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紙筆・推理・練習

等腰、等邊與特殊三角形練習｜教師參考

有條件地應用性質及逆命題，練習30°直角三角形，並選做反射最短路徑進階。

40 分鐘 · 八上・正文 39–50 頁・基訓第 20–25 課時

教材對照：八上第十三章 軸對稱・第20–25課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。 查看上冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

學生課堂頁在研習室安排題單

  1. 4′先備檢查
  2. 5′短探究／概念示範
  3. 8′示範與帶做
  4. 15′獨立練習
  5. 5′訂正
  6. 3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

沿等腰三角形頂角摺起，比較高、中線及角平分線，再問哪些條件使三線重合。

整理關鍵概念

等邊對等角與等角對等邊互為逆向判定。等邊三角形三角均為60°；直角三角形中30°角所對直角邊是斜邊的一半。

開啟原章節

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

教師示範1

AB=AC，∠A=40°。求每個底角。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
檢核清單
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
帶做2

△ABC 中 ∠B=∠C；作內角平分線 AD，D 在 BC 上。完成全等證明 AB=AC。

  1. ∠ABD=___；∠BAD=___；AD=___。
  2. △ABD≅△___（___）；所以___=___。
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABCD
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
檢核清單
  • AAS 前須交代兩組等角及公共邊 AD。
  • 不可先假設 AB=AC。
先備3

兩個相等底角各為65°。求頂角。

檢核清單
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
先備4

求等邊三角形每個內角。

檢核清單
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
獨立練習5

AB=AC，∠A=52°。求每個底角。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
檢核清單
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
獨立練習6

若 ∠ABC=∠ACB，可推出哪個等邊關係？

  1. 所有邊長均為零。
  2. AB=AC
  3. AB=BC
  4. AC=BC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
檢核清單
  • 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
獨立練習7

AB=AC，∠A=60°。證明 △ABC 為等邊三角形，交代角與邊的理由。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
檢核清單
  • 寫出所有前提，逐步交代理由。
  • 不可先假設結論；其他完整且有據的證法亦接受。
獨立練習8

∠C=90°、∠A=30°，AB=10 cm。求 BC。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
檢核清單
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
離堂題9

等邊三角形周長為15 cm。求 AB。

檢核清單
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
離堂題10

直角三角形中，30°角所對直角邊為4 cm。求斜邊 AB。

檢核清單
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
補練／家課11

AB=AC，∠A=84°。求每個底角。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
檢核清單
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
補練／家課12

等邊三角形每邊7 cm。求周長。

檢核清單
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
補練／家課13

∠C=90°、∠A=30°，AB=9 cm。求 BC。

檢核清單
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
補練／家課14

AB=AC，每個底角為38°。求 ∠A。

檢核清單
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
進階15

A=(−3,3)、B=(5,3) 在x軸同側；A′=(−3,−3) 為 A 的對稱點，且 A′B=10單位。Q 在軸上，求 AQ+QB 最小值並說明理由。

依所標坐標軸及單位方格作答。-6-5-4-3-2-1123456-6-5-4-3-2-1123456xyOAB
依所標坐標軸及單位方格作答。
檢核清單
  • 使用反射及三角不等式，並指出等號位置。
進階16

AB=AC，M 為 BC 中點。證明 AM 同時是高及內角平分線。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABCM
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
檢核清單
  • 寫出所有前提，逐步交代理由。
  • 不可先假設結論；其他完整且有據的證法亦接受。
備課與評量說明

先備要求

三角形內角和、全等、內角平分線及垂直平分線。

觀察學生作答

按需要使用示範及帶做，再完成八題核心；補練及進階按程度選用。要求學生交代理由，並驗算原方程或展開核對。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

全部參考答案

教師示範1

AB=AC，∠A=40°。求每個底角。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

70 °。

(180−40)/2(180-40)/2
  1. 等邊對等角，所以 ∠B=∠C。
  2. 2∠B=180°−40°，所以每個底角為70°。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
帶做2

△ABC 中 ∠B=∠C；作內角平分線 AD，D 在 BC 上。完成全等證明 AB=AC。

  1. ∠ABD=___；∠BAD=___；AD=___。
  2. △ABD≅△___（___）；所以___=___。
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABCD
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

