紙筆・推理・練習

平行四邊形：性質、判定與中位線

分清已知與結論，小心使用對角線，並證明三角形中位線定理。

40 分鐘 · 八下・正文 27–36 頁・正文第 14–18 課時

教材對照：八下第18章平行四邊形・第14–18課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。查看下冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

教師參考在研習室安排題單

課堂路線課堂環節

4′先備檢查
5′短探究／概念示範
8′示範與帶做
15′獨立練習
5′訂正
3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

3分鐘：預測平行四邊形兩對角線分成的四段中，哪些必相等；四段一定全相等嗎？ 8分鐘：畫 A(0,0)、B(4,0)、C(6,2)、D(2,2)，連對角線並找共同中點；再比較頂點 (0,0)、(4,0)、(3,2)、(1,2) 的梯形：對角線等長卻不互相平分。另畫三角形連接兩邊中點，預測中位線方向及長度。 5分鐘：分清「每條對角線被平分」與「兩對角線等長」；用已知平行條件、全等或已學判定交代理由，量度不能代替證明。 2分鐘：獨立寫出三角形中位線的兩個中點條件及長度關係。

整理關鍵概念

平行四邊形兩組對邊分別平行，對角線互相平分；只有一組對邊相等並不足夠。

開啟原章節

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

普通班用首個指定例作5分鐘概念示範；進階班按完整18分鐘探究，先寫預測再核對。

教師示範1

ABCD 為平行四邊形，AB＝8 cm。求 CD 並寫所用性質。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

平行四邊形對邊相等。
CD＝AB＝8 cm。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

帶做2

ABCD 為平行四邊形，對角線交於 O，AO＝5 cm。求 OC。

平行四邊形的兩對角線互相____。
$AO=OC$ ，所以 $OC=\square$ cm。
檢查整條對角線： $AC=AO+OC=\square$ cm。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

AO、OC 是同一條對角線 AC 的兩部分。
平行四邊形條件使 O 為 AC 中點，所以兩部分等長。
把已知半長 5 cm 用於另一半，不要再把 5 減半。

對角線互相平分，所以 AO＝OC。
因此 OC＝5 cm。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備3

AB∥CD，AD∥BC。按定義屬於哪類四邊形？

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

兩組對邊分別平行。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備4

D 是 AB 中點，AB＝10 cm，求 AD。

使用中點定義。
AD 是 AB 一半。
把 10 除以 2。

中點把全長分成兩等份：10/2＝5。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習5

ABCD 為平行四邊形，∠A＝60°。求 ∠B，並說明角度關係。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

∠A＋∠B＝180°。
∠B＝180°−60°＝120°。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習6

ABCD 兩組對邊分別相等。寫出判定及結論。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

須使用兩組等邊，不能略去其中一組。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習7

AB∥CD 且 AB＝CD。ABCD 是否平行四邊形？指出為何須是同一組對邊。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

平行與相等條件同時作用於 AB、CD。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習8

D、E 分別是 AB、AC 中點。延長 DE 至 F，使 DE＝EF。利用全等及平行四邊形判定，證明 DE∥BC 且 DE＝BC/2。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

AE＝EC、DE＝EF，且 ∠AED＝∠CEF 為對頂角；用 SAS。
對應邊、角給出 AD＝CF、AD∥CF；由 DB＝AD，得 DB、CF 平行且相等。
由平行四邊形 DBCF 得 DF∥BC、DF＝BC；再由 DE＝EF 得 DE＝BC/2。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題9

ABCD 的對角線於 O 互相平分，可推出甚麼？

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

使用兩條對角線的中點條件判定。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題10

只知 AD＝BC，ABCD 必為平行四邊形嗎？用圖中的等腰梯形作反例。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

腰 AD、BC 相等，但 AB、CD 長度不同。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課11

ABCD 為平行四邊形，AD＝5 cm，求 BC。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

BC、AD 為對邊，所以 BC＝AD。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課12

矩形 ABCD 對角線 AC＝10 cm，兩對角線交於 O。用平行四邊形性質求 AO。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

矩形屬平行四邊形，所以 O 平分 AC。
AO＝10/2＝5 cm。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課13

D、E 分別是 AB、AC 中點，BC＝12 cm。求 DE 及它與 BC 的方向關係。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

三角形中位線平行第三邊，且長度為其一半。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課14

D、E 為三角形兩邊中點，DE＝7 cm，求第三邊 BC。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

