用兩組標示等角及 AB=DE，以 AAS 證明全等。
- 列出已知等邊與等角，保持頂點對應。
- 檢查 AAS 的完整條件，不可假設未標示的事實。
- 寫出有理由的全等判定，再推出對應邊或對應角結論。
- 已知 ∠BAC=∠EDF、∠ACB=∠DFE。
- AB=DE 並非這兩角之間的邊。
- 兩組等角及該對應邊給出 △ABC≅△DEF（AAS）。
參考答案
△ABC≅△DEF（AAS），A↔D、B↔E、C↔F。
檢核清單
- 只使用已知或已獨立證明的事實。
- 頂點順序一致；其他完整且有據的證法亦接受。
- 4′先備檢查
- 5′短探究／概念示範
- 8′示範與帶做
- 15′獨立練習
- 5′訂正
- 3′離堂題
- 18′探究
- 4′整理
- 13′精選練習
- 5′離堂題
觀察・解釋
練習前先想一想
每次遮去一項標示：還可用哪個判定？何時資料不足？
整理關鍵概念
ASA 使用夾邊；AAS 使用非夾邊的對應邊。HL 額外要求兩三角形均為直角三角形。
可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。
兩三角形具有標示直角。用標示等邊完成 HL 證明。
- 斜邊為___及___。
- 斜邊___=___、直角邊___=___，所以___。
- 列出已知等邊與等角，保持頂點對應。
- 檢查 HL 的完整條件，不可假設未標示的事實。
- 寫出有理由的全等判定，再推出對應邊或對應角結論。
- ∠BAC=∠EDF=90°，所以兩者均為直角三角形。
- BC=EF 為斜邊相等，AB=DE 為一組對應直角邊相等。
- 所以 △ABC≅△DEF（HL）。
參考答案
△ABC≅△DEF（HL），A↔D、B↔E、C↔F。
檢核清單
- 只使用已知或已獨立證明的事實。
- 頂點順序一致；其他完整且有據的證法亦接受。
∠BAC 與 ∠ABC 的夾邊是哪條？
- 兩角頂點為 A、B。
- 連接兩頂點的邊為 AB。
- 核對：AB
- 兩角頂點為 A、B。
- 連接兩頂點的邊為 AB。
參考答案
AB
檢核清單
- 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
∠BAC=90°。△ABC 的斜邊是哪條？
- 斜邊位於直角對面。
- A 的對邊為 BC。
- 核對：BC
- 斜邊位於直角對面。
- A 的對邊為 BC。
參考答案
BC
檢核清單
- 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
A、D 處等角，B、E 處等角，且 AB=DE。哪個判定直接使用這些資料？
- 已知 ∠BAC=∠EDF、∠ABC=∠DEF。
- AB=DE 是這兩組角之間的邊。
- 核對：ASA
- 已知 ∠BAC=∠EDF、∠ABC=∠DEF。
- AB=DE 是這兩組角之間的邊。
- 所以 △ABC≅△DEF（ASA）。
參考答案
ASA
檢核清單
- 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
A、D 處等角，C、F 處等角，且 AB=DE。可直接用哪個判定？
- 已知 ∠BAC=∠EDF、∠ACB=∠DFE。
- AB=DE 並非這兩角之間的邊。
- 核對：AAS
- 已知 ∠BAC=∠EDF、∠ACB=∠DFE。
- AB=DE 並非這兩角之間的邊。
- 兩組等角及該對應邊給出 △ABC≅△DEF（AAS）。
參考答案
AAS
檢核清單
- 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
標示直角三角形中，BC=EF、AB=DE。可推出哪個結論？
- ∠BAC=∠EDF=90°，所以兩者均為直角三角形。
- BC=EF 為斜邊相等，AB=DE 為一組對應直角邊相等。
- 核對：由 HL 全等得 AC=DF。
- ∠BAC=∠EDF=90°，所以兩者均為直角三角形。
- BC=EF 為斜邊相等，AB=DE 為一組對應直角邊相等。
- 所以 △ABC≅△DEF（HL）。
- 餘下的對應直角邊給出 AC=DF。
參考答案
由 HL 全等得 AC=DF。
檢核清單
- 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
用已知兩組等角及其夾邊證明全等，寫出判定及理由。
- 列出已知等邊與等角，保持頂點對應。
- 檢查 ASA 的完整條件，不可假設未標示的事實。
- 寫出有理由的全等判定，再推出對應邊或對應角結論。
- 已知 ∠BAC=∠EDF、∠ABC=∠DEF。
- AB=DE 是這兩組角之間的邊。
- 所以 △ABC≅△DEF（ASA）。
參考答案
