Kenneth Cheng數學・模型・思考
搜尋EN

紙筆・推理・練習

分式方程：驗根與應用｜教師參考

完整去分母、檢查增根，並建立工程與行程模型。

40 分鐘 · 八上・正文 97–104 頁・基訓第 49–52 課時

教材對照：八上第十五章 分式・第49–52課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。 查看上冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

學生課堂頁在研習室安排題單

  1. 4′先備檢查
  2. 5′短探究／概念示範
  3. 8′示範與帶做
  4. 15′獨立練習
  5. 5′訂正
  6. 3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

比較有效解與令原分母為零的候選值：計算的哪一步揭示兩者差異？

整理關鍵概念

去分母只產生候選值；必須令原方程有意義、成立，且符合情境，才是解。

開啟原章節

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

教師示範1

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

xx−2=2x−2\frac{x}{x-2}=\frac{2}{x-2}
檢核清單
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
帶做2

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

3x−1=2\frac{3}{x-1}=2
  1. 限制x≠___；去分母得3=___。
  2. 候選值x=___；原分母=___，所以___。
檢核清單
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
先備3

解任何含1/(x−3)的方程前，先寫其禁值。

1x−3\frac{1}{x-3}
檢核清單
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
先備4

工程隊以固定效率6天完成一項工程。每天完成全工程的幾分之幾？

檢核清單
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
獨立練習5

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

2x−1=1\frac{2}{x-1}=1
檢核清單
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
獨立練習6

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

x+1x−2=3x−2\frac{x+1}{x-2}=\frac{3}{x-2}
檢核清單
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
獨立練習7

甲隊單獨需12天，甲乙合作需4天。設乙隊單獨需x天，列效率方程並求x。

檢核清單
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
獨立練習8

兩人所用時間相同。一人以x km/h走90 km，另一人以(x+10) km/h走120 km。求x。

檢核清單
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
離堂題9

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

1x−1=2x−1\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x-1}
檢核清單
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
離堂題10

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

4x=2\frac{4}{x}=2
檢核清單
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
補練／家課11

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

3x2−4=1x−2\frac{3}{x^2-4}=\frac{1}{x-2}
檢核清單
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
補練／家課12

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

12x=2x+3\frac{1}{2x}=\frac{2}{x+3}
檢核清單
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
補練／家課13

甲單獨需6天，乙單獨需3天。設合作需x天，列工作量方程並求解。

檢核清單
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
補練／家課14

兩段旅程用時相同：180 km的速度為x km/h，240 km的速度為(x+20) km/h。求x。

檢核清單
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
進階15

甲單獨需8天，甲乙合作需3天。設乙單獨需x天，求x。

檢核清單
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
進階16

單車以x km/h走12 km。巴士速度為2x km/h，遲1/2小時出發但同時到達。求x。

檢核清單
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
備課與評量說明

先備要求

分式運算、一次方程、工作量分數及路程÷速度。

觀察學生作答

按需要使用示範及帶做，再完成八題核心；補練及進階按程度選用。要求學生交代理由，並驗算原方程或展開核對。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

全部參考答案

教師示範1

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

xx−2=2x−2\frac{x}{x-2}=\frac{2}{x-2}
參考答案

無解。

  1. 原方程要求x≠2。
  2. 兩邊乘x−2，得x=2。
  3. 該候選值令兩個原分母均為零，必須捨去。
  4. 所以原方程無解。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
帶做2

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

3x−1=2\frac{3}{x-1}=2
  1. 限制x≠___；去分母得3=___。
  2. 候選值x=___；原分母=___，所以___。
參考答案

x=5/2。

  1. 限制為x≠1。
  2. 每項乘x−1：3=2(x−1)。
  3. 3=2x−2，所以x=5/2。
  4. 驗算：3/(5/2−1)=3/(3/2)=2，且5/2≠1。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
先備3

解任何含1/(x−3)的方程前，先寫其禁值。

1x−3\frac{1}{x-3}
參考答案

(1)/(x-3)；x≠3。

1x−3\frac{1}{x-3}
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠3。
  2. 分母x−3不可為零。
  3. (1)/(x-3) = (1)/(x-3)。
  4. 所以為 (1)/(x-3)，仍須保留 x≠3。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
先備4

工程隊以固定效率6天完成一項工程。每天完成全工程的幾分之幾？

參考答案

1/6。

16\frac{1}{6}
  1. 把全工程看作1。
  2. 每天效率=全工程÷天數=1/6。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
獨立練習5