DE＝BC/2，所以 BC＝2×7＝14 cm。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階15

平行四邊形對角線 AC＝BD＝10 cm，交於 O，且 AB＝8 cm。兩對角線垂直嗎？用勾股定理檢查，再寫出一個可得菱形的額外邊長條件。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

平行四邊形給出兩個對角線中點條件。
若構成直角三角形，兩直角邊為 5、5，斜邊卻為 8，與平方關係矛盾。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階16

AC 平分 BD，但 AO≠OC。ABCD 必為平行四邊形嗎？用圖中箏形說明。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

BO＝OD＝2，但 AO＝3、OC＝1。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

備課與評量說明

先備要求

平行線、三角形全等及中點。

觀察學生作答

以兩題先備判斷支援需要；投影示範及帶做，再收集八題紙筆核心作答。補練及進階按需要選用，接受其他完整正確方法；本頁不保存學生紙筆答案。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

列印版本

教材對照與編寫

配合所列下冊正文課時學習後使用的原創章節核心練習。教材頁碼只作技能對照，不重刊教材習題。

大湾区初中数学三维课堂（八年级下册）正文.pdf

八下・正文 27–36 頁・正文第 14–18 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

平行四邊形：性質、判定與中位線

八下・正文 27–36 頁・正文第 14–18 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

ABCD 為平行四邊形，AB＝8 cm。求 CD 並寫所用性質。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

帶做2

ABCD 為平行四邊形，對角線交於 O，AO＝5 cm。求 OC。

平行四邊形的兩對角線互相____。
$AO=OC$ ，所以 $OC=\square$ cm。
檢查整條對角線： $AC=AO+OC=\square$ cm。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

先備3

AB∥CD，AD∥BC。按定義屬於哪類四邊形？

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

先備4

D 是 AB 中點，AB＝10 cm，求 AD。

平行四邊形：性質、判定與中位線

八下・正文 27–36 頁・正文第 14–18 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

ABCD 為平行四邊形，∠A＝60°。求 ∠B，並說明角度關係。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

獨立練習6

ABCD 兩組對邊分別相等。寫出判定及結論。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

獨立練習7

AB∥CD 且 AB＝CD。ABCD 是否平行四邊形？指出為何須是同一組對邊。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

獨立練習8

D、E 分別是 AB、AC 中點。延長 DE 至 F，使 DE＝EF。利用全等及平行四邊形判定，證明 DE∥BC 且 DE＝BC/2。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

離堂題9

ABCD 的對角線於 O 互相平分，可推出甚麼？

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

離堂題10

只知 AD＝BC，ABCD 必為平行四邊形嗎？用圖中的等腰梯形作反例。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

平行四邊形：性質、判定與中位線 — 補練

八下・正文 27–36 頁・正文第 14–18 課時

補練／家課11

ABCD 為平行四邊形，AD＝5 cm，求 BC。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

補練／家課12

矩形 ABCD 對角線 AC＝10 cm，兩對角線交於 O。用平行四邊形性質求 AO。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

補練／家課13

D、E 分別是 AB、AC 中點，BC＝12 cm。求 DE 及它與 BC 的方向關係。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

補練／家課14

D、E 為三角形兩邊中點，DE＝7 cm，求第三邊 BC。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

進階15

平行四邊形對角線 AC＝BD＝10 cm，交於 O，且 AB＝8 cm。兩對角線垂直嗎？用勾股定理檢查，再寫出一個可得菱形的額外邊長條件。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

進階16

AC 平分 BD，但 AO≠OC。ABCD 必為平行四邊形嗎？用圖中箏形說明。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

平行四邊形：性質、判定與中位線 — 教師解答

八下・正文 27–36 頁・正文第 14–18 課時

以兩題先備判斷支援需要；投影示範及帶做，再收集八題紙筆核心作答。補練及進階按需要選用，接受其他完整正確方法；本頁不保存學生紙筆答案。

普通班：先備4、短探究5、示範帶做8、獨立15、訂正5、離堂3分鐘。進階班：探究18、整理4、精選練習13、離堂5分鐘。

先備：平行線、三角形全等及中點。

普通班取首個指定例作5分鐘概念示範；進階班完成整個探究。

3′ 預測平行四邊形兩對角線分成的四段中，哪些必相等；四段一定全相等嗎？
8′ 畫 A(0,0)、B(4,0)、C(6,2)、D(2,2)，連對角線並找共同中點；再比較頂點 (0,0)、(4,0)、(3,2)、(1,2) 的梯形：對角線等長卻不互相平分。另畫三角形連接兩邊中點，預測中位線方向及長度。
5′ 分清「每條對角線被平分」與「兩對角線等長」；用已知平行條件、全等或已學判定交代理由，量度不能代替證明。
2′ 獨立寫出三角形中位線的兩個中點條件及長度關係。