△ABC≅△DEF（ASA），A↔D、B↔E、C↔F。
檢核清單
- 只使用已知或已獨立證明的事實。
- 頂點順序一致；其他完整且有據的證法亦接受。
為何 HL 證明須先交代兩個直角條件，再辨認斜邊？
- ∠BAC=∠EDF=90°，所以兩者均為直角三角形。
- BC=EF 為斜邊相等，AB=DE 為一組對應直角邊相等。
- 核對：HL 用於兩個直角三角形；看起來最長的邊不足以作根據。
- ∠BAC=∠EDF=90°，所以兩者均為直角三角形。
- BC=EF 為斜邊相等，AB=DE 為一組對應直角邊相等。
- 所以 △ABC≅△DEF（HL）。
參考答案
HL 用於兩個直角三角形；看起來最長的邊不足以作根據。
檢核清單
- 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
三組等角可否代替 ASA 或 AAS 中的等邊要求？
- 放大時全部對應角仍可相等。
- 圖中反例各邊放大兩倍，並不全等。
- 核對：不能：沒有對應等邊就未固定大小。
- 放大時全部對應角仍可相等。
- 圖中反例各邊放大兩倍，並不全等。
參考答案
不能：沒有對應等邊就未固定大小。
檢核清單
- 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
寫兩組等角、夾邊及 ASA 結論。
- 列出已知等邊與等角，保持頂點對應。
- 檢查 ASA 的完整條件，不可假設未標示的事實。
- 寫出有理由的全等判定，再推出對應邊或對應角結論。
- 已知 ∠BAC=∠EDF、∠ABC=∠DEF。
- AB=DE 是這兩組角之間的邊。
- 所以 △ABC≅△DEF（ASA）。
參考答案
△ABC≅△DEF（ASA），A↔D、B↔E、C↔F。
檢核清單
- 只使用已知或已獨立證明的事實。
- 頂點順序一致；其他完整且有據的證法亦接受。
寫 AAS 證明，並說明 AB 在這裡為何是非夾邊。
- 列出已知等邊與等角，保持頂點對應。
- 檢查 AAS 的完整條件，不可假設未標示的事實。
- 寫出有理由的全等判定，再推出對應邊或對應角結論。
- 已知 ∠BAC=∠EDF、∠ACB=∠DFE。
- AB=DE 並非這兩角之間的邊。
- 兩組等角及該對應邊給出 △ABC≅△DEF（AAS）。
參考答案
△ABC≅△DEF（AAS），A↔D、B↔E、C↔F。
檢核清單
- 只使用已知或已獨立證明的事實。
- 頂點順序一致；其他完整且有據的證法亦接受。
先列直角、斜邊及相等直角邊，再寫 HL 結論。
- 列出已知等邊與等角，保持頂點對應。
- 檢查 HL 的完整條件，不可假設未標示的事實。
- 寫出有理由的全等判定，再推出對應邊或對應角結論。
- ∠BAC=∠EDF=90°，所以兩者均為直角三角形。
- BC=EF 為斜邊相等，AB=DE 為一組對應直角邊相等。
- 所以 △ABC≅△DEF（HL）。
參考答案
△ABC≅△DEF（HL），A↔D、B↔E、C↔F。
檢核清單
- 只使用已知或已獨立證明的事實。
- 頂點順序一致；其他完整且有據的證法亦接受。
AAS 證明後，還可推出哪組等角？
- 已知 ∠BAC=∠EDF、∠ACB=∠DFE。
- AB=DE 並非這兩角之間的邊。
- 核對：∠ABC=∠DEF
- 已知 ∠BAC=∠EDF、∠ACB=∠DFE。
- AB=DE 並非這兩角之間的邊。
- 兩組等角及該對應邊給出 △ABC≅△DEF（AAS）。
- B 對應 E，所以餘下等角為 ∠ABC=∠DEF。
參考答案
∠ABC=∠DEF
檢核清單
- 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
標示的兩組等邊及其夾角已可用 SAS。補哪組等邊，還可直接使用 SSS 證明？
- 原有兩組等邊及夾角已符合 SAS。
- 若直接用 SSS，還須第三組對應邊 BC=EF。
- 核對：BC=EF
- 原有兩組等邊及夾角已符合 SAS。
- 若直接用 SSS，還須第三組對應邊 BC=EF。
- 補上該等式後，AB=DE、AC=DF、BC=EF 亦可給出 △ABC≅△DEF（SSS）。
參考答案
BC=EF
檢核清單
- 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
為標示的 AAS 結果提供另一證法：先求第三組等角，再用 ASA。
- 列出已知等邊與等角，保持頂點對應。
- 檢查 AAS 的完整條件，不可假設未標示的事實。
- 寫出有理由的全等判定，再推出對應邊或對應角結論。
- 兩組已知角分別相等，分別從180°扣除，得 ∠ABC=∠DEF。
- 再由 ∠BAC=∠EDF、∠ABC=∠DEF 及夾邊 AB=DE，以 ASA 證明全等。
