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因式分解：公因式與平方結構

選擇方法，在整數範圍完全分解，再展開核對。

40 分鐘 · 八上・正文 73–78 頁・基訓第 37–39 課時

教材對照：八上第十四章 整式的乘除與因式分解・第37–39課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。 查看上冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

教師參考在研習室安排題單

  1. 4′先備檢查
  2. 5′短探究／概念示範
  3. 8′示範與帶做
  4. 15′獨立練習
  5. 5′訂正
  6. 3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

把展開式與乘積卡配對：哪些特徵可分辨平方差與完全平方？

整理關鍵概念

因式分解最後寫成乘積；先提公因式，再檢查每個餘下因式的平方結構。

開啟原章節開啟互動探究

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

教師示範1

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

2x3−18x2x^3-18x
檢核清單
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
帶做2

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

x2−6x+9x^2-6x+9
  1. 9=___²；−6x=−2·x·___。
  2. 所以乘積為(___−___)²。
檢核清單
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
先備3

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

6x2+9x6x^2+9x
檢核清單
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
先備4

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

x2−16x^2-16
檢核清單
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
獨立練習5

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

8x2−12x8x^2-12x
檢核清單
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
獨立練習6

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

9x2−259x^2-25
檢核清單
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
獨立練習7

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

x2+10x+25x^2+10x+25
檢核清單
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
獨立練習8

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

3x2−123x^2-12
檢核清單
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
離堂題9

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

x2−4x+4x^2-4x+4
檢核清單
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
離堂題10

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

2x2+6x2x^2+6x
檢核清單
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
補練／家課11

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

y2−49y^2-49
檢核清單
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
補練／家課12

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

4x2+12x+94x^2+12x+9
檢核清單
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
補練／家課13

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

(x+1)2−9(x+1)^2-9
檢核清單
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
補練／家課14

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

a2b−ab2a^2b-ab^2
檢核清單
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
進階15

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

x4−16x^4-16
檢核清單
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
進階16

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

8x3−32x8x^3-32x
檢核清單
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
備課與評量說明

先備要求

整式乘法、平方差及完全平方公式。

觀察學生作答

按需要使用示範及帶做，再完成八題核心；補練及進階按程度選用。要求學生交代理由，並驗算原方程或展開核對。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

教材對照與編寫

對應課本課時教學後的章節核心練習；這些題目不代替每一節新授課。

大湾区初中数学三维课堂（八年级上册）正文.pdf

八上・正文 73–78 頁・基訓第 37–39 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

因式分解：公因式與平方結構

八上・正文 73–78 頁・基訓第 37–39 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

2x3−18x2x^3-18x
帶做2

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

x2−6x+9x^2-6x+9
  1. 9=___²；−6x=−2·x·___。
  2. 所以乘積為(___−___)²。
先備3

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

6x2+9x6x^2+9x
先備4

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

x2−16x^2-16
g8-factorisation · 2026-10-14-upper-core-v1 · 留意條件與理由；量度不代替證明。

因式分解：公因式與平方結構

八上・正文 73–78 頁・基訓第 37–39 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

8x2−12x8x^2-12x
獨立練習6

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

9x2−259x^2-25
獨立練習7

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

x2+10x+25x^2+10x+25
獨立練習8

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

3x2−123x^2-12
離堂題9

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

x2−4x+4x^2-4x+4
離堂題10

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

2x2+6x2x^2+6x
g8-factorisation · 2026-10-14-upper-core-v1 · 留意條件與理由；量度不代替證明。

因式分解：公因式與平方結構 — 補練

八上・正文 73–78 頁・基訓第 37–39 課時

補練／家課11

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

y2−49y^2-49
補練／家課12

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

4x2+12x+94x^2+12x+9
補練／家課13

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

(x+1)2−9(x+1)^2-9
補練／家課14

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

a2b−ab2a^2b-ab^2
進階15

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

x4−16x^4-16
進階16

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

8x3−32x8x^3-32x

因式分解：公因式與平方結構 — 教師解答

八上・正文 73–78 頁・基訓第 37–39 課時

按需要使用示範及帶做，再完成八題核心；補練及進階按程度選用。要求學生交代理由，並驗算原方程或展開核對。

教師示範1

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

2x3−18x2x^3-18x
參考答案

2x(x-3)(x+3)。

2x(x−3)(x+3)2x(x-3)(x+3)
  1. 先提出2x；餘下 x²−9 是平方差。
  2. 2x³-18x = 2x(x²-9)。
  3. 完整乘積為 2x(x-3)(x+3)。
  4. 展開所得乘積回到原式 2x³-18x。
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
帶做2

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

x2−6x+9x^2-6x+9
  1. 9=___²；−6x=−2·x·___。
  2. 所以乘積為(___−___)²。
參考答案

(x-3)²。

(x−3)2(x-3)^2
  1. 檢查兩端平方及中間項 ±2ab，再寫成 (a±b)²。
  2. x²-6x+9 = x²-2×x×3+3²。
  3. 完整乘積為 (x-3)²。
  4. 展開所得乘積回到原式 x²-6x+9。
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
先備3

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

6x2+9x6x^2+9x
參考答案

3x(2x+3)。

3x(2x+3)3x(2x+3)
  1. 提出各項共有的數因數及字母的最低次冪。
  2. 6x²+9x = 3x(2x+3)。
  3. 完整乘積為 3x(2x+3)。
  4. 展開所得乘積回到原式 6x²+9x。
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
先備4

