紙筆・推理・練習

函數：輸入、範圍、列表與圖象

判斷函數關係，運用三種表示法，檢查數學與情境範圍。

40 分鐘 · 八下・正文 49–58 頁・正文第 25–29 課時

教材對照：八下第19章一次函數・第25–29課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。查看下冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

教師參考在研習室安排題單

課堂路線課堂環節

4′先備檢查
5′短探究／概念示範
8′示範與帶做
15′獨立練習
5′訂正
3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

3分鐘：預測重複輸入或重複輸出會否令對應不成函數。 8分鐘：紙上比較三表 {−1→1,0→0,1→1}、{0→0,0→1}、{0→0,0→0,1→1}；再用每分鐘注水3 L、容量60 L的水箱，檢查0、20、21分鐘。 5分鐘：重複相同數對沒有增加另一輸出；同一輸入配不同輸出才破壞函數條件。說明注水模型只適用0≤t≤20，雖然代數式在其後仍可計算。 2分鐘：獨立舉出兩個不同輸入配同一輸出的函數例子，說明理由。

整理關鍵概念

每個允許輸入有唯一輸出；不同輸入可以有相同輸出。情境範圍可能比解析式的實數範圍小。

開啟原章節

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

普通班用首個指定例作5分鐘概念示範；進階班按完整18分鐘探究，先寫預測再核對。

教師示範1

此表是否把 y 定為 x 的函數？按每個輸入說明。

x	y
-1	1
0	0
1	1
2	4

依已知條件及所標刻度作答。

每個數對依次表示輸入、輸出。
每個輸入須只有一個輸出。
輸出值可重複。

檢查重複輸入，不只檢查重複輸出。
沒有輸入對應互相衝突的輸出。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

帶做2

空水箱容量 60 L，每分鐘注入 3 L，注滿即停止。寫注水期間 V 與 t 的關係及時間範圍。

注水期間 $V=\square t$ L，t 的單位為分鐘。
達容量時 $3t=60$ ，所以 $t=\frac{60}{\square}=\square$ 分鐘。
時間範圍： $0\leq t\leq\square$ ；說明兩個端點。

水箱起初為空，水量是固定注水率乘時間，沒有原有水量項。
限制為 t≥0、3t≤60；容量決定何時停止注水。
用 60÷3 求時間上限；包括起初空箱及剛注滿的時刻。

水量＝速度×時間，60/3＝20 分鐘注滿。
包括起初空箱及剛注滿的端點。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備3

按所給關係，求 $x=3$ 時的 y。

y=2x+1

先讀變量、坐標軸及取值範圍，再用公式。
代入已知坐標，或辨認題目所求截距／共同值。
代回原關係檢查，並保留端點條件。

把 $x=3$ 代入完整關係。
$2\times(3)+(1)=7$ 。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備4

此關係只有數對 $(2,-1)$ ；在指定輸入範圍 {2} 內是函數嗎？

x	y
2	-1

依已知條件及所標刻度作答。

每個數對依次表示輸入、輸出。
每個輸入須只有一個輸出。
輸出值可重複。

檢查重複輸入，不只檢查重複輸出。
沒有輸入對應互相衝突的輸出。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習5

此表是否把 y 定為 x 的函數？按每個輸入說明。

x	y
0	1
0	2
1	3

依已知條件及所標刻度作答。

每個數對依次表示輸入、輸出。
每個輸入須只有一個輸出。
輸出值可重複。

檢查重複輸入，不只檢查重複輸出。
同一輸入對應互相衝突的輸出。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習6

按所給關係，求 $x=-1$ 時的 y。

y=3x-2

先讀變量、坐標軸及取值範圍，再用公式。
代入已知坐標，或辨認題目所求截距／共同值。
代回原關係檢查，並保留端點條件。

把 $x=-1$ 代入完整關係。
$3\times(-1)+(-2)=-5$ 。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習7

讀出圖象與 x 軸相交處的橫坐標，並代回關係檢查。

依已知條件及所標刻度作答。

先讀變量、坐標軸及取值範圍，再用公式。
代入已知坐標，或辨認題目所求截距／共同值。
代回原關係檢查，並保留端點條件。

在 x 軸上，輸出為零。
0＝−x＋2，得 x＝2。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習8

