紙筆・推理・練習

勾股逆定理：條件與綜合問題｜教師參考

檢查實際邊長資料，並把逆定理與長度、中點及垂直推理結合。

40 分鐘 · 八下・正文 19–26 頁・正文第 10–13 課時

教材對照：八下第17章勾股定理・第10–13課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。查看下冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

學生課堂頁在研習室安排題單

課堂路線課堂環節

4′先備檢查
5′短探究／概念示範
8′示範與帶做
15′獨立練習
5′訂正
3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

3分鐘：預測 (5,12,13)、(5,12,14)、(2,3,5) 哪些能組成直角三角形，不憑外觀判斷。 8分鐘：紙上先檢查邊長為正及嚴格三角形不等式；對能組成三角形的組別，找最長邊並比較平方。現有直角三角形引擎不能用來測試任意三邊的逆定理。 5分鐘：解釋第一組是直角、第二組非直角、第三組退化；分清「能組成三角形」與「平方相等」。 2分鐘：獨立判斷 (8,15,17)，結論指出最長邊所對的角。

整理關鍵概念

正邊長先能組成三角形，再證明最長邊平方等於其餘平方和，才可用逆定理判定直角。

開啟原章節

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

普通班用首個指定例作5分鐘概念示範；進階班按完整18分鐘探究，先寫預測再核對。

教師示範1

邊長 13、5、12 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

所有長度須為正。
把較短兩邊平方和與最長邊平方比較。
逆定理需要相等，不是圖形看來接近。

最長邊為 13；較短兩邊和為 17。
$5^{2}+12^{2}=169$ ，且 $13^{2}=169$ 。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

帶做2

邊長 8、15、17 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

存在條件及最長邊： $8+15>\square$ ；最長邊＝____。
$8^{2}+15^{2}=\square$ ； $17^{2}=\square$ 。
兩個平方值____；因此根據____，17 cm 邊的對角為____。

17 是最長邊；先查 8＋15 是否大於它。
比較 $64+225$ 與 $289$ 。
平方值相同，且三角形存在；用逆定理判斷 17 cm 邊的對角。

最長邊為 17；較短兩邊和為 23。
$8^{2}+15^{2}=289$ ，且 $17^{2}=289$ 。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備3

邊長 3、4、5 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

所有長度須為正。
把較短兩邊平方和與最長邊平方比較。
逆定理需要相等，不是圖形看來接近。

最長邊為 5；較短兩邊和為 7。
$3^{2}+4^{2}=25$ ，且 $5^{2}=25$ 。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備4

邊長 2、3、5 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

所有長度須為正。
把較短兩邊平方和與最長邊平方比較。
逆定理需要相等，不是圖形看來接近。

最長邊為 5；較短兩邊和為 5。
$2^{2}+3^{2}=13$ ，且 $5^{2}=25$ 。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習5

邊長 5、12、14 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

所有長度須為正。
把較短兩邊平方和與最長邊平方比較。
逆定理需要相等，不是圖形看來接近。

最長邊為 14；較短兩邊和為 17。
$5^{2}+12^{2}=169$ ，且 $14^{2}=196$ 。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習6

邊長 6、8、10 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

所有長度須為正。
把較短兩邊平方和與最長邊平方比較。
逆定理需要相等，不是圖形看來接近。

最長邊為 10；較短兩邊和為 14。
$6^{2}+8^{2}=100$ ，且 $10^{2}=100$ 。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習7

長方形板長 9 cm、寬 12 cm。直支架連接相對兩角，求支架長。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

先找直角及其對面的斜邊。
先列平方關係，再代入。
邊長為正，並保留指定單位。

已知直角及斜邊位置；求斜邊時平方相加，求直角邊時從斜邊平方減去另一邊平方。
所求邊的平方為 $9^{2}+12^{2}$ ；取正平方根。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習8

AB＝AC＝5 cm，BC＝6 cm，M 是 BC 中點。求 AM 及三角形面積，並說明 AM 為何垂直 BC。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