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

x2−16x^2-16
參考答案

(x-4)(x+4)。

(x−4)(x+4)(x-4)(x+4)
  1. 辨認兩個平方相減，再寫成兩底數的和乘兩底數的差。
  2. x²-16 = x²-4²。
  3. 完整乘積為 (x-4)(x+4)。
  4. 展開所得乘積回到原式 x²-16。
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
獨立練習5

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

8x2−12x8x^2-12x
參考答案

4x(2x-3)。

4x(2x−3)4x(2x-3)
  1. 提出各項共有的數因數及字母的最低次冪。
  2. 8x²-12x = 4x(2x-3)。
  3. 完整乘積為 4x(2x-3)。
  4. 展開所得乘積回到原式 8x²-12x。
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
獨立練習6

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

9x2−259x^2-25
參考答案

(3x-5)(3x+5)。

(3x−5)(3x+5)(3x-5)(3x+5)
  1. 辨認兩個平方相減，再寫成兩底數的和乘兩底數的差。
  2. 9x²-25 = (3x)²-5²。
  3. 完整乘積為 (3x-5)(3x+5)。
  4. 展開所得乘積回到原式 9x²-25。
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
獨立練習7

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

x2+10x+25x^2+10x+25
參考答案

(x+5)²。

(x+5)2(x+5)^2
  1. 檢查兩端平方及中間項 ±2ab，再寫成 (a±b)²。
  2. x²+10x+25 = x²+2×x×5+5²。
  3. 完整乘積為 (x+5)²。
  4. 展開所得乘積回到原式 x²+10x+25。
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
獨立練習8

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

3x2−123x^2-12
參考答案

3(x-2)(x+2)。

3(x−2)(x+2)3(x-2)(x+2)
  1. 提出3，再把 x²−4 用平方差分解。
  2. 3x²-12 = 3(x²-4)。
  3. 完整乘積為 3(x-2)(x+2)。
  4. 展開所得乘積回到原式 3x²-12。
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
離堂題9

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

x2−4x+4x^2-4x+4
參考答案

(x-2)²。

(x−2)2(x-2)^2
  1. 檢查兩端平方及中間項 ±2ab，再寫成 (a±b)²。
  2. x²-4x+4 = x²-2×x×2+2²。
  3. 完整乘積為 (x-2)²。
  4. 展開所得乘積回到原式 x²-4x+4。
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
離堂題10

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

2x2+6x2x^2+6x
參考答案

2x(x+3)。

2x(x+3)2x(x+3)
  1. 提出各項共有的數因數及字母的最低次冪。
  2. 2x²+6x = 2x(x+3)。
  3. 完整乘積為 2x(x+3)。
  4. 展開所得乘積回到原式 2x²+6x。
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
補練／家課11

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

y2−49y^2-49
參考答案

(y-7)(y+7)。

(y−7)(y+7)(y-7)(y+7)
  1. 辨認兩個平方相減，再寫成兩底數的和乘兩底數的差。
  2. y²-49 = y²-7²。
  3. 完整乘積為 (y-7)(y+7)。
  4. 展開所得乘積回到原式 y²-49。
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
補練／家課12

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

4x2+12x+94x^2+12x+9
參考答案

(2x+3)²。

(2x+3)2(2x+3)^2
  1. 檢查兩端平方及中間項 ±2ab，再寫成 (a±b)²。
  2. 4x²+12x+9 = (2x)²+2×(2x)×3+3²。
  3. 完整乘積為 (2x+3)²。
  4. 展開所得乘積回到原式 4x²+12x+9。
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
補練／家課13

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

(x+1)2−9(x+1)^2-9
參考答案

(x-2)(x+4)。

(x−2)(x+4)(x-2)(x+4)
  1. 辨認兩個平方相減，再寫成兩底數的和乘兩底數的差。
  2. (x+1)²-9 = ((x+1)-3)((x+1)+3)。
  3. 完整乘積為 (x-2)(x+4)。
  4. 展開所得乘積回到原式 (x+1)²-9。
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
補練／家課14

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

a2b−ab2a^2b-ab^2
參考答案

ab(a-b)。

ab(a−b)ab(a-b)
  1. 提出各項共有的數因數及字母的最低次冪。
  2. a²b-ab² = ab(a-b)。
  3. 完整乘積為 ab(a-b)。
  4. 展開所得乘積回到原式 a²b-ab²。
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
進階15

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

x4−16x^4-16
參考答案

(x-2)(x+2)(x²+4)。

(x−2)(x+2)(x2+4)(x-2)(x+2)(x^2+4)
  1. 兩次使用平方差；在整係數範圍，x²+4 不能再分成一次因式。
  2. x⁴-16 = (x²-4)(x²+4)。
  3. 完整乘積為 (x-2)(x+2)(x²+4)。
  4. 展開所得乘積回到原式 x⁴-16。
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。
進階16

在整數範圍內完全因式分解，並展開核對。

8x3−32x8x^3-32x
參考答案

8x(x-2)(x+2)。

8x(x−2)(x+2)8x(x-2)(x+2)
  1. 先提出8x，再完成餘下的平方差因式。
  2. 8x³-32x = 8x(x²-4)。
  3. 完整乘積為 8x(x-2)(x+2)。
  4. 展開所得乘積回到原式 8x³-32x。
  • 最後寫成整係數因式的乘積。
  • 可再分解時須繼續，並以展開核對。