寫出此關係必須排除的實數輸入。

y=\frac{1}{x-2}

檢查原分母。
解 x−2＝0。
排除該值。

分母不能為零。
x−2＝0 時 x＝2。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題9

此表是否把 y 定為 x 的函數？按每個輸入說明。

x	y
1	5
2	5
3	5

依已知條件及所標刻度作答。

每個數對依次表示輸入、輸出。
每個輸入須只有一個輸出。
輸出值可重複。

檢查重複輸入，不只檢查重複輸出。
沒有輸入對應互相衝突的輸出。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題10

每張票 4 元，最多有 20 張。寫票數 n 的可能範圍及費用 C。

先讀變量、坐標軸及取值範圍，再用公式。
代入已知坐標，或辨認題目所求截距／共同值。
代回原關係檢查，並保留端點條件。

張數是整數，包括不買。
最多 20 張；費用為張數乘 4。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課11

按所給關係，求 $x=0$ 時的 y。

y=2x-2

先讀變量、坐標軸及取值範圍，再用公式。
代入已知坐標，或辨認題目所求截距／共同值。
代回原關係檢查，並保留端點條件。

把 $x=0$ 代入完整關係。
$2\times(0)+(-2)=-2$ 。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課12

表中每個輸入的輸出均為 4。它是函數嗎？是常數函數嗎？

x	y
-1	4
0	4
1	4

依已知條件及所標刻度作答。

先讀變量、坐標軸及取值範圍，再用公式。
代入已知坐標，或辨認題目所求截距／共同值。
代回原關係檢查，並保留端點條件。

每個輸入的唯一輸出，不必與別的輸入不同。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課13

按 $y=x^{2}$ 補上 $x=-2,0,2$ 的輸出。兩個輸入可共用一個輸出嗎？

把負號保留在被平方的輸入內。
計算（−2）²、0²、2²。
檢查輸入，而非要求每個輸出不同。

把每個帶符號輸入分別平方。
−2、2 都得 4，但沒有同一輸入的輸出衝突。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課14

在 $-2\leq x\leq2$ 內畫 $y=x+1$ 圖象，先列值表。

依已知條件及所標刻度作答。

先讀變量、坐標軸及取值範圍，再用公式。
代入已知坐標，或辨認題目所求截距／共同值。
代回原關係檢查，並保留端點條件。

代入至少兩個不同輸入，標出數對。
只在指定輸入區間連接共線點。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階15

垂直線 $x=2$ 含表中各點。它能把 y 定為 x 的函數嗎？

x	y
2	-1
2	1

依已知條件及所標刻度作答。

每個數對依次表示輸入、輸出。
每個輸入須只有一個輸出。
輸出值可重複。

檢查重複輸入，不只檢查重複輸出。
同一輸入對應互相衝突的輸出。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階16

60 L 水箱每分鐘注水 3 L，注滿即停止。學生以 V＝3t 在 t＝21 算出 63 L。說明為何不是有效的注水階段預測。

先讀變量、坐標軸及取值範圍，再用公式。
代入已知坐標，或辨認題目所求截距／共同值。
代回原關係檢查，並保留端點條件。

先求注滿時間 60/3＝20 分鐘。
V＝3t 只描述注水階段。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

備課與評量說明

先備要求

坐標、代值及簡單不等式。

觀察學生作答

以兩題先備判斷支援需要；投影示範及帶做，再收集八題紙筆核心作答。補練及進階按需要選用，接受其他完整正確方法；本頁不保存學生紙筆答案。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

列印版本

教材對照與編寫

配合所列下冊正文課時學習後使用的原創章節核心練習。教材頁碼只作技能對照，不重刊教材習題。

大湾区初中数学三维课堂（八年级下册）正文.pdf

八下・正文 49–58 頁・正文第 25–29 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

函數：輸入、範圍、列表與圖象

八下・正文 49–58 頁・正文第 25–29 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

此表是否把 y 定為 x 的函數？按每個輸入說明。

x	y
-1	1
0	0
1	1
2	4

依已知條件及所標刻度作答。

帶做2

空水箱容量 60 L，每分鐘注入 3 L，注滿即停止。寫注水期間 V 與 t 的關係及時間範圍。

注水期間 $V=\square t$ L，t 的單位為分鐘。
達容量時 $3t=60$ ，所以 $t=\frac{60}{\square}=\square$ 分鐘。
時間範圍： $0\leq t\leq\square$ ；說明兩個端點。