先用等腰條件，再用勾股。
半底為 3 cm。
先求高，再用半底乘高。

BM＝3 cm；頂角中線垂直 BC。
AM²＝25−9＝16，故 AM＝4；面積＝ $\frac{1}{2}\times6\times4=12$ 。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題9

邊長 4、5、6 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

所有長度須為正。
把較短兩邊平方和與最長邊平方比較。
逆定理需要相等，不是圖形看來接近。

最長邊為 6；較短兩邊和為 9。
$4^{2}+5^{2}=41$ ，且 $6^{2}=36$ 。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題10

邊長 25、7、24 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

所有長度須為正。
把較短兩邊平方和與最長邊平方比較。
逆定理需要相等，不是圖形看來接近。

最長邊為 25；較短兩邊和為 31。
$7^{2}+24^{2}=625$ ，且 $25^{2}=625$ 。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課11

邊長 1.5、2、2.5 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

所有長度須為正。
把較短兩邊平方和與最長邊平方比較。
逆定理需要相等，不是圖形看來接近。

最長邊為 2.5；較短兩邊和為 3.5。
$1.5^{2}+2^{2}=6.25$ ，且 $2.5^{2}=6.25$ 。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課12

邊長 5、5、6 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

所有長度須為正。
把較短兩邊平方和與最長邊平方比較。
逆定理需要相等，不是圖形看來接近。

最長邊為 6；較短兩邊和為 10。
$5^{2}+5^{2}=50$ ，且 $6^{2}=36$ 。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課13

長方形對角線為 5 cm，寬為 3 cm，求長。

先找直角及其對面的斜邊。
先列平方關係，再代入。
邊長為正，並保留指定單位。

已知直角及斜邊位置；求斜邊時平方相加，求直角邊時從斜邊平方減去另一邊平方。
所求邊的平方為 $5^{2}-3^{2}$ ；取正平方根。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課14

邊長 29、20、21 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

所有長度須為正。
把較短兩邊平方和與最長邊平方比較。
逆定理需要相等，不是圖形看來接近。

最長邊為 29；較短兩邊和為 41。
$20^{2}+21^{2}=841$ ，且 $29^{2}=841$ 。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階15

A＝ $(0,0)$ 、B＝ $(6,0)$ 、C＝ $(0,8)$ 。核對三邊長，再以逆定理指出直角。

依已知條件及所標刻度作答。

最長邊為 BC。
計算 BC 的坐標差平方和。
寫出 BC 對面的角。

水平及垂直距離給出 AB＝6、AC＝8，對角距離為 10。
6²＋8²＝10²，故 BC 的對角，即 A 處的角為直角。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階16

平行四邊形兩相鄰邊為 6 cm、8 cm，連接這兩邊另兩端點的對角線為 10 cm。證明它是矩形。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

使用兩相鄰邊及對角線所成三角形。
逆定理給出一個直角。
最後的判定須保留平行四邊形前提。

6、8、10 可組成三角形，且 6²＋8²＝10²。
所給兩相鄰邊的夾角因此為直角；再用已知平行四邊形條件判定矩形。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

備課與評量說明

先備要求

三角形不等式、平方及勾股定理。

觀察學生作答

以兩題先備判斷支援需要；投影示範及帶做，再收集八題紙筆核心作答。補練及進階按需要選用，接受其他完整正確方法；本頁不保存學生紙筆答案。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

全部參考答案

教師示範1

邊長 13、5、12 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

參考答案

可以：正邊長符合三角形不等式，且符合勾股逆定理。

最長邊為 13；較短兩邊和為 17。
$5^{2}+12^{2}=169$ ，且 $13^{2}=169$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

帶做2

邊長 8、15、17 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

存在條件及最長邊： $8+15>\square$ ；最長邊＝____。
$8^{2}+15^{2}=\square$ ； $17^{2}=\square$ 。
兩個平方值____；因此根據____，17 cm 邊的對角為____。

參考答案

可以：正邊長符合三角形不等式，且符合勾股逆定理。

最長邊為 17；較短兩邊和為 23。
$8^{2}+15^{2}=289$ ，且 $17^{2}=289$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備3

