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平方根與立方根：意義及符號｜教師參考

分清兩個平方根與一個算術平方根，並理解負數立方根。

40 分鐘 · 七下・正文 29–34 頁・正文第 15–17 課時

教材對照：七下第6章 實數・正文第15–17課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。 查看下冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

學生課堂頁在研習室安排題單

  1. 4′先備檢查
  2. 5′短探究／概念示範
  3. 8′示範與帶做
  4. 15′獨立練習
  5. 5′訂正
  6. 3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

18 分鐘：在 roots 探究比較正方形面積 9、2、0，核對前先預測實際邊長的允許範圍（預測 3 分、試驗 6 分）。面積 9 時比較邊長 3 與 x²＝9 的全部解，面積 0 時解釋為何只有一值（4 分）。紙上只改成 x³＝−8，找負立方根，解釋這不是負的正方形邊長（3 分）。最後分類「平方根、算術平方根、立方根」三種要求及符號規則（2 分）。該引擎本身只模擬非負平方根。

整理關鍵概念

分清兩個平方根與一個算術平方根，並理解負數立方根。

開啟原章節開啟互動探究

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

普通班用首個指定例作5分鐘概念示範；進階班按完整18分鐘探究，先寫預測再核對。

教師示範1

求 8181 的全部平方根。

檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
帶做2

計算 −643\sqrt[3]{-64}。

  1. 找 r 使 r3=−64r^{3}=-64；r 的符號是 ____。
  2. 完成 (−□)3=−64(-\square)^{3}=-64。
  3. 所以 −643=□\sqrt[3]{-64}=\square；再取立方核對。
檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
先備3

計算 49\sqrt{49}。

檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
先備4

計算 0\sqrt{0}。

檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
獨立練習5

計算 2536\sqrt{\frac{25}{36}}。

檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
獨立練習6

求 9100\frac{9}{100} 的全部平方根。

檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
獨立練習7

計算 −271253\sqrt[3]{\frac{-27}{125}}。

檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
獨立練習8

計算 (−8)2\sqrt{(-8)^{2}}，並解釋為何不是 −8。

檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
離堂題9

−9 有實數平方根嗎？

  1. 有，−3。
  2. 有，3 與 −3。
  3. 沒有；實數的平方不會是負數。
檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
離堂題10

計算 −83\sqrt[3]{-8}。

檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
補練／家課11

計算 100\sqrt{100}。

檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
補練／家課12

求 449\frac{4}{49} 的全部平方根。

檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
補練／家課13

計算 2163\sqrt[3]{216}。

檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
補練／家課14

計算 1643\sqrt[3]{\frac{1}{64}}。

檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
進階15

實數 x 滿足甚麼條件時 x−3\sqrt{x-3} 有意義？保留端點。

檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
進階16

精確解 x2=12x^{2}=12，並說明與寫 12\sqrt{12} 的分別。

檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
備課與評量說明

先備要求

計算正負數及簡單分數的平方、立方。

觀察學生作答

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

全部參考答案

教師示範1

求 8181 的全部平方根。

參考答案

±9\pm 9。

±9\pm 9
  1. 正數的兩個互為相反數的值，平方都等於被開方數。
  2. 核對 (9)2=81(9)^{2}=81。 該非零根的相反數平方也相同。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
帶做2

計算 −643\sqrt[3]{-64}。

  1. 找 r 使 r3=−64r^{3}=-64；r 的符號是 ____。
  2. 完成 (−□)3=−64(-\square)^{3}=-64。
  3. 所以 −643=□\sqrt[3]{-64}=\square；再取立方核對。
參考答案

−4-4。

−4-4
  1. 立方根的立方等於被開方數。
  2. 核對 (−4)3=−64(-4)^{3}=-64。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
先備3

計算 49\sqrt{49}。

參考答案

77。

77
  1. 平方根號表示非負算術平方根。
  2. 核對 (7)2=49(7)^{2}=49。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
先備4