參考答案
△ABC≅△DEF（AAS），A↔D、B↔E、C↔F。
檢核清單
- 只使用已知或已獨立證明的事實。
- 頂點順序一致；其他完整且有據的證法亦接受。
備課與評量說明
先備要求
SSS／SAS、夾邊、對應頂點與斜邊。
觀察學生作答
按需要使用示範及帶做，再完成八題核心；補練及進階按程度選用。要求學生交代理由，並驗算原方程或展開核對。
收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。
課堂用紙
七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。
學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。
教材對照與編寫
對應課本課時教學後的章節核心練習；這些題目不代替每一節新授課。
大湾区初中数学三维课堂（八年级上册）正文.pdf
八上・正文 19–24 頁・基訓第 10–12 課時
題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。
全等：ASA、AAS 與直角三角形 HL
八上・正文 19–24 頁・基訓第 10–12 課時 · 1/2
姓名：__________ 班別：______ 日期：__________
用兩組標示等角及 AB=DE，以 AAS 證明全等。
兩三角形具有標示直角。用標示等邊完成 HL 證明。
- 斜邊為___及___。
- 斜邊___=___、直角邊___=___，所以___。
∠BAC 與 ∠ABC 的夾邊是哪條？
∠BAC=90°。△ABC 的斜邊是哪條？
全等：ASA、AAS 與直角三角形 HL
八上・正文 19–24 頁・基訓第 10–12 課時 · 2/2
姓名：__________ 班別：______ 日期：__________
A、D 處等角，B、E 處等角，且 AB=DE。哪個判定直接使用這些資料？
A、D 處等角，C、F 處等角，且 AB=DE。可直接用哪個判定？
標示直角三角形中，BC=EF、AB=DE。可推出哪個結論？
用已知兩組等角及其夾邊證明全等，寫出判定及理由。
為何 HL 證明須先交代兩個直角條件，再辨認斜邊？
三組等角可否代替 ASA 或 AAS 中的等邊要求？
全等：ASA、AAS 與直角三角形 HL — 補練
八上・正文 19–24 頁・基訓第 10–12 課時
寫兩組等角、夾邊及 ASA 結論。
寫 AAS 證明，並說明 AB 在這裡為何是非夾邊。
先列直角、斜邊及相等直角邊，再寫 HL 結論。
AAS 證明後，還可推出哪組等角？
標示的兩組等邊及其夾角已可用 SAS。補哪組等邊，還可直接使用 SSS 證明？
為標示的 AAS 結果提供另一證法：先求第三組等角，再用 ASA。
全等：ASA、AAS 與直角三角形 HL — 教師解答
八上・正文 19–24 頁・基訓第 10–12 課時
按需要使用示範及帶做，再完成八題核心；補練及進階按程度選用。要求學生交代理由，並驗算原方程或展開核對。
用兩組標示等角及 AB=DE，以 AAS 證明全等。
參考答案
△ABC≅△DEF（AAS），A↔D、B↔E、C↔F。
- 已知 ∠BAC=∠EDF、∠ACB=∠DFE。
- AB=DE 並非這兩角之間的邊。
- 兩組等角及該對應邊給出 △ABC≅△DEF（AAS）。
- 只使用已知或已獨立證明的事實。
- 頂點順序一致；其他完整且有據的證法亦接受。
兩三角形具有標示直角。用標示等邊完成 HL 證明。
- 斜邊為___及___。
- 斜邊___=___、直角邊___=___，所以___。
參考答案
△ABC≅△DEF（HL），A↔D、B↔E、C↔F。
- ∠BAC=∠EDF=90°，所以兩者均為直角三角形。
- BC=EF 為斜邊相等，AB=DE 為一組對應直角邊相等。
- 所以 △ABC≅△DEF（HL）。
- 只使用已知或已獨立證明的事實。
- 頂點順序一致；其他完整且有據的證法亦接受。
∠BAC 與 ∠ABC 的夾邊是哪條？
參考答案
AB
- 兩角頂點為 A、B。
- 連接兩頂點的邊為 AB。
- 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
∠BAC=90°。△ABC 的斜邊是哪條？
參考答案
BC
- 斜邊位於直角對面。
- A 的對邊為 BC。
- 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
A、D 處等角，B、E 處等角，且 AB=DE。哪個判定直接使用這些資料？
參考答案
ASA
- 已知 ∠BAC=∠EDF、∠ABC=∠DEF。
- AB=DE 是這兩組角之間的邊。