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

2x−1=1\frac{2}{x-1}=1
參考答案

x=3。

  1. 先記x≠1。
  2. 2=x−1得x=3。
  3. 驗算2/(3−1)=1，分母2不為零。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
獨立練習6

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

x+1x−2=3x−2\frac{x+1}{x-2}=\frac{3}{x-2}
參考答案

無解。

  1. 原限制為x≠2。
  2. 去分母得x+1=3，候選值為x=2。
  3. 候選值屬禁值，所以原方程無解。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
獨立練習7

甲隊單獨需12天，甲乙合作需4天。設乙隊單獨需x天，列效率方程並求x。

參考答案

x=6 天；為正且符合原模型。

112+1x=14\frac{1}{12}+\frac{1}{x}=\frac{1}{4}
  1. 甲效率1/12，乙效率1/x；要求x>0。
  2. 效率相加：1/12+1/x=1/4。
  3. 得1/x=1/6，所以x=6天。
  4. 驗算1/12+1/6=1/4；6為正且不為零。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
獨立練習8

兩人所用時間相同。一人以x km/h走90 km，另一人以(x+10) km/h走120 km。求x。

參考答案

x=30 km/h；為正且符合原模型。

90x=120x+10\frac{90}{x}=\frac{120}{x+10}
  1. 時間為90/x及120/(x+10)，要求x>0。
  2. 時間相等，去分母得90(x+10)=120x。
  3. 900=30x，所以x=30 km/h。
  4. 驗算90/30=120/40=3小時；兩速度均為正。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
離堂題9

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

1x−1=2x−1\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x-1}
參考答案

無解。

  1. 原式要求x≠1。
  2. 去共同分母得1=2，不可能。
  3. 所以無解；不可用禁值x=1逃避矛盾。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
離堂題10

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

4x=2\frac{4}{x}=2
參考答案

x=2。

  1. 先記x≠0，再得4=2x。
  2. x=2；代回原方程4/2=2。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
補練／家課11

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

3x2−4=1x−2\frac{3}{x^2-4}=\frac{1}{x-2}
參考答案

x=1。

  1. 分解x²−4=(x−2)(x+2)，所以x≠−2、2。
  2. 乘完整分母，得3=x+2。
  3. x=1；驗算3/(1−4)=−1=1/(1−2)。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
補練／家課12

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

12x=2x+3\frac{1}{2x}=\frac{2}{x+3}
參考答案

x=1。

  1. 限制為x≠0、−3。
  2. 乘2x(x+3)，得x+3=4x，所以x=1。
  3. 驗算1/(2×1)=2/(1+3)=1/2。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
補練／家課13

甲單獨需6天，乙單獨需3天。設合作需x天，列工作量方程並求解。

參考答案

x=2 天；為正且符合原模型。

x6+x3=1\frac{x}{6}+\frac{x}{3}=1
  1. x天內完成的工作量分別為x/6、x/3。
  2. x/6+x/3=1得x+2x=6，所以x=2。
  3. 驗算2/6+2/3=1；2天為正。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
補練／家課14

兩段旅程用時相同：180 km的速度為x km/h，240 km的速度為(x+20) km/h。求x。

參考答案

x=60 km/h；為正且符合原模型。

180x=240x+20\frac{180}{x}=\frac{240}{x+20}
  1. 用時間=路程/速度，要求x>0。
  2. 180(x+20)=240x得3600=60x，所以x=60。
  3. 驗算180/60=240/80=3小時。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
進階15

甲單獨需8天，甲乙合作需3天。設乙單獨需x天，求x。

參考答案

x=24/5 天；為正且符合原模型。

18+1x=13\frac{1}{8}+\frac{1}{x}=\frac{1}{3}
  1. 要求x>0，效率相加：1/8+1/x=1/3。
  2. 1/x=1/3−1/8=5/24，所以x=24/5天。
  3. 驗算1/8+5/24=3/24+5/24=1/3；非整數天數仍可成立。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
進階16

單車以x km/h走12 km。巴士速度為2x km/h，遲1/2小時出發但同時到達。求x。

參考答案

x=12 km/h；為正且符合原模型。

12x=122x+12\frac{12}{x}=\frac{12}{2x}+\frac{1}{2}
  1. 單車時間比巴士多1/2小時，要求x>0。
  2. 12/x=6/x+1/2得6/x=1/2，所以x=12。
  3. 驗算單車需1小時，巴士需1/2小時，加上遲出發的1/2小時，同時到達。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

