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分式：意義、取值限制與約分｜教師參考

分清分子為零與分母為零，約分後仍保留原限制。

40 分鐘 · 八上・正文 79–82 頁・基訓第 40–41 課時

教材對照：八上第十五章 分式・第40–41課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。 查看上冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

學生課堂頁在研習室安排題單

  1. 4′先備檢查
  2. 5′短探究／概念示範
  3. 8′示範與帶做
  4. 15′獨立練習
  5. 5′訂正
  6. 3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

比較 (x²−9)/(x−3) 與 x+3 在數個允許取值的結果，再檢查 x=3：為何仍須保留限制？

整理關鍵概念

分式的分母不可為零；只能約去因式，不能約去加減項；約分不會令禁值重新變得可用。

開啟原章節

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

教師示範1

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x2−9x−3\frac{x^2-9}{x-3}
檢核清單
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
帶做2

化簡，並保留原式的所有取值限制。

2x2+4x2x\frac{2x^2+4x}{2x}
  1. 原式限制：x≠___。
  2. 分子分解成2x(___)；約去因式___，不是加減項。
檢核清單
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
先備3

哪個式子的分母含有字母？

1x+2\frac{1}{x+2}
  1. x²
  2. x+1
  3. 1/(x+2)
  4. x/3
檢核清單
  • 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
先備4

x=3時，求1/(x−2)的值，先檢查分母。

1/(3−2)1/(3-2)
檢核清單
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
獨立練習5

寫取值限制。這個分式可否約分？

x+1x−4\frac{x+1}{x-4}
檢核清單
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
獨立練習6

x取何值時(x−5)/(x+1)等於零？檢查原式有意義。

x−5x+1=0\frac{x-5}{x+1}=0
檢核清單
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
獨立練習7

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x2−16x+4\frac{x^2-16}{x+4}
檢核清單
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
獨立練習8

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x2+3xx\frac{x^2+3x}{x}
檢核清單
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
離堂題9

化簡(x−2)/(x−2)。化簡後可否使用x=2？寫原限制。

x−2x−2\frac{x-2}{x-2}
檢核清單
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
離堂題10

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x+2x\frac{x+2}{x}
檢核清單
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
補練／家課11

化簡，並保留原式的所有取值限制。

3x6x\frac{3x}{6x}
檢核清單
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
補練／家課12

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x2−1x−1\frac{x^2-1}{x-1}
檢核清單
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
補練／家課13

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x2+2xx+2\frac{x^2+2x}{x+2}
檢核清單
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
補練／家課14

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x−1x+1\frac{x-1}{x+1}
檢核清單
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
進階15

約分後公式為x+2。說明為何在所有實數取值上，它不等同原式。

x2−4x−2\frac{x^2-4}{x-2}
檢核清單
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
進階16

化簡，並說明最終公式只是x，為何x=1仍屬禁值。

x2−xx−1\frac{x^2-x}{x-1}
檢核清單
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
備課與評量說明

先備要求

分數、簡單一元一次方程及因式分解。

觀察學生作答

按需要使用示範及帶做，再完成八題核心；補練及進階按程度選用。要求學生交代理由，並驗算原方程或展開核對。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

全部參考答案

教師示範1

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x2−9x−3\frac{x^2-9}{x-3}
參考答案

x+3；x≠3。

x+3x+3
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠3。
  2. 先因式分解，再約去公因式；不可把加減項直接約去。
  3. (x²-9)/(x-3) = ((x-3)(x+3))/(x-3)。
  4. 所以為 x+3，仍須保留 x≠3。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
帶做2

化簡，並保留原式的所有取值限制。

2x2+4x2x\frac{2x^2+4x}{2x}
  1. 原式限制：x≠___。
  2. 分子分解成2x(___)；約去因式___，不是加減項。
參考答案

x+2；x≠0。

x+2x+2
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠0。
  2. 先因式分解，再約去公因式；不可把加減項直接約去。
  3. (2x²+4x)/(2x) = (2x(x+2))/(2x)。
  4. 所以為 x+2，仍須保留 x≠0。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
先備3

哪個式子的分母含有字母？

1x+2\frac{1}{x+2}
  1. x²
  2. x+1
  3. 1/(x+2)
  4. x/3
參考答案

1/(x+2)

1x+2\frac{1}{x+2}
  1. 檢查原式的分母。
  2. 只有1/(x+2)的分母含字母，且須排除x=−2。
  • 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
先備4

x=3時，求1/(x−2)的值，先檢查分母。

1/(3−2)1/(3-2)
參考答案

1。

  1. 分母為3−2=1，不為零。
  2. 分式值為1/1=1。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
獨立練習5

