)²=1/4。

使用題目所述關係並列出計算。
按題意寫出答案及單位。

獨立練習8

把 0.00056 寫成科學記數法，要求1≤|a|<10。

0.00056

參考答案

5.6×10⁻⁴。

5.6\times10^{-4}

移動小數點，得尾數5.6，其絕對值介乎1與10之間。
用10⁻⁴補償，所以 0.00056=5.6×10⁻⁴。
核對正負號及小數的數量級。

使用標準化的非零尾數及整數指數。
保持原值及正負號。

離堂題9

化簡，並保留原式的所有取值限制。

\frac{3}{x}\div\frac{6}{x}

參考答案

(1)/(2)；x≠0。

\frac{1}{2}

先由原分母及除式記錄 x≠0。
把除法改成乘倒數；原除式仍不可為零。
(3)/(x)÷(6)/(x) = (3)/(x)×(x)/(6)。
所以為 (1)/(2)，仍須保留 x≠0。

使用因式約分或正確通分。
保留所有原限制，包括除式不為零。

離堂題10

把 0.000072 寫成科學記數法，要求1≤|a|<10。

0.000072

參考答案

7.2×10⁻⁵。

7.2\times10^{-5}

移動小數點，得尾數7.2，其絕對值介乎1與10之間。
用10⁻⁵補償，所以 0.000072=7.2×10⁻⁵。
核對正負號及小數的數量級。

使用標準化的非零尾數及整數指數。
保持原值及正負號。

補練／家課11

化簡，並保留原式的所有取值限制。

(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})(x^2+x)

參考答案

1；x≠0、-1。

1

先由原分母及除式記錄 x≠0、-1。
先完成減法，把x²+x分解成x(x+1)，再相乘約分。
((1)/(x)-(1)/(x+1))(x²+x) = (1)/(x(x+1))x(x+1)。
所以為 1，仍須保留 x≠0、-1。

使用因式約分或正確通分。
保留所有原限制，包括除式不為零。

補練／家課12

化簡，並保留原式的所有取值限制。

\frac{x+2}{x}-\frac{2}{x}

參考答案

1；x≠0。

1

先由原分母及除式記錄 x≠0。
減去整個第二分子：(x+2)−2=x。
(x+2)/(x)-(2)/(x) = (x+2-2)/(x)。
所以為 1，仍須保留 x≠0。

使用因式約分或正確通分。
保留所有原限制，包括除式不為零。

補練／家課13

把 -0.00032 寫成科學記數法，要求1≤|a|<10。

-0.00032

參考答案

-3.2×10⁻⁴。

-3.2\times10^{-4}

移動小數點，得尾數-3.2，其絕對值介乎1與10之間。
用10⁻⁴補償，所以 -0.00032=-3.2×10⁻⁴。
核對正負號及小數的數量級。

使用標準化的非零尾數及整數指數。
保持原值及正負號。

補練／家課14

計算(−2/3)⁻²。

(-2/3)^{-2}

參考答案

9/4。

\frac{9}{4}

把底數取倒數，指數改為正2。
(−3/2)²=9/4。

使用題目所述關係並列出計算。
按題意寫出答案及單位。

進階15

化簡，並保留原式的所有取值限制。

(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})\div\frac{2}{x^2-1}

參考答案

1；x≠-1、1。

1

先由原分母及除式記錄 x≠-1、1。
括號先化成2/(x²−1)，再除以同一個非零式。
((1)/(x-1)-(1)/(x+1))÷(2)/(x²-1) = (2)/(x²-1)÷(2)/(x²-1)。
所以為 1，仍須保留 x≠-1、1。

使用因式約分或正確通分。
保留所有原限制，包括除式不為零。

進階16

計算0.0003×0.0002，並把乘積寫成科學記數法。

0.0003\times0.0002

參考答案

6×10⁻⁸。

6\times10^{-8}

0.0003=3×10⁻⁴，0.0002=2×10⁻⁴。
尾數相乘，指數相加：3×2×10⁻⁸=6×10⁻⁸。
尾數6已標準化；乘積為0.00000006。

使用標準化的非零尾數及整數指數。
保持原值及正負號。