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勾股定理：辨認邊與計算長度

建立直角三角形，選擇平方相加或相減，保留正的精確長度。

40 分鐘 · 八下・正文 13–18 頁・正文第 7–9 課時

教材對照：八下第17章 勾股定理・第7–9課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。 查看下冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

教師參考在研習室安排題單

  1. 4′先備檢查
  2. 5′短探究／概念示範
  3. 8′示範與帶做
  4. 15′獨立練習
  5. 5′訂正
  6. 3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

3分鐘：預測兩直角邊同時加倍時，斜邊及其平方如何改變；先指出斜邊。 8分鐘：在現有勾股探究記錄直角邊 (3,4)、(6,8)：c＝5、10，c²＝25、100。再只把第一邊由3改6，第二邊維持4；分開記錄精確平方關係與小數顯示。 5分鐘：用勾股定理解釋長度2倍、平方4倍；為何只改一條邊不會得到相同比例？ 2分鐘：獨立求直角邊9、12的斜邊，寫出直角條件及單位。

整理關鍵概念

直角三角形的斜邊為 c 時，a2+b2=c2a^{2}+b^{2}=c^{2}；邊長取正平方根。

開啟原章節開啟互動探究

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

普通班用首個指定例作5分鐘概念示範；進階班按完整18分鐘探究，先寫預測再核對。

教師示範1

直角三角形兩直角邊為 55 cm、1212 cm，求斜邊。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
帶做2

直角三角形斜邊為 1010 cm，一直角邊為 66 cm，求另一直角邊。

  1. 設未知直角邊為 b：b2+62=102b^{2}+6^{2}=10^{2}。
  2. b2=100−36=□b^{2}=100-36=\square。
  3. 正的邊長：b=□=□b=\sqrt{\square}=\square cm。
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
先備3

計算 32+423^{2}+4^{2}。

32+423^{2}+4^{2}
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
先備4

圖中 ∠C 為直角。哪一邊是斜邊？

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
獨立練習5

直角三角形兩直角邊為 77 cm、2424 cm，求斜邊。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
獨立練習6

直角三角形斜邊為 1717 cm，一直角邊為 88 cm，求另一直角邊。

檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
獨立練習7

長方形相鄰邊為 6 cm、8 cm。求對角線，並指出所用直角三角形。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABCD
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
獨立練習8

13 m 長梯靠在垂直牆上，梯腳在水平地面，距牆 5 m。求梯頂離地高度。

檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
離堂題9

直角三角形兩直角邊為 88 cm、1515 cm，求斜邊。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
離堂題10

直角三角形斜邊為 2525 cm，一直角邊為 77 cm，求另一直角邊。

檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
補練／家課11

直角三角形兩直角邊為 1.51.5 cm、22 cm，求斜邊。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
補練／家課12

正方形邊長為 5 cm。精確求對角線。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
補練／家課13

補成直角三角形，求 (0,0)(0,0) 至 (3,4)(3,4) 的距離。

-1012345-1012345xyOA
依已知條件及所標刻度作答。
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
補練／家課14

直角三角形斜邊為 2929 cm，一直角邊為 2020 cm，求另一直角邊。

檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
進階15

直角三角形兩直角邊為 4 cm、5 cm。求精確斜邊，並說明為何不可能是 9 cm。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
進階16

把兩直角邊為 3 cm、4 cm 的直角三角形放大 2 倍。求新斜邊，並解釋為何亦加倍。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
備課與評量說明

先備要求

平方、平方根、垂直及長度單位。

觀察學生作答

以兩題先備判斷支援需要；投影示範及帶做，再收集八題紙筆核心作答。補練及進階按需要選用，接受其他完整正確方法；本頁不保存學生紙筆答案。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

教材對照與編寫

配合所列下冊正文課時學習後使用的原創章節核心練習。教材頁碼只作技能對照，不重刊教材習題。

大湾区初中数学三维课堂（八年级下册）正文.pdf

八下・正文 13–18 頁・正文第 7–9 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

勾股定理：辨認邊與計算長度

八下・正文 13–18 頁・正文第 7–9 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

直角三角形兩直角邊為 55 cm、1212 cm，求斜邊。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
帶做2

直角三角形斜邊為 1010 cm，一直角邊為 66 cm，求另一直角邊。

  1. 設未知直角邊為 b：b2+62=102b^{2}+6^{2}=10^{2}。
  2. b2=100−36=□b^{2}=100-36=\square。
  3. 正的邊長：b=□=□b=\sqrt{\square}=\square cm。
先備3