寫取值限制。這個分式可否約分？

x+1x−4\frac{x+1}{x-4}
參考答案

(x+1)/(x-4)；x≠4。

x+1x−4\frac{x+1}{x-4}
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠4。
  2. 沒有公因式可約去；解x−4=0得禁值。
  3. (x+1)/(x-4) = (x+1)/(x-4)。
  4. 所以為 (x+1)/(x-4)，仍須保留 x≠4。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
獨立練習6

x取何值時(x−5)/(x+1)等於零？檢查原式有意義。

x−5x+1=0\frac{x-5}{x+1}=0
參考答案

x=5。

  1. 分式為零須分子為零、分母不為零。
  2. x−5=0得x=5；代入分母為6≠0。
  3. 原分式為0/6=0，所以x=5可用。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
獨立練習7

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x2−16x+4\frac{x^2-16}{x+4}
參考答案

x-4；x≠-4。

x−4x-4
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠-4。
  2. 先因式分解，再約去公因式；不可把加減項直接約去。
  3. (x²-16)/(x+4) = ((x-4)(x+4))/(x+4)。
  4. 所以為 x-4，仍須保留 x≠-4。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
獨立練習8

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x2+3xx\frac{x^2+3x}{x}
參考答案

x+3；x≠0。

x+3x+3
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠0。
  2. 先因式分解，再約去公因式；不可把加減項直接約去。
  3. (x²+3x)/(x) = (x(x+3))/(x)。
  4. 所以為 x+3，仍須保留 x≠0。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
離堂題9

化簡(x−2)/(x−2)。化簡後可否使用x=2？寫原限制。

x−2x−2\frac{x-2}{x-2}
參考答案

1；x≠2。

11
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠2。
  2. 公因式不為零時才可約去；x=2時原式為0/0。
  3. (x-2)/(x-2) = 1。
  4. 所以為 1，仍須保留 x≠2。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
離堂題10

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x+2x\frac{x+2}{x}
參考答案

1+(2)/(x)；x≠0。

1+2x1+\frac{2}{x}
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠0。
  2. 可把分子各項分別除以x；x不是整個分子x+2的因式。
  3. (x+2)/(x) = (x)/(x)+(2)/(x)。
  4. 所以為 1+(2)/(x)，仍須保留 x≠0。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
補練／家課11

化簡，並保留原式的所有取值限制。

3x6x\frac{3x}{6x}
參考答案

(1)/(2)；x≠0。

12\frac{1}{2}
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠0。
  2. 先因式分解，再約去公因式；不可把加減項直接約去。
  3. (3x)/(6x) = (3)/(6)。
  4. 所以為 (1)/(2)，仍須保留 x≠0。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
補練／家課12

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x2−1x−1\frac{x^2-1}{x-1}
參考答案

x+1；x≠1。

x+1x+1
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠1。
  2. 先因式分解，再約去公因式；不可把加減項直接約去。
  3. (x²-1)/(x-1) = ((x-1)(x+1))/(x-1)。
  4. 所以為 x+1，仍須保留 x≠1。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
補練／家課13

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x2+2xx+2\frac{x^2+2x}{x+2}
參考答案

x；x≠-2。

xx
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠-2。
  2. 先因式分解，再約去公因式；不可把加減項直接約去。
  3. (x²+2x)/(x+2) = (x(x+2))/(x+2)。
  4. 所以為 x，仍須保留 x≠-2。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
補練／家課14

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x−1x+1\frac{x-1}{x+1}
參考答案

(x-1)/(x+1)；x≠-1。

x−1x+1\frac{x-1}{x+1}
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠-1。
  2. 分子、分母沒有共同的非常數因式；保留x≠−1。
  3. (x-1)/(x+1) = (x-1)/(x+1)。
  4. 所以為 (x-1)/(x+1)，仍須保留 x≠-1。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
進階15

約分後公式為x+2。說明為何在所有實數取值上，它不等同原式。

x2−4x−2\frac{x^2-4}{x-2}
參考答案

x≠2時相同；原式在2無意義，但不設限制的多項式在2的值為4。

x+2x+2
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠2。
  2. 先因式分解，再約去公因式；不可把加減項直接約去。
  3. (x²-4)/(x-2) = ((x-2)(x+2))/(x-2)。
  4. 所以為 x+2，仍須保留 x≠2。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
進階16

化簡，並說明最終公式只是x，為何x=1仍屬禁值。

x2−xx−1\frac{x^2-x}{x-1}
參考答案

x；x≠1。

xx
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠1。
  2. 先因式分解，再約去公因式；不可把加減項直接約去。
  3. (x²-x)/(x-1) = (x(x-1))/(x-1)。
  4. 所以為 x，仍須保留 x≠1。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

