紙筆・推理・練習

二元方程組：代入與加減消元｜教師參考

把二元轉成一元，再回代求完整解並驗算兩式。

40 分鐘 · 七下・正文 51–60 頁・正文第 26–30 課時

教材對照：七下第8章二元一次方程組・正文第26–30課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。查看下冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

學生課堂頁在研習室安排題單

課堂路線課堂環節

4′先備檢查
5′短探究／概念示範
8′示範與帶做
15′獨立練習
5′訂正
3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

18 分鐘 tickets 探究：A 每張 2 元、B 每張 5 元，共 10 張、收入 32 元。預測可行數對（2 分），列整數組合及兩個方程（4 分），兩組分別用代入、倍乘後相減解同一模型（7 分）。比較兩法如何消去一個未知數，驗算兩原條件（3 分）。只把收入改為 31 元，解釋實數解為何不是可行整數票數（2 分），不能把票數取近似。

整理關鍵概念

把二元轉成一元，再回代求完整解並驗算兩式。

開啟原章節開啟互動探究

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

普通班用首個指定例作5分鐘概念示範；進階班按完整18分鐘探究，先寫預測再核對。

教師示範1

用代入法解方程組，再驗算兩式。

\begin{cases}(1)x+(1)y=7\\(-2)x+(1)y=1\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第二式得 $y=2x+1$ 。
代入第一式： $x+(2x+1)=7$ ，得 $x=2$ 。
回代得 $y=5$ ；驗算 $2+5=7$ 、 $-2(2)+5=1$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(2)x+(1)y=11\\(1)x+(-1)y=1\end{cases}

兩原式相加： $(2x+y)+(x-y)=11+1$ 。
合併： $3x=\square$ ，所以 $x=\square$ 。
回代： $y=11-2(\square)=\square$ ；驗算兩原式。

y 的係數為 +1、−1。
完整兩式相加會消去 y，右邊也要相加。
得到 3x＝12 後除以 3，再由 2x＋y＝11 求 y。

第 2 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{-3}{2})y=\frac{-9}{2}$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=4$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備3

檢查 $x=3, y=4$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y=7\\(2)x+(-1)y=2\end{cases}

是，每條原方程都成立。
不是，只核對一條就足以否定。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

第 1 式左邊為 7，右邊為 7。
第 2 式左邊為 2，右邊為 2。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

檢查 $x=2, y=5$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y=7\\(2)x+(-1)y=2\end{cases}

是，符合其中一條已足夠。
不是，至少一條原方程不成立。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

第 1 式左邊為 7，右邊為 7。
第 2 式左邊為 -1，右邊為 2。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

用代入法求解，並驗算兩式。

\begin{cases}(1)x+(-1)y=2\\(2)x+(1)y=10\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第一式得 $x=y+2$ 。
代入得 $2(y+2)+y=10$ ，所以 $y=2$ 。
回代得 $x=4$ ，兩式都符合原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習6

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(2)x+(3)y=16\\(3)x+(-2)y=11\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 2 式減去第 1 式的 $\frac{3}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{-13}{2})y=-13$ 。
回代得 $y=2$ 。
回代得 $x=5$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(3)x+(-2)y=0\\(2)x+(1)y=7\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 2 式減去第 1 式的 $\frac{2}{3}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{7}{3})y=7$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y=3\\(2)x+(-1)y=1\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(-3)y=-5$ 。
回代得 $y=\frac{5}{3}$ 。
回代得 $x=\frac{4}{3}$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

檢查 $x=2, y=3$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(2)y=8\\(3)x+(-1)y=3\end{cases}

是，每條原方程都成立。
不是，只核對一條就足以否定。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

第 1 式左邊為 8，右邊為 8。
第 2 式左邊為 3，右邊為 3。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

把 $2x-y=5$ 乘 3，哪條方程正確？

$6x-3y=15$
$6x-y=15$
$6x-3y=5$

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

兩邊每項都乘 3。
兩個係數及右邊都要倍乘。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y=9\\(1)x+(-1)y=3\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y=-6$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=6$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(2)x+(3)y=13\\(2)x+(-1)y=1\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-4)y=-12$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(3)x+(2)y=19\\(5)x+(-3)y=0\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 2 式減去第 1 式的 $\frac{5}{3}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{-19}{3})y=\frac{-95}{3}$ 。
回代得 $y=5$ 。
回代得 $x=3$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y=1\\(2)x+(-1)y=-7\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(-3)y=-9$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=-2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

描述方程組的全部實數解，說明為何寫了兩式不保證有唯一數對。

\begin{cases}(1)x+(1)y=6\\(2)x+(2)y=12\end{cases}

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

第二式是第一式兩倍，沒有新增限制。
任取實數 x＝t，令 y＝6−t，兩式都成立。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