計算 0\sqrt{0}。

參考答案

00。

00
  1. 平方根號表示非負算術平方根。
  2. 核對 (0)2=0(0)^{2}=0。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
獨立練習5

計算 2536\sqrt{\frac{25}{36}}。

參考答案

56\frac{5}{6}。

56\frac{5}{6}
  1. 平方根號表示非負算術平方根。
  2. 核對 (56)2=2536(\frac{5}{6})^{2}=\frac{25}{36}。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
獨立練習6

求 9100\frac{9}{100} 的全部平方根。

參考答案

±310\pm \frac{3}{10}。

±310\pm \frac{3}{10}
  1. 正數的兩個互為相反數的值，平方都等於被開方數。
  2. 核對 (310)2=9100(\frac{3}{10})^{2}=\frac{9}{100}。 該非零根的相反數平方也相同。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
獨立練習7

計算 −271253\sqrt[3]{\frac{-27}{125}}。

參考答案

−35\frac{-3}{5}。

−35\frac{-3}{5}
  1. 立方根的立方等於被開方數。
  2. 核對 (−35)3=−27125(\frac{-3}{5})^{3}=\frac{-27}{125}。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
獨立練習8

計算 (−8)2\sqrt{(-8)^{2}}，並解釋為何不是 −8。

參考答案

88；算術平方根非負。

88
  1. 先算 (−8)²＝64。
  2. 64 的非負平方根是 8；一般有 √(a²)＝|a|。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
離堂題9

−9 有實數平方根嗎？

  1. 有，−3。
  2. 有，3 與 −3。
  3. 沒有；實數的平方不會是負數。
參考答案

沒有；實數的平方不會是負數。

  1. 3²、(−3)² 都是正的 9。
  2. 沒有實數的平方是 −9。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
離堂題10

計算 −83\sqrt[3]{-8}。

參考答案

−2-2。

−2-2
  1. 立方根的立方等於被開方數。
  2. 核對 (−2)3=−8(-2)^{3}=-8。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
補練／家課11

計算 100\sqrt{100}。

參考答案

1010。

1010
  1. 平方根號表示非負算術平方根。
  2. 核對 (10)2=100(10)^{2}=100。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
補練／家課12

求 449\frac{4}{49} 的全部平方根。

參考答案

±27\pm \frac{2}{7}。

±27\pm \frac{2}{7}
  1. 正數的兩個互為相反數的值，平方都等於被開方數。
  2. 核對 (27)2=449(\frac{2}{7})^{2}=\frac{4}{49}。 該非零根的相反數平方也相同。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
補練／家課13

計算 2163\sqrt[3]{216}。

參考答案

66。

66
  1. 立方根的立方等於被開方數。
  2. 核對 (6)3=216(6)^{3}=216。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
補練／家課14

計算 1643\sqrt[3]{\frac{1}{64}}。

參考答案

14\frac{1}{4}。

14\frac{1}{4}
  1. 立方根的立方等於被開方數。
  2. 核對 (14)3=164(\frac{1}{4})^{3}=\frac{1}{64}。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
進階15

實數 x 滿足甚麼條件時 x−3\sqrt{x-3} 有意義？保留端點。

參考答案

x≥3x\geq3。

x≥3x\geq3
  1. 實平方根的被開方數須非負：x−3≥0。
  2. 因此 x≥3；相等時為 √0＝0。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
進階16

精確解 x2=12x^{2}=12，並說明與寫 12\sqrt{12} 的分別。

參考答案

x=±12x=\pm\sqrt{12}；單獨根號只表示非負根。

x=±12x=\pm\sqrt{12}
  1. 正、負平方根的平方都為 12。
  2. 方程有兩個解；√12 只指其中一個。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