△ABD≅△ACD（AAS），所以 AB=AC。

  1. D 在 BC 上，由 ∠B=∠C 得 ∠ABD=∠ACD。
  2. 由所作角平分線得 ∠BAD=∠CAD，且 AD=AD 為公共邊。
  3. 由 AAS 得 △ABD≅△ACD，對應邊相等，得 AB=AC。
  • AAS 前須交代兩組等角及公共邊 AD。
  • 不可先假設 AB=AC。
先備3

兩個相等底角各為65°。求頂角。

參考答案

50 °。

180−2∗65180-2*65
  1. 三角和為180°。
  2. 180−2×65=50°。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
先備4

求等邊三角形每個內角。

參考答案

60 °。

180/3180/3
  1. 三邊相等，所以三角均相等。
  2. 每角為180°/3=60°。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
獨立練習5

AB=AC，∠A=52°。求每個底角。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

64 °。

(180−52)/2(180-52)/2
  1. 等邊對等角，所以 ∠B=∠C。
  2. 2∠B=180°−52°，所以每個底角為64°。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
獨立練習6

若 ∠ABC=∠ACB，可推出哪個等邊關係？

  1. 所有邊長均為零。
  2. AB=AC
  3. AB=BC
  4. AC=BC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

AB=AC

  1. 等角所對邊相等。
  2. B、C 的對邊分別為 AC、AB。
  • 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
獨立練習7

AB=AC，∠A=60°。證明 △ABC 為等邊三角形，交代角與邊的理由。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

∠B=∠C=60°；等角對等邊，得 AB=AC=BC。

  1. AB=AC 得 ∠B=∠C。
  2. 每個底角為(180−60)/2=60°。
  3. 三角相等，因此對邊相等，三角形為等邊。
  • 寫出所有前提，逐步交代理由。
  • 不可先假設結論；其他完整且有據的證法亦接受。
獨立練習8

∠C=90°、∠A=30°，AB=10 cm。求 BC。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

5 cm。

10/210/2
  1. BC 為30°所對直角邊，AB 為斜邊。
  2. BC=AB/2=10/2=5 cm。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
離堂題9

等邊三角形周長為15 cm。求 AB。

參考答案

5 cm。

15/315/3
  1. 三邊長均相等。
  2. AB=15/3=5 cm。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
離堂題10

直角三角形中，30°角所對直角邊為4 cm。求斜邊 AB。

參考答案

8 cm。

2∗42*4
  1. 所述直角邊是斜邊的一半。
  2. AB=2×4=8 cm。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
補練／家課11

AB=AC，∠A=84°。求每個底角。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

48 °。

(180−84)/2(180-84)/2
  1. 等邊對等角，所以 ∠B=∠C。
  2. 2∠B=180°−84°，所以每個底角為48°。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
補練／家課12

等邊三角形每邊7 cm。求周長。

參考答案

21 cm。

3∗73*7
  1. 三邊為7、7、7 cm。
  2. 周長為3×7=21 cm。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
補練／家課13

∠C=90°、∠A=30°，AB=9 cm。求 BC。

參考答案

4.5 cm。

9/29/2
  1. BC 是30°所對直角邊。
  2. BC=9/2=4.5 cm。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
補練／家課14

AB=AC，每個底角為38°。求 ∠A。

參考答案

104 °。

180−2∗38180-2*38
  1. 兩個相等底角合共76°。
  2. ∠A=180−76=104°。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
進階15

A=(−3,3)、B=(5,3) 在x軸同側；A′=(−3,−3) 為 A 的對稱點，且 A′B=10單位。Q 在軸上，求 AQ+QB 最小值並說明理由。

依所標坐標軸及單位方格作答。-6-5-4-3-2-1123456-6-5-4-3-2-1123456xyOABA′Q
依所標坐標軸及單位方格作答。
參考答案

最小值為10單位，於 Q=(1,0)，即 A′B 與軸的交點取得。

  1. Q 在軸上，由反射得 AQ=A′Q。
  2. 由三角不等式，AQ+QB=A′Q+QB≥A′B=10。
  3. A′、Q、B 排成一直線且 Q 在線段上時取等號，交點為 Q=(1,0)。
  • 使用反射及三角不等式，並指出等號位置。
依所標坐標軸及單位方格作答。-6-5-4-3-2-1123456-6-5-4-3-2-1123456xyOABA′Q
依所標坐標軸及單位方格作答。
進階16

AB=AC，M 為 BC 中點。證明 AM 同時是高及內角平分線。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABCM
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