教材對照與編寫

對應課本課時教學後的章節核心練習；這些題目不代替每一節新授課。

大湾区初中数学三维课堂（八年级上册）正文.pdf

八上・正文 97–104 頁・基訓第 49–52 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

分式方程：驗根與應用

八上・正文 97–104 頁・基訓第 49–52 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

xx−2=2x−2\frac{x}{x-2}=\frac{2}{x-2}
帶做2

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

3x−1=2\frac{3}{x-1}=2
  1. 限制x≠___；去分母得3=___。
  2. 候選值x=___；原分母=___，所以___。
先備3

解任何含1/(x−3)的方程前，先寫其禁值。

1x−3\frac{1}{x-3}
先備4

工程隊以固定效率6天完成一項工程。每天完成全工程的幾分之幾？

g8-rational-equations · 2026-10-14-upper-core-v1 · 留意條件與理由；量度不代替證明。

分式方程：驗根與應用

八上・正文 97–104 頁・基訓第 49–52 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

2x−1=1\frac{2}{x-1}=1
獨立練習6

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

x+1x−2=3x−2\frac{x+1}{x-2}=\frac{3}{x-2}
獨立練習7

甲隊單獨需12天，甲乙合作需4天。設乙隊單獨需x天，列效率方程並求x。

獨立練習8

兩人所用時間相同。一人以x km/h走90 km，另一人以(x+10) km/h走120 km。求x。

離堂題9

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

1x−1=2x−1\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x-1}
離堂題10

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

4x=2\frac{4}{x}=2
g8-rational-equations · 2026-10-14-upper-core-v1 · 留意條件與理由；量度不代替證明。

分式方程：驗根與應用 — 補練

八上・正文 97–104 頁・基訓第 49–52 課時

補練／家課11

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

3x2−4=1x−2\frac{3}{x^2-4}=\frac{1}{x-2}
補練／家課12

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

12x=2x+3\frac{1}{2x}=\frac{2}{x+3}
補練／家課13

甲單獨需6天，乙單獨需3天。設合作需x天，列工作量方程並求解。

補練／家課14

兩段旅程用時相同：180 km的速度為x km/h，240 km的速度為(x+20) km/h。求x。

進階15

甲單獨需8天，甲乙合作需3天。設乙單獨需x天，求x。

進階16

單車以x km/h走12 km。巴士速度為2x km/h，遲1/2小時出發但同時到達。求x。

分式方程：驗根與應用 — 教師解答

八上・正文 97–104 頁・基訓第 49–52 課時

按需要使用示範及帶做，再完成八題核心；補練及進階按程度選用。要求學生交代理由，並驗算原方程或展開核對。

教師示範1

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

xx−2=2x−2\frac{x}{x-2}=\frac{2}{x-2}
參考答案

無解。

  1. 原方程要求x≠2。
  2. 兩邊乘x−2，得x=2。
  3. 該候選值令兩個原分母均為零，必須捨去。
  4. 所以原方程無解。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
帶做2

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

3x−1=2\frac{3}{x-1}=2
  1. 限制x≠___；去分母得3=___。
  2. 候選值x=___；原分母=___，所以___。
參考答案

x=5/2。

  1. 限制為x≠1。
  2. 每項乘x−1：3=2(x−1)。
  3. 3=2x−2，所以x=5/2。
  4. 驗算：3/(5/2−1)=3/(3/2)=2，且5/2≠1。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
先備3

解任何含1/(x−3)的方程前，先寫其禁值。

1x−3\frac{1}{x-3}
參考答案

(1)/(x-3)；x≠3。

1x−3\frac{1}{x-3}
  1. 先由原分母及除式記錄 x≠3。
  2. 分母x−3不可為零。
  3. (1)/(x-3) = (1)/(x-3)。
  4. 所以為 (1)/(x-3)，仍須保留 x≠3。
  • 使用因式約分或正確通分。
  • 保留所有原限制，包括除式不為零。
先備4

工程隊以固定效率6天完成一項工程。每天完成全工程的幾分之幾？

參考答案

1/6。

16\frac{1}{6}
  1. 把全工程看作1。
  2. 每天效率=全工程÷天數=1/6。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
獨立練習5

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

2x−1=1\frac{2}{x-1}=1
參考答案

x=3。

  1. 先記x≠1。
  2. 2=x−1得x=3。
  3. 驗算2/(3−1)=1，分母2不為零。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
獨立練習6