判斷方程組是否有實數解，以消元說明。

\begin{cases}(1)x+(1)y=6\\(2)x+(2)y=13\end{cases}

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

第一式兩倍為 2x＋2y＝12。
第二式要求同一左邊等於 13，產生矛盾。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

備課與評量說明

先備要求

會解一元方程、倍乘各項及代入帶符號數值。

觀察學生作答

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

全部參考答案

教師示範1

用代入法解方程組，再驗算兩式。

\begin{cases}(1)x+(1)y=7\\(-2)x+(1)y=1\end{cases}

參考答案

$x=2,\quad y=5$ 。

x=2,\quad y=5

第二式得 $y=2x+1$ 。
代入第一式： $x+(2x+1)=7$ ，得 $x=2$ 。
回代得 $y=5$ ；驗算 $2+5=7$ 、 $-2(2)+5=1$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(2)x+(1)y=11\\(1)x+(-1)y=1\end{cases}

兩原式相加： $(2x+y)+(x-y)=11+1$ 。
合併： $3x=\square$ ，所以 $x=\square$ 。
回代： $y=11-2(\square)=\square$ ；驗算兩原式。

參考答案

$x=4,\quad y=3$ 。

x=4,\quad y=3

第 2 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{-3}{2})y=\frac{-9}{2}$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=4$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備3

檢查 $x=3, y=4$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y=7\\(2)x+(-1)y=2\end{cases}

是，每條原方程都成立。
不是，只核對一條就足以否定。

參考答案

是，每條原方程都成立。

第 1 式左邊為 7，右邊為 7。
第 2 式左邊為 2，右邊為 2。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

檢查 $x=2, y=5$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y=7\\(2)x+(-1)y=2\end{cases}

是，符合其中一條已足夠。
不是，至少一條原方程不成立。

參考答案

不是，至少一條原方程不成立。

第 1 式左邊為 7，右邊為 7。
第 2 式左邊為 -1，右邊為 2。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

用代入法求解，並驗算兩式。

\begin{cases}(1)x+(-1)y=2\\(2)x+(1)y=10\end{cases}

參考答案

$x=4,\quad y=2$ 。

x=4,\quad y=2

第一式得 $x=y+2$ 。
代入得 $2(y+2)+y=10$ ，所以 $y=2$ 。
回代得 $x=4$ ，兩式都符合原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習6

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(2)x+(3)y=16\\(3)x+(-2)y=11\end{cases}

參考答案

$x=5,\quad y=2$ 。

x=5,\quad y=2

第 2 式減去第 1 式的 $\frac{3}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{-13}{2})y=-13$ 。
回代得 $y=2$ 。
回代得 $x=5$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(3)x+(-2)y=0\\(2)x+(1)y=7\end{cases}

參考答案

$x=2,\quad y=3$ 。

x=2,\quad y=3

第 2 式減去第 1 式的 $\frac{2}{3}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{7}{3})y=7$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y=3\\(2)x+(-1)y=1\end{cases}

參考答案

$x=\frac{4}{3},\quad y=\frac{5}{3}$ 。

x=\frac{4}{3},\quad y=\frac{5}{3}

第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(-3)y=-5$ 。
回代得 $y=\frac{5}{3}$ 。
回代得 $x=\frac{4}{3}$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

檢查 $x=2, y=3$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(2)y=8\\(3)x+(-1)y=3\end{cases}

是，每條原方程都成立。
不是，只核對一條就足以否定。

參考答案

是，每條原方程都成立。

第 1 式左邊為 8，右邊為 8。
第 2 式左邊為 3，右邊為 3。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

把 $2x-y=5$ 乘 3，哪條方程正確？

$6x-3y=15$
$6x-y=15$
$6x-3y=5$

參考答案

$6x-3y=15$

兩邊每項都乘 3。
兩個係數及右邊都要倍乘。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y=9\\(1)x+(-1)y=3\end{cases}

參考答案

$x=6,\quad y=3$ 。

x=6,\quad y=3

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y=-6$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=6$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(2)x+(3)y=13\\(2)x+(-1)y=1\end{cases}

參考答案

$x=2,\quad y=3$ 。

x=2,\quad y=3

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-4)y=-12$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(3)x+(2)y=19\\(5)x+(-3)y=0\end{cases}

參考答案

$x=3,\quad y=5$ 。

x=3,\quad y=5

第 2 式減去第 1 式的 $\frac{5}{3}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{-19}{3})y=\frac{-95}{3}$ 。
回代得 $y=5$ 。
回代得 $x=3$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y=1\\(2)x+(-1)y=-7\end{cases}

參考答案

$x=-2,\quad y=3$ 。

x=-2,\quad y=3

第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(-3)y=-9$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=-2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