教材對照與編寫

對應教材教學後使用的 40 分鐘原創核心鞏固，並非代替每節新授課；來源對照只限已提供正文。

大湾区初中数学三维课堂（七年级下册）正文.pdf

七下・正文 29–34 頁・正文第 15–17 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

平方根與立方根：意義及符號

七下・正文 29–34 頁・正文第 15–17 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

求 8181 的全部平方根。

帶做2

計算 −643\sqrt[3]{-64}。

  1. 找 r 使 r3=−64r^{3}=-64；r 的符號是 ____。
  2. 完成 (−□)3=−64(-\square)^{3}=-64。
  3. 所以 −643=□\sqrt[3]{-64}=\square；再取立方核對。
先備3

計算 49\sqrt{49}。

先備4

計算 0\sqrt{0}。

g7-square-cube-roots · 2026-10-15-lower-core-v1 · 留意條件與理由；量度不代替證明。

平方根與立方根：意義及符號

七下・正文 29–34 頁・正文第 15–17 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

計算 2536\sqrt{\frac{25}{36}}。

獨立練習6

求 9100\frac{9}{100} 的全部平方根。

獨立練習7

計算 −271253\sqrt[3]{\frac{-27}{125}}。

獨立練習8

計算 (−8)2\sqrt{(-8)^{2}}，並解釋為何不是 −8。

離堂題9

−9 有實數平方根嗎？

  1. 有，−3。
  2. 有，3 與 −3。
  3. 沒有；實數的平方不會是負數。
離堂題10

計算 −83\sqrt[3]{-8}。

g7-square-cube-roots · 2026-10-15-lower-core-v1 · 留意條件與理由；量度不代替證明。

平方根與立方根：意義及符號 — 補練

七下・正文 29–34 頁・正文第 15–17 課時

補練／家課11

計算 100\sqrt{100}。

補練／家課12

求 449\frac{4}{49} 的全部平方根。

補練／家課13

計算 2163\sqrt[3]{216}。

補練／家課14

計算 1643\sqrt[3]{\frac{1}{64}}。

進階15

實數 x 滿足甚麼條件時 x−3\sqrt{x-3} 有意義？保留端點。

進階16

精確解 x2=12x^{2}=12，並說明與寫 12\sqrt{12} 的分別。

平方根與立方根：意義及符號 — 教師解答

七下・正文 29–34 頁・正文第 15–17 課時

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

普通班：先備4、短探究5、示範帶做8、獨立15、訂正5、離堂3分鐘。進階班：探究18、整理4、精選練習13、離堂5分鐘。

先備：計算正負數及簡單分數的平方、立方。

普通班取首個指定例作5分鐘概念示範；進階班完成整個探究。

探究與討論：18 分鐘：在 roots 探究比較正方形面積 9、2、0，核對前先預測實際邊長的允許範圍（預測 3 分、試驗 6 分）。面積 9 時比較邊長 3 與 x²＝9 的全部解，面積 0 時解釋為何只有一值（4 分）。紙上只改成 x³＝−8，找負立方根，解釋這不是負的正方形邊長（3 分）。最後分類「平方根、算術平方根、立方根」三種要求及符號規則（2 分）。該引擎本身只模擬非負平方根。

教師示範1

求 8181 的全部平方根。

參考答案

±9\pm 9。

±9\pm 9
  1. 正數的兩個互為相反數的值，平方都等於被開方數。
  2. 核對 (9)2=81(9)^{2}=81。 該非零根的相反數平方也相同。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
帶做2

計算 −643\sqrt[3]{-64}。

  1. 找 r 使 r3=−64r^{3}=-64；r 的符號是 ____。
  2. 完成 (−□)3=−64(-\square)^{3}=-64。
  3. 所以 −643=□\sqrt[3]{-64}=\square；再取立方核對。
參考答案

−4-4。

−4-4
  1. 立方根的立方等於被開方數。
  2. 核對 (−4)3=−64(-4)^{3}=-64。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
先備3