△ABM≅△ACM（SSS）；M 處相等鄰角各為90°，且兩個頂角相等。

  1. AB=AC 為已知，BM=CM 由中點得出，AM 為公共邊。
  2. 所以 △ABM≅△ACM（SSS）。
  3. ∠BAM=∠MAC；另 ∠AMB=∠AMC，且和為180°，所以各為90°。
  • 寫出所有前提，逐步交代理由。
  • 不可先假設結論；其他完整且有據的證法亦接受。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

教材對照與編寫

對應課本課時教學後的章節核心練習；這些題目不代替每一節新授課。

大湾区初中数学三维课堂（八年级上册）正文.pdf

八上・正文 39–50 頁・基訓第 20–25 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

等腰、等邊與特殊三角形練習

八上・正文 39–50 頁・基訓第 20–25 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

AB=AC，∠A=40°。求每個底角。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
帶做2

△ABC 中 ∠B=∠C；作內角平分線 AD，D 在 BC 上。完成全等證明 AB=AC。

  1. ∠ABD=___；∠BAD=___；AD=___。
  2. △ABD≅△___（___）；所以___=___。
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABCD
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
先備3

兩個相等底角各為65°。求頂角。

先備4

求等邊三角形每個內角。

g8-isosceles-equilateral · 2026-10-14-upper-core-v1 · 留意條件與理由；量度不代替證明。

等腰、等邊與特殊三角形練習

八上・正文 39–50 頁・基訓第 20–25 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

AB=AC，∠A=52°。求每個底角。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
獨立練習6

若 ∠ABC=∠ACB，可推出哪個等邊關係？

  1. 所有邊長均為零。
  2. AB=AC
  3. AB=BC
  4. AC=BC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
獨立練習7

AB=AC，∠A=60°。證明 △ABC 為等邊三角形，交代角與邊的理由。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
獨立練習8

∠C=90°、∠A=30°，AB=10 cm。求 BC。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
離堂題9

等邊三角形周長為15 cm。求 AB。

離堂題10

直角三角形中，30°角所對直角邊為4 cm。求斜邊 AB。

g8-isosceles-equilateral · 2026-10-14-upper-core-v1 · 留意條件與理由；量度不代替證明。

等腰、等邊與特殊三角形練習 — 補練

八上・正文 39–50 頁・基訓第 20–25 課時

補練／家課11

AB=AC，∠A=84°。求每個底角。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
補練／家課12

等邊三角形每邊7 cm。求周長。

補練／家課13

∠C=90°、∠A=30°，AB=9 cm。求 BC。

補練／家課14

AB=AC，每個底角為38°。求 ∠A。

進階15

A=(−3,3)、B=(5,3) 在x軸同側；A′=(−3,−3) 為 A 的對稱點，且 A′B=10單位。Q 在軸上，求 AQ+QB 最小值並說明理由。

依所標坐標軸及單位方格作答。-6-5-4-3-2-1123456-6-5-4-3-2-1123456xyOAB
依所標坐標軸及單位方格作答。
進階16

AB=AC，M 為 BC 中點。證明 AM 同時是高及內角平分線。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABCM
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

等腰、等邊與特殊三角形練習 — 教師解答

八上・正文 39–50 頁・基訓第 20–25 課時

按需要使用示範及帶做，再完成八題核心；補練及進階按程度選用。要求學生交代理由，並驗算原方程或展開核對。

教師示範1

AB=AC，∠A=40°。求每個底角。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

70 °。

(180−40)/2(180-40)/2
  1. 等邊對等角，所以 ∠B=∠C。
  2. 2∠B=180°−40°，所以每個底角為70°。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
帶做2

△ABC 中 ∠B=∠C；作內角平分線 AD，D 在 BC 上。完成全等證明 AB=AC。

  1. ∠ABD=___；∠BAD=___；AD=___。
  2. △ABD≅△___（___）；所以___=___。
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABCD
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

△ABD≅△ACD（AAS），所以 AB=AC。

  1. D 在 BC 上，由 ∠B=∠C 得 ∠ABD=∠ACD。
  2. 由所作角平分線得 ∠BAD=∠CAD，且 AD=AD 為公共邊。
  3. 由 AAS 得 △ABD≅△ACD，對應邊相等，得 AB=AC。
  • AAS 前須交代兩組等角及公共邊 AD。
  • 不可先假設 AB=AC。
先備3

兩個相等底角各為65°。求頂角。

參考答案

50 °。

180−2∗65180-2*65
  1. 三角和為180°。
  2. 180−2×65=50°。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
先備4