計算 32+423^{2}+4^{2}。

32+423^{2}+4^{2}
先備4

圖中 ∠C 為直角。哪一邊是斜邊？

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
g8-pythagoras-lengths · 2026-10-15-lower-core-v1 · 留意條件與理由；量度不代替證明。

勾股定理：辨認邊與計算長度

八下・正文 13–18 頁・正文第 7–9 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

直角三角形兩直角邊為 77 cm、2424 cm，求斜邊。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
獨立練習6

直角三角形斜邊為 1717 cm，一直角邊為 88 cm，求另一直角邊。

獨立練習7

長方形相鄰邊為 6 cm、8 cm。求對角線，並指出所用直角三角形。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABCD
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
獨立練習8

13 m 長梯靠在垂直牆上，梯腳在水平地面，距牆 5 m。求梯頂離地高度。

離堂題9

直角三角形兩直角邊為 88 cm、1515 cm，求斜邊。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
離堂題10

直角三角形斜邊為 2525 cm，一直角邊為 77 cm，求另一直角邊。

g8-pythagoras-lengths · 2026-10-15-lower-core-v1 · 留意條件與理由；量度不代替證明。

勾股定理：辨認邊與計算長度 — 補練

八下・正文 13–18 頁・正文第 7–9 課時

補練／家課11

直角三角形兩直角邊為 1.51.5 cm、22 cm，求斜邊。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
補練／家課12

正方形邊長為 5 cm。精確求對角線。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
補練／家課13

補成直角三角形，求 (0,0)(0,0) 至 (3,4)(3,4) 的距離。

-1012345-1012345xyOA
依已知條件及所標刻度作答。
補練／家課14

直角三角形斜邊為 2929 cm，一直角邊為 2020 cm，求另一直角邊。

進階15

直角三角形兩直角邊為 4 cm、5 cm。求精確斜邊，並說明為何不可能是 9 cm。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
進階16

把兩直角邊為 3 cm、4 cm 的直角三角形放大 2 倍。求新斜邊，並解釋為何亦加倍。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

勾股定理：辨認邊與計算長度 — 教師解答

八下・正文 13–18 頁・正文第 7–9 課時

以兩題先備判斷支援需要；投影示範及帶做，再收集八題紙筆核心作答。補練及進階按需要選用，接受其他完整正確方法；本頁不保存學生紙筆答案。

普通班：先備4、短探究5、示範帶做8、獨立15、訂正5、離堂3分鐘。進階班：探究18、整理4、精選練習13、離堂5分鐘。

先備：平方、平方根、垂直及長度單位。

普通班取首個指定例作5分鐘概念示範；進階班完成整個探究。

  1. 3′ 預測兩直角邊同時加倍時，斜邊及其平方如何改變；先指出斜邊。
  2. 8′ 在現有勾股探究記錄直角邊 (3,4)、(6,8)：c＝5、10，c²＝25、100。再只把第一邊由3改6，第二邊維持4；分開記錄精確平方關係與小數顯示。
  3. 5′ 用勾股定理解釋長度2倍、平方4倍；為何只改一條邊不會得到相同比例？
  4. 2′ 獨立求直角邊9、12的斜邊，寫出直角條件及單位。
教師示範1

直角三角形兩直角邊為 55 cm、1212 cm，求斜邊。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

1313 cm。

1313
  1. 已知直角及斜邊位置；求斜邊時平方相加，求直角邊時從斜邊平方減去另一邊平方。
  2. 所求邊的平方為 52+1225^{2}+12^{2}；取正平方根。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
帶做2

直角三角形斜邊為 1010 cm，一直角邊為 66 cm，求另一直角邊。

  1. 設未知直角邊為 b：b2+62=102b^{2}+6^{2}=10^{2}。
  2. b2=100−36=□b^{2}=100-36=\square。
  3. 正的邊長：b=□=□b=\sqrt{\square}=\square cm。
參考答案

88 cm。

88
  1. 已知直角及斜邊位置；求斜邊時平方相加，求直角邊時從斜邊平方減去另一邊平方。
  2. 所求邊的平方為 102−6210^{2}-6^{2}；取正平方根。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
先備3

計算 32+423^{2}+4^{2}。

32+423^{2}+4^{2}
參考答案

2525

2525
  1. 先平方再相加：9＋16＝25。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
先備4

圖中 ∠C 為直角。哪一邊是斜邊？

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

AB，即直角的對邊。

  1. 先找 C，再選不以 C 為端點的邊。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
獨立練習5

直角三角形兩直角邊為 77 cm、2424 cm，求斜邊。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