描述方程組的全部實數解，說明為何寫了兩式不保證有唯一數對。

\begin{cases}(1)x+(1)y=6\\(2)x+(2)y=12\end{cases}

參考答案

$(x,y)=(t,6-t),\ t\in\mathbb{R}$ ；無限多解。

(x,y)=(t,6-t),\ t\in\mathbb{R}

第二式是第一式兩倍，沒有新增限制。
任取實數 x＝t，令 y＝6−t，兩式都成立。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

判斷方程組是否有實數解，以消元說明。

\begin{cases}(1)x+(1)y=6\\(2)x+(2)y=13\end{cases}

參考答案

無解。第二式減第一式兩倍得 0＝1。

第一式兩倍為 2x＋2y＝12。
第二式要求同一左邊等於 13，產生矛盾。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

列印版本

教材對照與編寫

對應教材教學後使用的 40 分鐘原創核心鞏固，並非代替每節新授課；來源對照只限已提供正文。

大湾区初中数学三维课堂（七年级下册）正文.pdf

七下・正文 51–60 頁・正文第 26–30 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

二元方程組：代入與加減消元

七下・正文 51–60 頁・正文第 26–30 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

用代入法解方程組，再驗算兩式。

\begin{cases}(1)x+(1)y=7\\(-2)x+(1)y=1\end{cases}

帶做2

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(2)x+(1)y=11\\(1)x+(-1)y=1\end{cases}

兩原式相加： $(2x+y)+(x-y)=11+1$ 。
合併： $3x=\square$ ，所以 $x=\square$ 。
回代： $y=11-2(\square)=\square$ ；驗算兩原式。

先備3

檢查 $x=3, y=4$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y=7\\(2)x+(-1)y=2\end{cases}

是，每條原方程都成立。
不是，只核對一條就足以否定。

先備4

檢查 $x=2, y=5$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y=7\\(2)x+(-1)y=2\end{cases}

是，符合其中一條已足夠。
不是，至少一條原方程不成立。

二元方程組：代入與加減消元

七下・正文 51–60 頁・正文第 26–30 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

用代入法求解，並驗算兩式。

\begin{cases}(1)x+(-1)y=2\\(2)x+(1)y=10\end{cases}

獨立練習6

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(2)x+(3)y=16\\(3)x+(-2)y=11\end{cases}

獨立練習7

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(3)x+(-2)y=0\\(2)x+(1)y=7\end{cases}

獨立練習8

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y=3\\(2)x+(-1)y=1\end{cases}

離堂題9

檢查 $x=2, y=3$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(2)y=8\\(3)x+(-1)y=3\end{cases}

是，每條原方程都成立。
不是，只核對一條就足以否定。

離堂題10

把 $2x-y=5$ 乘 3，哪條方程正確？

$6x-3y=15$
$6x-y=15$
$6x-3y=5$

二元方程組：代入與加減消元 — 補練

七下・正文 51–60 頁・正文第 26–30 課時

補練／家課11

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y=9\\(1)x+(-1)y=3\end{cases}

補練／家課12

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(2)x+(3)y=13\\(2)x+(-1)y=1\end{cases}

補練／家課13

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(3)x+(2)y=19\\(5)x+(-3)y=0\end{cases}

補練／家課14

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y=1\\(2)x+(-1)y=-7\end{cases}

進階15

描述方程組的全部實數解，說明為何寫了兩式不保證有唯一數對。

\begin{cases}(1)x+(1)y=6\\(2)x+(2)y=12\end{cases}

進階16

判斷方程組是否有實數解，以消元說明。

\begin{cases}(1)x+(1)y=6\\(2)x+(2)y=13\end{cases}

二元方程組：代入與加減消元 — 教師解答

七下・正文 51–60 頁・正文第 26–30 課時

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

普通班：先備4、短探究5、示範帶做8、獨立15、訂正5、離堂3分鐘。進階班：探究18、整理4、精選練習13、離堂5分鐘。

先備：會解一元方程、倍乘各項及代入帶符號數值。

普通班取首個指定例作5分鐘概念示範；進階班完成整個探究。

探究與討論：18 分鐘 tickets 探究：A 每張 2 元、B 每張 5 元，共 10 張、收入 32 元。預測可行數對（2 分），列整數組合及兩個方程（4 分），兩組分別用代入、倍乘後相減解同一模型（7 分）。比較兩法如何消去一個未知數，驗算兩原條件（3 分）。只把收入改為 31 元，解釋實數解為何不是可行整數票數（2 分），不能把票數取近似。

教師示範1

用代入法解方程組，再驗算兩式。

\begin{cases}(1)x+(1)y=7\\(-2)x+(1)y=1\end{cases}

參考答案

$x=2,\quad y=5$ 。

x=2,\quad y=5

第二式得 $y=2x+1$ 。
代入第一式： $x+(2x+1)=7$ ，得 $x=2$ 。
回代得 $y=5$ ；驗算 $2+5=7$ 、 $-2(2)+5=1$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(2)x+(1)y=11\\(1)x+(-1)y=1\end{cases}