教材對照與編寫

對應課本課時教學後的章節核心練習；這些題目不代替每一節新授課。

大湾区初中数学三维课堂（八年级上册）正文.pdf

八上・正文 79–82 頁・基訓第 40–41 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

分式：意義、取值限制與約分

八上・正文 79–82 頁・基訓第 40–41 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x2−9x−3\frac{x^2-9}{x-3}
帶做2

化簡，並保留原式的所有取值限制。

2x2+4x2x\frac{2x^2+4x}{2x}
  1. 原式限制：x≠___。
  2. 分子分解成2x(___)；約去因式___，不是加減項。
先備3

哪個式子的分母含有字母？

1x+2\frac{1}{x+2}
  1. x²
  2. x+1
  3. 1/(x+2)
  4. x/3
先備4

x=3時，求1/(x−2)的值，先檢查分母。

1/(3−2)1/(3-2)
g8-rational-expressions · 2026-10-14-upper-core-v1 · 留意條件與理由；量度不代替證明。

分式：意義、取值限制與約分

八上・正文 79–82 頁・基訓第 40–41 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

寫取值限制。這個分式可否約分？

x+1x−4\frac{x+1}{x-4}
獨立練習6

x取何值時(x−5)/(x+1)等於零？檢查原式有意義。

x−5x+1=0\frac{x-5}{x+1}=0
獨立練習7

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x2−16x+4\frac{x^2-16}{x+4}
獨立練習8

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x2+3xx\frac{x^2+3x}{x}
離堂題9

化簡(x−2)/(x−2)。化簡後可否使用x=2？寫原限制。

x−2x−2\frac{x-2}{x-2}
離堂題10

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x+2x\frac{x+2}{x}
g8-rational-expressions · 2026-10-14-upper-core-v1 · 留意條件與理由；量度不代替證明。

分式：意義、取值限制與約分 — 補練

八上・正文 79–82 頁・基訓第 40–41 課時

補練／家課11

化簡，並保留原式的所有取值限制。

3x6x\frac{3x}{6x}
補練／家課12

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x2−1x−1\frac{x^2-1}{x-1}
補練／家課13

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x2+2xx+2\frac{x^2+2x}{x+2}
補練／家課14

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x−1x+1\frac{x-1}{x+1}
進階15

約分後公式為x+2。說明為何在所有實數取值上，它不等同原式。

x2−4x−2\frac{x^2-4}{x-2}
進階16

化簡，並說明最終公式只是x，為何x=1仍屬禁值。

x2−xx−1\frac{x^2-x}{x-1}

分式：意義、取值限制與約分 — 教師解答

八上・正文 79–82 頁・基訓第 40–41 課時

按需要使用示範及帶做，再完成八題核心；補練及進階按程度選用。要求學生交代理由，並驗算原方程或展開核對。

教師示範1

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x2−9x−3\frac{x^2-9}{x-3}
參考答案

x+3；x≠3。

x+3x+3
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠3。
  2. 先因式分解，再約去公因式；不可把加減項直接約去。
  3. (x²-9)/(x-3) = ((x-3)(x+3))/(x-3)。
  4. 所以為 x+3，仍須保留 x≠3。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
帶做2

化簡，並保留原式的所有取值限制。

2x2+4x2x\frac{2x^2+4x}{2x}
  1. 原式限制：x≠___。
  2. 分子分解成2x(___)；約去因式___，不是加減項。
參考答案

x+2；x≠0。

x+2x+2
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠0。
  2. 先因式分解，再約去公因式；不可把加減項直接約去。
  3. (2x²+4x)/(2x) = (2x(x+2))/(2x)。
  4. 所以為 x+2，仍須保留 x≠0。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
先備3

哪個式子的分母含有字母？

1x+2\frac{1}{x+2}
  1. x²
  2. x+1
  3. 1/(x+2)
  4. x/3
參考答案

1/(x+2)

1x+2\frac{1}{x+2}
  1. 檢查原式的分母。
  2. 只有1/(x+2)的分母含字母，且須排除x=−2。
  • 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
先備4

x=3時，求1/(x−2)的值，先檢查分母。

1/(3−2)1/(3-2)
參考答案

1。

  1. 分母為3−2=1，不為零。
  2. 分式值為1/1=1。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
獨立練習5