邊長 3、4、5 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

參考答案

可以：正邊長符合三角形不等式，且符合勾股逆定理。

最長邊為 5；較短兩邊和為 7。
$3^{2}+4^{2}=25$ ，且 $5^{2}=25$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備4

邊長 2、3、5 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

參考答案

不可以：所需平方等式不成立，或邊長不能組成三角形。

最長邊為 5；較短兩邊和為 5。
$2^{2}+3^{2}=13$ ，且 $5^{2}=25$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習5

邊長 5、12、14 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

參考答案

不可以：所需平方等式不成立，或邊長不能組成三角形。

最長邊為 14；較短兩邊和為 17。
$5^{2}+12^{2}=169$ ，且 $14^{2}=196$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習6

邊長 6、8、10 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

參考答案

可以：正邊長符合三角形不等式，且符合勾股逆定理。

最長邊為 10；較短兩邊和為 14。
$6^{2}+8^{2}=100$ ，且 $10^{2}=100$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習7

長方形板長 9 cm、寬 12 cm。直支架連接相對兩角，求支架長。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

$15$ cm。

15

已知直角及斜邊位置；求斜邊時平方相加，求直角邊時從斜邊平方減去另一邊平方。
所求邊的平方為 $9^{2}+12^{2}$ ；取正平方根。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習8

AB＝AC＝5 cm，BC＝6 cm，M 是 BC 中點。求 AM 及三角形面積，並說明 AM 為何垂直 BC。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

AM＝4 cm；面積＝12 cm²。等腰三角形頂角的中線亦是高。

BM＝3 cm；頂角中線垂直 BC。
AM²＝25−9＝16，故 AM＝4；面積＝ $\frac{1}{2}\times6\times4=12$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題9

邊長 4、5、6 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

參考答案

不可以：所需平方等式不成立，或邊長不能組成三角形。

最長邊為 6；較短兩邊和為 9。
$4^{2}+5^{2}=41$ ，且 $6^{2}=36$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題10

邊長 25、7、24 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

參考答案

可以：正邊長符合三角形不等式，且符合勾股逆定理。

最長邊為 25；較短兩邊和為 31。
$7^{2}+24^{2}=625$ ，且 $25^{2}=625$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課11

邊長 1.5、2、2.5 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

參考答案

可以：正邊長符合三角形不等式，且符合勾股逆定理。

最長邊為 2.5；較短兩邊和為 3.5。
$1.5^{2}+2^{2}=6.25$ ，且 $2.5^{2}=6.25$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課12

邊長 5、5、6 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

參考答案

不可以：所需平方等式不成立，或邊長不能組成三角形。

最長邊為 6；較短兩邊和為 10。
$5^{2}+5^{2}=50$ ，且 $6^{2}=36$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課13

長方形對角線為 5 cm，寬為 3 cm，求長。

參考答案

$4$ cm。

4

已知直角及斜邊位置；求斜邊時平方相加，求直角邊時從斜邊平方減去另一邊平方。
所求邊的平方為 $5^{2}-3^{2}$ ；取正平方根。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課14

邊長 29、20、21 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

參考答案

可以：正邊長符合三角形不等式，且符合勾股逆定理。

最長邊為 29；較短兩邊和為 41。
$20^{2}+21^{2}=841$ ，且 $29^{2}=841$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階15

A＝ $(0,0)$ 、B＝ $(6,0)$ 、C＝ $(0,8)$ 。核對三邊長，再以逆定理指出直角。

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

AB＝6，AC＝8，BC＝10；∠BAC＝90°。

水平及垂直距離給出 AB＝6、AC＝8，對角距離為 10。
6²＋8²＝10²，故 BC 的對角，即 A 處的角為直角。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

依已知條件及所標刻度作答。

進階16

平行四邊形兩相鄰邊為 6 cm、8 cm，連接這兩邊另兩端點的對角線為 10 cm。證明它是矩形。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

由勾股逆定理得夾角為 90°；有一個直角的平行四邊形是矩形。

6、8、10 可組成三角形，且 6²＋8²＝10²。
所給兩相鄰邊的夾角因此為直角；再用已知平行四邊形條件判定矩形。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