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

x+1x−2=3x−2\frac{x+1}{x-2}=\frac{3}{x-2}
參考答案

無解。

  1. 原限制為x≠2。
  2. 去分母得x+1=3，候選值為x=2。
  3. 候選值屬禁值，所以原方程無解。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
獨立練習7

甲隊單獨需12天，甲乙合作需4天。設乙隊單獨需x天，列效率方程並求x。

參考答案

x=6 天；為正且符合原模型。

112+1x=14\frac{1}{12}+\frac{1}{x}=\frac{1}{4}
  1. 甲效率1/12，乙效率1/x；要求x>0。
  2. 效率相加：1/12+1/x=1/4。
  3. 得1/x=1/6，所以x=6天。
  4. 驗算1/12+1/6=1/4；6為正且不為零。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
獨立練習8

兩人所用時間相同。一人以x km/h走90 km，另一人以(x+10) km/h走120 km。求x。

參考答案

x=30 km/h；為正且符合原模型。

90x=120x+10\frac{90}{x}=\frac{120}{x+10}
  1. 時間為90/x及120/(x+10)，要求x>0。
  2. 時間相等，去分母得90(x+10)=120x。
  3. 900=30x，所以x=30 km/h。
  4. 驗算90/30=120/40=3小時；兩速度均為正。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
離堂題9

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

1x−1=2x−1\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x-1}
參考答案

無解。

  1. 原式要求x≠1。
  2. 去共同分母得1=2，不可能。
  3. 所以無解；不可用禁值x=1逃避矛盾。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
離堂題10

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

4x=2\frac{4}{x}=2
參考答案

x=2。

  1. 先記x≠0，再得4=2x。
  2. x=2；代回原方程4/2=2。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
補練／家課11

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

3x2−4=1x−2\frac{3}{x^2-4}=\frac{1}{x-2}
參考答案

x=1。

  1. 分解x²−4=(x−2)(x+2)，所以x≠−2、2。
  2. 乘完整分母，得3=x+2。
  3. x=1；驗算3/(1−4)=−1=1/(1−2)。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
補練／家課12

解方程，寫出限制，並把每個候選值代回原方程檢驗。

12x=2x+3\frac{1}{2x}=\frac{2}{x+3}
參考答案

x=1。

  1. 限制為x≠0、−3。
  2. 乘2x(x+3)，得x+3=4x，所以x=1。
  3. 驗算1/(2×1)=2/(1+3)=1/2。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
補練／家課13

甲單獨需6天，乙單獨需3天。設合作需x天，列工作量方程並求解。

參考答案

x=2 天；為正且符合原模型。

x6+x3=1\frac{x}{6}+\frac{x}{3}=1
  1. x天內完成的工作量分別為x/6、x/3。
  2. x/6+x/3=1得x+2x=6，所以x=2。
  3. 驗算2/6+2/3=1；2天為正。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
補練／家課14

兩段旅程用時相同：180 km的速度為x km/h，240 km的速度為(x+20) km/h。求x。

參考答案

x=60 km/h；為正且符合原模型。

180x=240x+20\frac{180}{x}=\frac{240}{x+20}
  1. 用時間=路程/速度，要求x>0。
  2. 180(x+20)=240x得3600=60x，所以x=60。
  3. 驗算180/60=240/80=3小時。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
進階15

甲單獨需8天，甲乙合作需3天。設乙單獨需x天，求x。

參考答案

x=24/5 天；為正且符合原模型。

18+1x=13\frac{1}{8}+\frac{1}{x}=\frac{1}{3}
  1. 要求x>0，效率相加：1/8+1/x=1/3。
  2. 1/x=1/3−1/8=5/24，所以x=24/5天。
  3. 驗算1/8+5/24=3/24+5/24=1/3；非整數天數仍可成立。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。
進階16

單車以x km/h走12 km。巴士速度為2x km/h，遲1/2小時出發但同時到達。求x。

參考答案

x=12 km/h；為正且符合原模型。

12x=122x+12\frac{12}{x}=\frac{12}{2x}+\frac{1}{2}
  1. 單車時間比巴士多1/2小時，要求x>0。
  2. 12/x=6/x+1/2得6/x=1/2，所以x=12。
  3. 驗算單車需1小時，巴士需1/2小時，加上遲出發的1/2小時，同時到達。
  • 寫出完整的去分母方程。
  • 檢查原分母及原等式。