計算 49\sqrt{49}。

參考答案

77。

77
  1. 平方根號表示非負算術平方根。
  2. 核對 (7)2=49(7)^{2}=49。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
先備4

計算 0\sqrt{0}。

參考答案

00。

00
  1. 平方根號表示非負算術平方根。
  2. 核對 (0)2=0(0)^{2}=0。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
獨立練習5

計算 2536\sqrt{\frac{25}{36}}。

參考答案

56\frac{5}{6}。

56\frac{5}{6}
  1. 平方根號表示非負算術平方根。
  2. 核對 (56)2=2536(\frac{5}{6})^{2}=\frac{25}{36}。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
獨立練習6

求 9100\frac{9}{100} 的全部平方根。

參考答案

±310\pm \frac{3}{10}。

±310\pm \frac{3}{10}
  1. 正數的兩個互為相反數的值，平方都等於被開方數。
  2. 核對 (310)2=9100(\frac{3}{10})^{2}=\frac{9}{100}。 該非零根的相反數平方也相同。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
獨立練習7

計算 −271253\sqrt[3]{\frac{-27}{125}}。

參考答案

−35\frac{-3}{5}。

−35\frac{-3}{5}
  1. 立方根的立方等於被開方數。
  2. 核對 (−35)3=−27125(\frac{-3}{5})^{3}=\frac{-27}{125}。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
獨立練習8

計算 (−8)2\sqrt{(-8)^{2}}，並解釋為何不是 −8。

參考答案

88；算術平方根非負。

88
  1. 先算 (−8)²＝64。
  2. 64 的非負平方根是 8；一般有 √(a²)＝|a|。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
離堂題9

−9 有實數平方根嗎？

  1. 有，−3。
  2. 有，3 與 −3。
  3. 沒有；實數的平方不會是負數。
參考答案

沒有；實數的平方不會是負數。

  1. 3²、(−3)² 都是正的 9。
  2. 沒有實數的平方是 −9。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
離堂題10

計算 −83\sqrt[3]{-8}。

參考答案

−2-2。

−2-2
  1. 立方根的立方等於被開方數。
  2. 核對 (−2)3=−8(-2)^{3}=-8。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
補練／家課11

計算 100\sqrt{100}。

參考答案

1010。

1010
  1. 平方根號表示非負算術平方根。
  2. 核對 (10)2=100(10)^{2}=100。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
補練／家課12

求 449\frac{4}{49} 的全部平方根。

參考答案

±27\pm \frac{2}{7}。

±27\pm \frac{2}{7}
  1. 正數的兩個互為相反數的值，平方都等於被開方數。
  2. 核對 (27)2=449(\frac{2}{7})^{2}=\frac{4}{49}。 該非零根的相反數平方也相同。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
補練／家課13

計算 2163\sqrt[3]{216}。

參考答案

66。

66
  1. 立方根的立方等於被開方數。
  2. 核對 (6)3=216(6)^{3}=216。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
補練／家課14

計算 1643\sqrt[3]{\frac{1}{64}}。

參考答案

14\frac{1}{4}。

14\frac{1}{4}
  1. 立方根的立方等於被開方數。
  2. 核對 (14)3=164(\frac{1}{4})^{3}=\frac{1}{64}。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
進階15

實數 x 滿足甚麼條件時 x−3\sqrt{x-3} 有意義？保留端點。

參考答案

x≥3x\geq3。

x≥3x\geq3
  1. 實平方根的被開方數須非負：x−3≥0。
  2. 因此 x≥3；相等時為 √0＝0。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
進階16

精確解 x2=12x^{2}=12，並說明與寫 12\sqrt{12} 的分別。

參考答案

x=±12x=\pm\sqrt{12}；單獨根號只表示非負根。

x=±12x=\pm\sqrt{12}
  1. 正、負平方根的平方都為 12。
  2. 方程有兩個解；√12 只指其中一個。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。