列印版本

教材對照與編寫

配合所列下冊正文課時學習後使用的原創章節核心練習。教材頁碼只作技能對照，不重刊教材習題。

大湾区初中数学三维课堂（八年级下册）正文.pdf

八下・正文 19–26 頁・正文第 10–13 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

勾股逆定理：條件與綜合問題

八下・正文 19–26 頁・正文第 10–13 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

邊長 13、5、12 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

帶做2

邊長 8、15、17 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

存在條件及最長邊： $8+15>\square$ ；最長邊＝____。
$8^{2}+15^{2}=\square$ ； $17^{2}=\square$ 。
兩個平方值____；因此根據____，17 cm 邊的對角為____。

先備3

邊長 3、4、5 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

先備4

邊長 2、3、5 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

勾股逆定理：條件與綜合問題

八下・正文 19–26 頁・正文第 10–13 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

邊長 5、12、14 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

獨立練習6

邊長 6、8、10 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

獨立練習7

長方形板長 9 cm、寬 12 cm。直支架連接相對兩角，求支架長。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

獨立練習8

AB＝AC＝5 cm，BC＝6 cm，M 是 BC 中點。求 AM 及三角形面積，並說明 AM 為何垂直 BC。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

離堂題9

邊長 4、5、6 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

離堂題10

邊長 25、7、24 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

勾股逆定理：條件與綜合問題 — 補練

八下・正文 19–26 頁・正文第 10–13 課時

補練／家課11

邊長 1.5、2、2.5 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

補練／家課12

邊長 5、5、6 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

補練／家課13

長方形對角線為 5 cm，寬為 3 cm，求長。

補練／家課14

邊長 29、20、21 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

進階15

A＝ $(0,0)$ 、B＝ $(6,0)$ 、C＝ $(0,8)$ 。核對三邊長，再以逆定理指出直角。

依已知條件及所標刻度作答。

進階16

平行四邊形兩相鄰邊為 6 cm、8 cm，連接這兩邊另兩端點的對角線為 10 cm。證明它是矩形。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

勾股逆定理：條件與綜合問題 — 教師解答

八下・正文 19–26 頁・正文第 10–13 課時

以兩題先備判斷支援需要；投影示範及帶做，再收集八題紙筆核心作答。補練及進階按需要選用，接受其他完整正確方法；本頁不保存學生紙筆答案。

普通班：先備4、短探究5、示範帶做8、獨立15、訂正5、離堂3分鐘。進階班：探究18、整理4、精選練習13、離堂5分鐘。

先備：三角形不等式、平方及勾股定理。

普通班取首個指定例作5分鐘概念示範；進階班完成整個探究。

3′ 預測 (5,12,13)、(5,12,14)、(2,3,5) 哪些能組成直角三角形，不憑外觀判斷。
8′ 紙上先檢查邊長為正及嚴格三角形不等式；對能組成三角形的組別，找最長邊並比較平方。現有直角三角形引擎不能用來測試任意三邊的逆定理。
5′ 解釋第一組是直角、第二組非直角、第三組退化；分清「能組成三角形」與「平方相等」。
2′ 獨立判斷 (8,15,17)，結論指出最長邊所對的角。

教師示範1

邊長 13、5、12 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

參考答案

可以：正邊長符合三角形不等式，且符合勾股逆定理。

最長邊為 13；較短兩邊和為 17。
$5^{2}+12^{2}=169$ ，且 $13^{2}=169$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

帶做2

邊長 8、15、17 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

存在條件及最長邊： $8+15>\square$ ；最長邊＝____。
$8^{2}+15^{2}=\square$ ； $17^{2}=\square$ 。
兩個平方值____；因此根據____，17 cm 邊的對角為____。

參考答案

可以：正邊長符合三角形不等式，且符合勾股逆定理。

最長邊為 17；較短兩邊和為 23。
$8^{2}+15^{2}=289$ ，且 $17^{2}=289$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備3

邊長 3、4、5 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

參考答案

可以：正邊長符合三角形不等式，且符合勾股逆定理。

最長邊為 5；較短兩邊和為 7。
$3^{2}+4^{2}=25$ ，且 $5^{2}=25$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備4