求等邊三角形每個內角。

參考答案

60 °。

180/3180/3
  1. 三邊相等，所以三角均相等。
  2. 每角為180°/3=60°。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
獨立練習5

AB=AC，∠A=52°。求每個底角。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

64 °。

(180−52)/2(180-52)/2
  1. 等邊對等角，所以 ∠B=∠C。
  2. 2∠B=180°−52°，所以每個底角為64°。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
獨立練習6

若 ∠ABC=∠ACB，可推出哪個等邊關係？

  1. 所有邊長均為零。
  2. AB=AC
  3. AB=BC
  4. AC=BC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

AB=AC

  1. 等角所對邊相等。
  2. B、C 的對邊分別為 AC、AB。
  • 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
獨立練習7

AB=AC，∠A=60°。證明 △ABC 為等邊三角形，交代角與邊的理由。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

∠B=∠C=60°；等角對等邊，得 AB=AC=BC。

  1. AB=AC 得 ∠B=∠C。
  2. 每個底角為(180−60)/2=60°。
  3. 三角相等，因此對邊相等，三角形為等邊。
  • 寫出所有前提，逐步交代理由。
  • 不可先假設結論；其他完整且有據的證法亦接受。
獨立練習8

∠C=90°、∠A=30°，AB=10 cm。求 BC。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

5 cm。

10/210/2
  1. BC 為30°所對直角邊，AB 為斜邊。
  2. BC=AB/2=10/2=5 cm。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
離堂題9

等邊三角形周長為15 cm。求 AB。

參考答案

5 cm。

15/315/3
  1. 三邊長均相等。
  2. AB=15/3=5 cm。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
離堂題10

直角三角形中，30°角所對直角邊為4 cm。求斜邊 AB。

參考答案

8 cm。

2∗42*4
  1. 所述直角邊是斜邊的一半。
  2. AB=2×4=8 cm。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
補練／家課11

AB=AC，∠A=84°。求每個底角。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABC
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

48 °。

(180−84)/2(180-84)/2
  1. 等邊對等角，所以 ∠B=∠C。
  2. 2∠B=180°−84°，所以每個底角為48°。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
補練／家課12

等邊三角形每邊7 cm。求周長。

參考答案

21 cm。

3∗73*7
  1. 三邊為7、7、7 cm。
  2. 周長為3×7=21 cm。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
補練／家課13

∠C=90°、∠A=30°，AB=9 cm。求 BC。

參考答案

4.5 cm。

9/29/2
  1. BC 是30°所對直角邊。
  2. BC=9/2=4.5 cm。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
補練／家課14

AB=AC，每個底角為38°。求 ∠A。

參考答案

104 °。

180−2∗38180-2*38
  1. 兩個相等底角合共76°。
  2. ∠A=180−76=104°。
  • 使用題目所述關係並列出計算。
  • 按題意寫出答案及單位。
進階15

A=(−3,3)、B=(5,3) 在x軸同側；A′=(−3,−3) 為 A 的對稱點，且 A′B=10單位。Q 在軸上，求 AQ+QB 最小值並說明理由。

依所標坐標軸及單位方格作答。-6-5-4-3-2-1123456-6-5-4-3-2-1123456xyOABA′Q
依所標坐標軸及單位方格作答。
參考答案

最小值為10單位，於 Q=(1,0)，即 A′B 與軸的交點取得。

  1. Q 在軸上，由反射得 AQ=A′Q。
  2. 由三角不等式，AQ+QB=A′Q+QB≥A′B=10。
  3. A′、Q、B 排成一直線且 Q 在線段上時取等號，交點為 Q=(1,0)。
  • 使用反射及三角不等式，並指出等號位置。
依所標坐標軸及單位方格作答。-6-5-4-3-2-1123456-6-5-4-3-2-1123456xyOABA′Q
依所標坐標軸及單位方格作答。
進階16

AB=AC，M 為 BC 中點。證明 AM 同時是高及內角平分線。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。ABCM
幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。
參考答案

△ABM≅△ACM（SSS）；M 處相等鄰角各為90°，且兩個頂角相等。

  1. AB=AC 為已知，BM=CM 由中點得出，AM 為公共邊。
  2. 所以 △ABM≅△ACM（SSS）。
  3. ∠BAM=∠MAC；另 ∠AMB=∠AMC，且和為180°，所以各為90°。
  • 寫出所有前提，逐步交代理由。
  • 不可先假設結論；其他完整且有據的證法亦接受。