- 所以 △ABC≅△DEF（ASA）。
- 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
A、D 處等角，C、F 處等角，且 AB=DE。可直接用哪個判定？
參考答案
AAS
- 已知 ∠BAC=∠EDF、∠ACB=∠DFE。
- AB=DE 並非這兩角之間的邊。
- 兩組等角及該對應邊給出 △ABC≅△DEF（AAS）。
- 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
標示直角三角形中，BC=EF、AB=DE。可推出哪個結論？
參考答案
由 HL 全等得 AC=DF。
- ∠BAC=∠EDF=90°，所以兩者均為直角三角形。
- BC=EF 為斜邊相等，AB=DE 為一組對應直角邊相等。
- 所以 △ABC≅△DEF（HL）。
- 餘下的對應直角邊給出 AC=DF。
- 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
用已知兩組等角及其夾邊證明全等，寫出判定及理由。
參考答案
△ABC≅△DEF（ASA），A↔D、B↔E、C↔F。
- 已知 ∠BAC=∠EDF、∠ABC=∠DEF。
- AB=DE 是這兩組角之間的邊。
- 所以 △ABC≅△DEF（ASA）。
- 只使用已知或已獨立證明的事實。
- 頂點順序一致；其他完整且有據的證法亦接受。
為何 HL 證明須先交代兩個直角條件，再辨認斜邊？
參考答案
HL 用於兩個直角三角形；看起來最長的邊不足以作根據。
- ∠BAC=∠EDF=90°，所以兩者均為直角三角形。
- BC=EF 為斜邊相等，AB=DE 為一組對應直角邊相等。
- 所以 △ABC≅△DEF（HL）。
- 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
三組等角可否代替 ASA 或 AAS 中的等邊要求？
參考答案
不能：沒有對應等邊就未固定大小。
- 放大時全部對應角仍可相等。
- 圖中反例各邊放大兩倍，並不全等。
- 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
寫兩組等角、夾邊及 ASA 結論。
參考答案
△ABC≅△DEF（ASA），A↔D、B↔E、C↔F。
- 已知 ∠BAC=∠EDF、∠ABC=∠DEF。
- AB=DE 是這兩組角之間的邊。
- 所以 △ABC≅△DEF（ASA）。
- 只使用已知或已獨立證明的事實。
- 頂點順序一致；其他完整且有據的證法亦接受。
寫 AAS 證明，並說明 AB 在這裡為何是非夾邊。
參考答案
△ABC≅△DEF（AAS），A↔D、B↔E、C↔F。
- 已知 ∠BAC=∠EDF、∠ACB=∠DFE。
- AB=DE 並非這兩角之間的邊。
- 兩組等角及該對應邊給出 △ABC≅△DEF（AAS）。
- 只使用已知或已獨立證明的事實。
- 頂點順序一致；其他完整且有據的證法亦接受。
先列直角、斜邊及相等直角邊，再寫 HL 結論。
參考答案
△ABC≅△DEF（HL），A↔D、B↔E、C↔F。
- ∠BAC=∠EDF=90°，所以兩者均為直角三角形。
- BC=EF 為斜邊相等，AB=DE 為一組對應直角邊相等。
- 所以 △ABC≅△DEF（HL）。
- 只使用已知或已獨立證明的事實。
- 頂點順序一致；其他完整且有據的證法亦接受。
AAS 證明後，還可推出哪組等角？
參考答案
∠ABC=∠DEF
- 已知 ∠BAC=∠EDF、∠ACB=∠DFE。
- AB=DE 並非這兩角之間的邊。
- 兩組等角及該對應邊給出 △ABC≅△DEF（AAS）。
- B 對應 E，所以餘下等角為 ∠ABC=∠DEF。
- 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
標示的兩組等邊及其夾角已可用 SAS。補哪組等邊，還可直接使用 SSS 證明？
參考答案
BC=EF
- 原有兩組等邊及夾角已符合 SAS。
- 若直接用 SSS，還須第三組對應邊 BC=EF。
- 補上該等式後，AB=DE、AC=DF、BC=EF 亦可給出 △ABC≅△DEF（SSS）。
- 選出符合題目條件的敘述，並說明理由。
為標示的 AAS 結果提供另一證法：先求第三組等角，再用 ASA。
參考答案
△ABC≅△DEF（AAS），A↔D、B↔E、C↔F。
- 兩組已知角分別相等，分別從180°扣除，得 ∠ABC=∠DEF。
- 再由 ∠BAC=∠EDF、∠ABC=∠DEF 及夾邊 AB=DE，以 ASA 證明全等。
- 只使用已知或已獨立證明的事實。
- 頂點順序一致；其他完整且有據的證法亦接受。