邊長 2、3、5 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

參考答案

不可以：所需平方等式不成立，或邊長不能組成三角形。

最長邊為 5；較短兩邊和為 5。
$2^{2}+3^{2}=13$ ，且 $5^{2}=25$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習5

邊長 5、12、14 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

參考答案

不可以：所需平方等式不成立，或邊長不能組成三角形。

最長邊為 14；較短兩邊和為 17。
$5^{2}+12^{2}=169$ ，且 $14^{2}=196$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習6

邊長 6、8、10 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

參考答案

可以：正邊長符合三角形不等式，且符合勾股逆定理。

最長邊為 10；較短兩邊和為 14。
$6^{2}+8^{2}=100$ ，且 $10^{2}=100$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習7

長方形板長 9 cm、寬 12 cm。直支架連接相對兩角，求支架長。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

$15$ cm。

15

已知直角及斜邊位置；求斜邊時平方相加，求直角邊時從斜邊平方減去另一邊平方。
所求邊的平方為 $9^{2}+12^{2}$ ；取正平方根。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習8

AB＝AC＝5 cm，BC＝6 cm，M 是 BC 中點。求 AM 及三角形面積，並說明 AM 為何垂直 BC。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

AM＝4 cm；面積＝12 cm²。等腰三角形頂角的中線亦是高。

BM＝3 cm；頂角中線垂直 BC。
AM²＝25−9＝16，故 AM＝4；面積＝ $\frac{1}{2}\times6\times4=12$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題9

邊長 4、5、6 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

參考答案

不可以：所需平方等式不成立，或邊長不能組成三角形。

最長邊為 6；較短兩邊和為 9。
$4^{2}+5^{2}=41$ ，且 $6^{2}=36$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題10

邊長 25、7、24 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

參考答案

可以：正邊長符合三角形不等式，且符合勾股逆定理。

最長邊為 25；較短兩邊和為 31。
$7^{2}+24^{2}=625$ ，且 $25^{2}=625$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課11

邊長 1.5、2、2.5 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

參考答案

可以：正邊長符合三角形不等式，且符合勾股逆定理。

最長邊為 2.5；較短兩邊和為 3.5。
$1.5^{2}+2^{2}=6.25$ ，且 $2.5^{2}=6.25$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課12

邊長 5、5、6 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

參考答案

不可以：所需平方等式不成立，或邊長不能組成三角形。

最長邊為 6；較短兩邊和為 10。
$5^{2}+5^{2}=50$ ，且 $6^{2}=36$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課13

長方形對角線為 5 cm，寬為 3 cm，求長。

參考答案

$4$ cm。

4

已知直角及斜邊位置；求斜邊時平方相加，求直角邊時從斜邊平方減去另一邊平方。
所求邊的平方為 $5^{2}-3^{2}$ ；取正平方根。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課14

邊長 29、20、21 cm 可否組成直角三角形？先檢查三角形存在及辨認最長邊。

參考答案

可以：正邊長符合三角形不等式，且符合勾股逆定理。

最長邊為 29；較短兩邊和為 41。
$20^{2}+21^{2}=841$ ，且 $29^{2}=841$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階15

A＝ $(0,0)$ 、B＝ $(6,0)$ 、C＝ $(0,8)$ 。核對三邊長，再以逆定理指出直角。

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

AB＝6，AC＝8，BC＝10；∠BAC＝90°。

水平及垂直距離給出 AB＝6、AC＝8，對角距離為 10。
6²＋8²＝10²，故 BC 的對角，即 A 處的角為直角。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

依已知條件及所標刻度作答。

進階16

平行四邊形兩相鄰邊為 6 cm、8 cm，連接這兩邊另兩端點的對角線為 10 cm。證明它是矩形。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

由勾股逆定理得夾角為 90°；有一個直角的平行四邊形是矩形。

6、8、10 可組成三角形，且 6²＋8²＝10²。
所給兩相鄰邊的夾角因此為直角；再用已知平行四邊形條件判定矩形。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。