2525 cm。

2525
  1. 已知直角及斜邊位置；求斜邊時平方相加，求直角邊時從斜邊平方減去另一邊平方。
  2. 所求邊的平方為 72+2427^{2}+24^{2}；取正平方根。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
獨立練習6

直角三角形斜邊為 1717 cm，一直角邊為 88 cm，求另一直角邊。

參考答案

1515 cm。

1515
  1. 已知直角及斜邊位置；求斜邊時平方相加，求直角邊時從斜邊平方減去另一邊平方。
  2. 所求邊的平方為 172−8217^{2}-8^{2}；取正平方根。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
獨立練習7

長方形相鄰邊為 6 cm、8 cm。求對角線，並指出所用直角三角形。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABCD
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

1010 cm。

1010
  1. 已知直角及斜邊位置；求斜邊時平方相加，求直角邊時從斜邊平方減去另一邊平方。
  2. 所求邊的平方為 62+826^{2}+8^{2}；取正平方根。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
獨立練習8

13 m 長梯靠在垂直牆上，梯腳在水平地面，距牆 5 m。求梯頂離地高度。

參考答案

1212 m。

1212
  1. 已知直角及斜邊位置；求斜邊時平方相加，求直角邊時從斜邊平方減去另一邊平方。
  2. 所求邊的平方為 132−5213^{2}-5^{2}；取正平方根。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
離堂題9

直角三角形兩直角邊為 88 cm、1515 cm，求斜邊。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

1717 cm。

1717
  1. 已知直角及斜邊位置；求斜邊時平方相加，求直角邊時從斜邊平方減去另一邊平方。
  2. 所求邊的平方為 82+1528^{2}+15^{2}；取正平方根。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
離堂題10

直角三角形斜邊為 2525 cm，一直角邊為 77 cm，求另一直角邊。

參考答案

2424 cm。

2424
  1. 已知直角及斜邊位置；求斜邊時平方相加，求直角邊時從斜邊平方減去另一邊平方。
  2. 所求邊的平方為 252−7225^{2}-7^{2}；取正平方根。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
補練／家課11

直角三角形兩直角邊為 1.51.5 cm、22 cm，求斜邊。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

2.52.5 cm。

2.52.5
  1. 已知直角及斜邊位置；求斜邊時平方相加，求直角邊時從斜邊平方減去另一邊平方。
  2. 所求邊的平方為 1.52+221.5^{2}+2^{2}；取正平方根。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
補練／家課12

正方形邊長為 5 cm。精確求對角線。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

525\sqrt{2} cm。

525\sqrt{2}
  1. 已知直角及斜邊位置；求斜邊時平方相加，求直角邊時從斜邊平方減去另一邊平方。
  2. 所求邊的平方為 52+525^{2}+5^{2}；取正平方根。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
補練／家課13

補成直角三角形，求 (0,0)(0,0) 至 (3,4)(3,4) 的距離。

-1012345-1012345xyOA
依已知條件及所標刻度作答。
參考答案

55 個單位。

55
  1. 已知直角及斜邊位置；求斜邊時平方相加，求直角邊時從斜邊平方減去另一邊平方。
  2. 所求邊的平方為 32+423^{2}+4^{2}；取正平方根。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
-1012345-1012345xyOA
依已知條件及所標刻度作答。
補練／家課14

直角三角形斜邊為 2929 cm，一直角邊為 2020 cm，求另一直角邊。

參考答案

2121 cm。

2121
  1. 已知直角及斜邊位置；求斜邊時平方相加，求直角邊時從斜邊平方減去另一邊平方。
  2. 所求邊的平方為 292−20229^{2}-20^{2}；取正平方根。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
進階15

直角三角形兩直角邊為 4 cm、5 cm。求精確斜邊，並說明為何不可能是 9 cm。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

41\sqrt{41} cm。

41\sqrt{41}
  1. 平方為 42+52=414^{2}+5^{2}=41，故邊長為 41\sqrt{41} cm。
  2. 9 是兩邊和，不是平方和的平方根；斜邊等於兩直角邊和會退化。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
進階16

把兩直角邊為 3 cm、4 cm 的直角三角形放大 2 倍。求新斜邊，並解釋為何亦加倍。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。CAB
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

1010 cm。

1010
  1. 新直角邊為 6 cm、8 cm，平方和為 100，故斜邊為 10 cm。
  2. 兩直角邊乘 2，平方和乘 4；正平方根因此乘 2。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。