兩原式相加： $(2x+y)+(x-y)=11+1$ 。
合併： $3x=\square$ ，所以 $x=\square$ 。
回代： $y=11-2(\square)=\square$ ；驗算兩原式。

參考答案

$x=4,\quad y=3$ 。

x=4,\quad y=3

第 2 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{-3}{2})y=\frac{-9}{2}$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=4$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備3

檢查 $x=3, y=4$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y=7\\(2)x+(-1)y=2\end{cases}

是，每條原方程都成立。
不是，只核對一條就足以否定。

參考答案

是，每條原方程都成立。

第 1 式左邊為 7，右邊為 7。
第 2 式左邊為 2，右邊為 2。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

檢查 $x=2, y=5$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y=7\\(2)x+(-1)y=2\end{cases}

是，符合其中一條已足夠。
不是，至少一條原方程不成立。

參考答案

不是，至少一條原方程不成立。

第 1 式左邊為 7，右邊為 7。
第 2 式左邊為 -1，右邊為 2。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

用代入法求解，並驗算兩式。

\begin{cases}(1)x+(-1)y=2\\(2)x+(1)y=10\end{cases}

參考答案

$x=4,\quad y=2$ 。

x=4,\quad y=2

第一式得 $x=y+2$ 。
代入得 $2(y+2)+y=10$ ，所以 $y=2$ 。
回代得 $x=4$ ，兩式都符合原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習6

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(2)x+(3)y=16\\(3)x+(-2)y=11\end{cases}

參考答案

$x=5,\quad y=2$ 。

x=5,\quad y=2

第 2 式減去第 1 式的 $\frac{3}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{-13}{2})y=-13$ 。
回代得 $y=2$ 。
回代得 $x=5$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(3)x+(-2)y=0\\(2)x+(1)y=7\end{cases}

參考答案

$x=2,\quad y=3$ 。

x=2,\quad y=3

第 2 式減去第 1 式的 $\frac{2}{3}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{7}{3})y=7$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y=3\\(2)x+(-1)y=1\end{cases}

參考答案

$x=\frac{4}{3},\quad y=\frac{5}{3}$ 。

x=\frac{4}{3},\quad y=\frac{5}{3}

第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(-3)y=-5$ 。
回代得 $y=\frac{5}{3}$ 。
回代得 $x=\frac{4}{3}$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

檢查 $x=2, y=3$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(2)y=8\\(3)x+(-1)y=3\end{cases}

是，每條原方程都成立。
不是，只核對一條就足以否定。

參考答案

是，每條原方程都成立。

第 1 式左邊為 8，右邊為 8。
第 2 式左邊為 3，右邊為 3。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

把 $2x-y=5$ 乘 3，哪條方程正確？

$6x-3y=15$
$6x-y=15$
$6x-3y=5$

參考答案

$6x-3y=15$

兩邊每項都乘 3。
兩個係數及右邊都要倍乘。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y=9\\(1)x+(-1)y=3\end{cases}

參考答案

$x=6,\quad y=3$ 。

x=6,\quad y=3

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y=-6$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=6$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(2)x+(3)y=13\\(2)x+(-1)y=1\end{cases}

參考答案

$x=2,\quad y=3$ 。

x=2,\quad y=3

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-4)y=-12$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(3)x+(2)y=19\\(5)x+(-3)y=0\end{cases}

參考答案

$x=3,\quad y=5$ 。

x=3,\quad y=5

第 2 式減去第 1 式的 $\frac{5}{3}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{-19}{3})y=\frac{-95}{3}$ 。
回代得 $y=5$ 。
回代得 $x=3$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y=1\\(2)x+(-1)y=-7\end{cases}

參考答案

$x=-2,\quad y=3$ 。

x=-2,\quad y=3

第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(-3)y=-9$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=-2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

描述方程組的全部實數解，說明為何寫了兩式不保證有唯一數對。

\begin{cases}(1)x+(1)y=6\\(2)x+(2)y=12\end{cases}

參考答案

$(x,y)=(t,6-t),\ t\in\mathbb{R}$ ；無限多解。

(x,y)=(t,6-t),\ t\in\mathbb{R}

第二式是第一式兩倍，沒有新增限制。
任取實數 x＝t，令 y＝6−t，兩式都成立。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

判斷方程組是否有實數解，以消元說明。

\begin{cases}(1)x+(1)y=6\\(2)x+(2)y=13\end{cases}

參考答案

無解。第二式減第一式兩倍得 0＝1。

第一式兩倍為 2x＋2y＝12。
第二式要求同一左邊等於 13，產生矛盾。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。