先備3

按所給關係，求 $x=3$ 時的 y。

y=2x+1

先備4

此關係只有數對 $(2,-1)$ ；在指定輸入範圍 {2} 內是函數嗎？

x	y
2	-1

依已知條件及所標刻度作答。

函數：輸入、範圍、列表與圖象

八下・正文 49–58 頁・正文第 25–29 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

此表是否把 y 定為 x 的函數？按每個輸入說明。

x	y
0	1
0	2
1	3

依已知條件及所標刻度作答。

獨立練習6

按所給關係，求 $x=-1$ 時的 y。

y=3x-2

獨立練習7

讀出圖象與 x 軸相交處的橫坐標，並代回關係檢查。

依已知條件及所標刻度作答。

獨立練習8

寫出此關係必須排除的實數輸入。

y=\frac{1}{x-2}

離堂題9

此表是否把 y 定為 x 的函數？按每個輸入說明。

x	y
1	5
2	5
3	5

依已知條件及所標刻度作答。

離堂題10

每張票 4 元，最多有 20 張。寫票數 n 的可能範圍及費用 C。

函數：輸入、範圍、列表與圖象 — 補練

八下・正文 49–58 頁・正文第 25–29 課時

補練／家課11

按所給關係，求 $x=0$ 時的 y。

y=2x-2

補練／家課12

表中每個輸入的輸出均為 4。它是函數嗎？是常數函數嗎？

x	y
-1	4
0	4
1	4

依已知條件及所標刻度作答。

補練／家課13

按 $y=x^{2}$ 補上 $x=-2,0,2$ 的輸出。兩個輸入可共用一個輸出嗎？

補練／家課14

在 $-2\leq x\leq2$ 內畫 $y=x+1$ 圖象，先列值表。

依已知條件及所標刻度作答。

進階15

垂直線 $x=2$ 含表中各點。它能把 y 定為 x 的函數嗎？

x	y
2	-1
2	1

依已知條件及所標刻度作答。

進階16

60 L 水箱每分鐘注水 3 L，注滿即停止。學生以 V＝3t 在 t＝21 算出 63 L。說明為何不是有效的注水階段預測。

函數：輸入、範圍、列表與圖象 — 教師解答

八下・正文 49–58 頁・正文第 25–29 課時

以兩題先備判斷支援需要；投影示範及帶做，再收集八題紙筆核心作答。補練及進階按需要選用，接受其他完整正確方法；本頁不保存學生紙筆答案。

普通班：先備4、短探究5、示範帶做8、獨立15、訂正5、離堂3分鐘。進階班：探究18、整理4、精選練習13、離堂5分鐘。

先備：坐標、代值及簡單不等式。

普通班取首個指定例作5分鐘概念示範；進階班完成整個探究。

3′ 預測重複輸入或重複輸出會否令對應不成函數。
8′ 紙上比較三表 {−1→1,0→0,1→1}、{0→0,0→1}、{0→0,0→0,1→1}；再用每分鐘注水3 L、容量60 L的水箱，檢查0、20、21分鐘。
5′ 重複相同數對沒有增加另一輸出；同一輸入配不同輸出才破壞函數條件。說明注水模型只適用0≤t≤20，雖然代數式在其後仍可計算。
2′ 獨立舉出兩個不同輸入配同一輸出的函數例子，說明理由。

教師示範1

此表是否把 y 定為 x 的函數？按每個輸入說明。

x	y
-1	1
0	0
1	1
2	4

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

是；每個輸入恰有一個輸出，不同輸入可有相同輸出。

檢查重複輸入，不只檢查重複輸出。
沒有輸入對應互相衝突的輸出。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

帶做2

空水箱容量 60 L，每分鐘注入 3 L，注滿即停止。寫注水期間 V 與 t 的關係及時間範圍。

注水期間 $V=\square t$ L，t 的單位為分鐘。
達容量時 $3t=60$ ，所以 $t=\frac{60}{\square}=\square$ 分鐘。
時間範圍： $0\leq t\leq\square$ ；說明兩個端點。