教師示範1

ABCD 為平行四邊形，AB＝8 cm。求 CD 並寫所用性質。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

$CD=8$ cm。

平行四邊形對邊相等。
CD＝AB＝8 cm。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

帶做2

ABCD 為平行四邊形，對角線交於 O，AO＝5 cm。求 OC。

平行四邊形的兩對角線互相____。
$AO=OC$ ，所以 $OC=\square$ cm。
檢查整條對角線： $AC=AO+OC=\square$ cm。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

$OC=5$ cm。

OC=5

對角線互相平分，所以 AO＝OC。
因此 OC＝5 cm。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備3

AB∥CD，AD∥BC。按定義屬於哪類四邊形？

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

平行四邊形。

兩組對邊分別平行。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備4

D 是 AB 中點，AB＝10 cm，求 AD。

參考答案

5 cm。

5

中點把全長分成兩等份：10/2＝5。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習5

ABCD 為平行四邊形，∠A＝60°。求 ∠B，並說明角度關係。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

120°；平行邊間的相鄰內角互補。

∠A＋∠B＝180°。
∠B＝180°−60°＝120°。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習6

ABCD 兩組對邊分別相等。寫出判定及結論。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

由兩組對邊分別相等判定，ABCD 是平行四邊形。

須使用兩組等邊，不能略去其中一組。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習7

AB∥CD 且 AB＝CD。ABCD 是否平行四邊形？指出為何須是同一組對邊。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

是；同一組對邊既平行又相等。

平行與相等條件同時作用於 AB、CD。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習8

D、E 分別是 AB、AC 中點。延長 DE 至 F，使 DE＝EF。利用全等及平行四邊形判定，證明 DE∥BC 且 DE＝BC/2。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

△ADE≅△CFE（SAS），得 AD＝CF、AD∥CF；DB＝AD，故 DB＝CF，DBCF 為平行四邊形。因此 DF∥BC、DF＝BC；又 DF＝2DE，得所求。

AE＝EC、DE＝EF，且 ∠AED＝∠CEF 為對頂角；用 SAS。
對應邊、角給出 AD＝CF、AD∥CF；由 DB＝AD，得 DB、CF 平行且相等。
由平行四邊形 DBCF 得 DF∥BC、DF＝BC；再由 DE＝EF 得 DE＝BC/2。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題9

ABCD 的對角線於 O 互相平分，可推出甚麼？

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

ABCD 為平行四邊形。

使用兩條對角線的中點條件判定。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題10

只知 AD＝BC，ABCD 必為平行四邊形嗎？用圖中的等腰梯形作反例。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

不一定；只有一組對邊相等，不能保證兩組對邊均平行。

腰 AD、BC 相等，但 AB、CD 長度不同。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課11

ABCD 為平行四邊形，AD＝5 cm，求 BC。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

$BC=5$ cm。

BC、AD 為對邊，所以 BC＝AD。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課12

矩形 ABCD 對角線 AC＝10 cm，兩對角線交於 O。用平行四邊形性質求 AO。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

$AO=5$ cm。

矩形屬平行四邊形，所以 O 平分 AC。
AO＝10/2＝5 cm。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課13

D、E 分別是 AB、AC 中點，BC＝12 cm。求 DE 及它與 BC 的方向關係。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

DE＝6 cm，且 DE∥BC。

三角形中位線平行第三邊，且長度為其一半。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課14

D、E 為三角形兩邊中點，DE＝7 cm，求第三邊 BC。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

BC＝14 cm。

DE＝BC/2，所以 BC＝2×7＝14 cm。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階15

平行四邊形對角線 AC＝BD＝10 cm，交於 O，且 AB＝8 cm。兩對角線垂直嗎？用勾股定理檢查，再寫出一個可得菱形的額外邊長條件。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

不垂直。 $AO=BO=5$ cm；若垂直，應有 $AB^{2}=5^{2}+5^{2}=50$ ，但 $AB^{2}=64$ 。額外加上相鄰邊相等，可得菱形。

平行四邊形給出兩個對角線中點條件。
若構成直角三角形，兩直角邊為 5、5，斜邊卻為 8，與平方關係矛盾。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階16

AC 平分 BD，但 AO≠OC。ABCD 必為平行四邊形嗎？用圖中箏形說明。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

不一定；需要兩條對角線互相平分，只有一個平分條件不足夠。

BO＝OD＝2，但 AO＝3、OC＝1。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。