寫取值限制。這個分式可否約分？

x+1x−4\frac{x+1}{x-4}
參考答案

(x+1)/(x-4)；x≠4。

x+1x−4\frac{x+1}{x-4}
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠4。
  2. 沒有公因式可約去；解x−4=0得禁值。
  3. (x+1)/(x-4) = (x+1)/(x-4)。
  4. 所以為 (x+1)/(x-4)，仍須保留 x≠4。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
獨立練習6

x取何值時(x−5)/(x+1)等於零？檢查原式有意義。

x−5x+1=0\frac{x-5}{x+1}=0
參考答案

x=5。

  1. 分式為零須分子為零、分母不為零。
  2. x−5=0得x=5；代入分母為6≠0。
  3. 原分式為0/6=0，所以x=5可用。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
獨立練習7

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x2−16x+4\frac{x^2-16}{x+4}
參考答案

x-4；x≠-4。

x−4x-4
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠-4。
  2. 先因式分解，再約去公因式；不可把加減項直接約去。
  3. (x²-16)/(x+4) = ((x-4)(x+4))/(x+4)。
  4. 所以為 x-4，仍須保留 x≠-4。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
獨立練習8

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x2+3xx\frac{x^2+3x}{x}
參考答案

x+3；x≠0。

x+3x+3
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠0。
  2. 先因式分解，再約去公因式；不可把加減項直接約去。
  3. (x²+3x)/(x) = (x(x+3))/(x)。
  4. 所以為 x+3，仍須保留 x≠0。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
離堂題9

化簡(x−2)/(x−2)。化簡後可否使用x=2？寫原限制。

x−2x−2\frac{x-2}{x-2}
參考答案

1；x≠2。

11
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠2。
  2. 公因式不為零時才可約去；x=2時原式為0/0。
  3. (x-2)/(x-2) = 1。
  4. 所以為 1，仍須保留 x≠2。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
離堂題10

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x+2x\frac{x+2}{x}
參考答案

1+(2)/(x)；x≠0。

1+2x1+\frac{2}{x}
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠0。
  2. 可把分子各項分別除以x；x不是整個分子x+2的因式。
  3. (x+2)/(x) = (x)/(x)+(2)/(x)。
  4. 所以為 1+(2)/(x)，仍須保留 x≠0。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
補練／家課11

化簡，並保留原式的所有取值限制。

3x6x\frac{3x}{6x}
參考答案

(1)/(2)；x≠0。

12\frac{1}{2}
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠0。
  2. 先因式分解，再約去公因式；不可把加減項直接約去。
  3. (3x)/(6x) = (3)/(6)。
  4. 所以為 (1)/(2)，仍須保留 x≠0。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
補練／家課12

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x2−1x−1\frac{x^2-1}{x-1}
參考答案

x+1；x≠1。

x+1x+1
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠1。
  2. 先因式分解，再約去公因式；不可把加減項直接約去。
  3. (x²-1)/(x-1) = ((x-1)(x+1))/(x-1)。
  4. 所以為 x+1，仍須保留 x≠1。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
補練／家課13

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x2+2xx+2\frac{x^2+2x}{x+2}
參考答案

x；x≠-2。

xx
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠-2。
  2. 先因式分解，再約去公因式；不可把加減項直接約去。
  3. (x²+2x)/(x+2) = (x(x+2))/(x+2)。
  4. 所以為 x，仍須保留 x≠-2。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
補練／家課14

化簡，並保留原式的所有取值限制。

x−1x+1\frac{x-1}{x+1}
參考答案

(x-1)/(x+1)；x≠-1。

x−1x+1\frac{x-1}{x+1}
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠-1。
  2. 分子、分母沒有共同的非常數因式；保留x≠−1。
  3. (x-1)/(x+1) = (x-1)/(x+1)。
  4. 所以為 (x-1)/(x+1)，仍須保留 x≠-1。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
進階15

約分後公式為x+2。說明為何在所有實數取值上，它不等同原式。

x2−4x−2\frac{x^2-4}{x-2}
參考答案

x≠2時相同；原式在2無意義，但不設限制的多項式在2的值為4。

x+2x+2
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠2。
  2. 先因式分解，再約去公因式；不可把加減項直接約去。
  3. (x²-4)/(x-2) = ((x-2)(x+2))/(x-2)。
  4. 所以為 x+2，仍須保留 x≠2。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
進階16

化簡，並說明最終公式只是x，為何x=1仍屬禁值。

x2−xx−1\frac{x^2-x}{x-1}
參考答案

x；x≠1。

xx
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠1。
  2. 先因式分解，再約去公因式；不可把加減項直接約去。
  3. (x²-x)/(x-1) = (x(x-1))/(x-1)。
  4. 所以為 x，仍須保留 x≠1。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。