參考答案

$V=3t,\quad0\leq t\leq20$ 。

V=3t,\quad0\leq t\leq20

水量＝速度×時間，60/3＝20 分鐘注滿。
包括起初空箱及剛注滿的端點。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備3

按所給關係，求 $x=3$ 時的 y。

y=2x+1

參考答案

$y=7$

y=7

把 $x=3$ 代入完整關係。
$2\times(3)+(1)=7$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備4

此關係只有數對 $(2,-1)$ ；在指定輸入範圍 {2} 內是函數嗎？

x	y
2	-1

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

是；每個輸入恰有一個輸出，不同輸入可有相同輸出。

檢查重複輸入，不只檢查重複輸出。
沒有輸入對應互相衝突的輸出。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習5

此表是否把 y 定為 x 的函數？按每個輸入說明。

x	y
0	1
0	2
1	3

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

否；至少一個輸入對應兩個不同輸出。

檢查重複輸入，不只檢查重複輸出。
同一輸入對應互相衝突的輸出。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習6

按所給關係，求 $x=-1$ 時的 y。

y=3x-2

參考答案

$y=-5$

y=-5

把 $x=-1$ 代入完整關係。
$3\times(-1)+(-2)=-5$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習7

讀出圖象與 x 軸相交處的橫坐標，並代回關係檢查。

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

x＝2，因該處 y＝0。

x=2

在 x 軸上，輸出為零。
0＝−x＋2，得 x＝2。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

依已知條件及所標刻度作答。

獨立練習8

寫出此關係必須排除的實數輸入。

y=\frac{1}{x-2}

參考答案

$x\neq2$

x\neq2

分母不能為零。
x−2＝0 時 x＝2。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題9

此表是否把 y 定為 x 的函數？按每個輸入說明。

x	y
1	5
2	5
3	5

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

是；每個輸入恰有一個輸出，不同輸入可有相同輸出。

檢查重複輸入，不只檢查重複輸出。
沒有輸入對應互相衝突的輸出。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題10

每張票 4 元，最多有 20 張。寫票數 n 的可能範圍及費用 C。

參考答案

$C=4n,\quad n\in\{0,1,\ldots,20\}$

C=4n,\quad n\in\{0,1,\ldots,20\}

張數是整數，包括不買。
最多 20 張；費用為張數乘 4。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課11

按所給關係，求 $x=0$ 時的 y。

y=2x-2

參考答案

$y=-2$

y=-2

把 $x=0$ 代入完整關係。
$2\times(0)+(-2)=-2$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課12

表中每個輸入的輸出均為 4。它是函數嗎？是常數函數嗎？

x	y
-1	4
0	4
1	4

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

兩者都是；y＝4 使每個輸入有唯一輸出。

每個輸入的唯一輸出，不必與別的輸入不同。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課13

按 $y=x^{2}$ 補上 $x=-2,0,2$ 的輸出。兩個輸入可共用一個輸出嗎？

參考答案

輸出為 4、0、4；可以，不同輸入可有相同輸出。

把每個帶符號輸入分別平方。
−2、2 都得 4，但沒有同一輸入的輸出衝突。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課14

在 $-2\leq x\leq2$ 內畫 $y=x+1$ 圖象，先列值表。

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

可用（−2,−1）、（0,1）、（2,3），再在指定範圍連線。

代入至少兩個不同輸入，標出數對。
只在指定輸入區間連接共線點。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

依已知條件及所標刻度作答。

進階15

垂直線 $x=2$ 含表中各點。它能把 y 定為 x 的函數嗎？

x	y
2	-1
2	1

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

否；至少一個輸入對應兩個不同輸出。

檢查重複輸入，不只檢查重複輸出。
同一輸入對應互相衝突的輸出。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階16

60 L 水箱每分鐘注水 3 L，注滿即停止。學生以 V＝3t 在 t＝21 算出 63 L。說明為何不是有效的注水階段預測。

參考答案

21 分鐘不在 0≤t≤20 內。代式算得 63，但停止注水後水箱只有 60 L。

先求注滿時間 60/3＝20 分鐘。
V＝3t 只描述注水階段。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。