Kenneth Cheng數學・模型・思考
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紙筆・推理・練習

實數：分類、界與近似

以精確定義及平方比較判斷，分清近似與等號。

40 分鐘 · 七下・正文 35–38 頁・正文第 18–19 課時

教材對照：七下第6章 實數・正文第18–19課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。 查看下冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

教師參考在研習室安排題單

  1. 4′先備檢查
  2. 5′短探究／概念示範
  3. 8′示範與帶做
  4. 15′獨立練習
  5. 5′訂正
  6. 3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

18 分鐘 roots 探究，目標面積為 2：預測 1.4 是否精確值（3 分）。目標不變，只把細分由 0 位改為 1、2 位；試邊長 1.4、1.41、1.42，平方並記錄精確上下界比較（8 分）。只把目標改為 9，解釋為何兩界合成一個精確值（3 分）。寫 √2 的嚴格界，說明窄區間或有限顯示都不能證明整個小數展開或無理性（4 分）。

整理關鍵概念

以精確定義及平方比較判斷，分清近似與等號。

開啟原章節開啟互動探究

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

普通班用首個指定例作5分鐘概念示範；進階班按完整18分鐘探究，先寫預測再核對。

教師示範1

用 75\frac{7}{5}、32\frac{3}{2} 為 2\sqrt{2} 寫嚴格上下界，以平方核對。

檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
帶做2

已知 5≈2.2361\sqrt{5}\approx2.2361，估算 4−54-\sqrt{5} 至小數點後兩位。

  1. 代入所給小數：4−5≈4−2.23614-\sqrt{5}\approx4-2.2361。
  2. 取近似前先算 4−2.2361=□4-2.2361=\square。
  3. 小數第三位是 ____，取兩位小數的估計為 ____。
檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
先備3

把 9\sqrt{9} 分類。

  1. 有理數。
  2. 無理數。
檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
先備4

把 0.1250.125 分類。

  1. 無理數。
  2. 有理數。
檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
獨立練習5

把 0.12‾0.\overline{12} 分類。上劃線表示該部分無限循環。

  1. 有理數。
  2. 無理數。
檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
獨立練習6

比較 −5-\sqrt{5}、−6-\sqrt{6}，解釋負號的作用。

檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
獨立練習7

求 ∣−7∣|-\sqrt{7}| 及 −7-\sqrt{7} 的相反數。

檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
獨立練習8

用 173100\frac{173}{100}、174100\frac{174}{100} 為 3\sqrt{3} 寫嚴格上下界，以平方核對。

檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
離堂題9

由 1.41²<2<1.42² 能支持哪項？

  1. 2=1.41\sqrt{2}=1.41
  2. 這兩次計算已證明 √2 的每個數位。
  3. 1.41<2<1.421.41<\sqrt{2}<1.42
檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
離堂題10

把 2\sqrt{2} 分類。

  1. 有理數。
  2. 無理數。
檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
補練／家課11

把 −16-\sqrt{16} 分類。

  1. 有理數。
  2. 無理數。
檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
補練／家課12

把 273\sqrt[3]{27} 分類。

  1. 無理數。
  2. 有理數。
檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
補練／家課13

精確化簡 32−23\sqrt{2}-\sqrt{2}，不要以小數代替 √2。

32−23\sqrt{2}-\sqrt{2}
檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
補練／家課14

用 22、33 為 5\sqrt{5} 寫嚴格上下界，以平方核對。

檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
進階15

螢幕顯示 0.333333。單靠此有限顯示，能否判斷原數是 1/3 還是有限小數？說明。

檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
進階16

用 223100\frac{223}{100}、224100\frac{224}{100} 為 5\sqrt{5} 寫嚴格上下界，以平方核對。

檢核清單
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
備課與評量說明

先備要求

分清算術平方根與兩個平方根，能比較非負平方及取小數近似。

觀察學生作答

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

教材對照與編寫

對應教材教學後使用的 40 分鐘原創核心鞏固，並非代替每節新授課；來源對照只限已提供正文。

大湾区初中数学三维课堂（七年级下册）正文.pdf

七下・正文 35–38 頁・正文第 18–19 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

實數：分類、界與近似

七下・正文 35–38 頁・正文第 18–19 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

用 75\frac{7}{5}、32\frac{3}{2} 為 2\sqrt{2} 寫嚴格上下界，以平方核對。

帶做2

已知 5≈2.2361\sqrt{5}\approx2.2361，估算 4−54-\sqrt{5} 至小數點後兩位。

  1. 代入所給小數：4−5≈4−2.23614-\sqrt{5}\approx4-2.2361。
  2. 取近似前先算 4−2.2361=□4-2.2361=\square。
  3. 小數第三位是 ____，取兩位小數的估計為 ____。
先備3

把 9\sqrt{9} 分類。

  1. 有理數。
  2. 無理數。
先備4

把 0.1250.125 分類。

  1. 無理數。
  2. 有理數。
g7-real-number-estimation · 2026-10-15-lower-core-v1 · 留意條件與理由；量度不代替證明。

實數：分類、界與近似

七下・正文 35–38 頁・正文第 18–19 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

把 0.12‾0.\overline{12} 分類。上劃線表示該部分無限循環。

  1. 有理數。
  2. 無理數。
獨立練習6

比較 −5-\sqrt{5}、−6-\sqrt{6}，解釋負號的作用。

獨立練習7

求 ∣−7∣|-\sqrt{7}| 及 −7-\sqrt{7} 的相反數。

獨立練習8

用 173100\frac{173}{100}、174100\frac{174}{100} 為 3\sqrt{3} 寫嚴格上下界，以平方核對。

離堂題9

由 1.41²<2<1.42² 能支持哪項？

  1. 2=1.41\sqrt{2}=1.41
  2. 這兩次計算已證明 √2 的每個數位。
  3. 1.41<2<1.421.41<\sqrt{2}<1.42
離堂題10

把 2\sqrt{2} 分類。

  1. 有理數。
  2. 無理數。
g7-real-number-estimation · 2026-10-15-lower-core-v1 · 留意條件與理由；量度不代替證明。

實數：分類、界與近似 — 補練

七下・正文 35–38 頁・正文第 18–19 課時

補練／家課11

把 −16-\sqrt{16} 分類。

  1. 有理數。
  2. 無理數。
補練／家課12

把 273\sqrt[3]{27} 分類。

  1. 無理數。
  2. 有理數。
補練／家課13

精確化簡 32−23\sqrt{2}-\sqrt{2}，不要以小數代替 √2。

32−23\sqrt{2}-\sqrt{2}
補練／家課14

用 22、33 為 5\sqrt{5} 寫嚴格上下界，以平方核對。

進階15

螢幕顯示 0.333333。單靠此有限顯示，能否判斷原數是 1/3 還是有限小數？說明。

進階16

用 223100\frac{223}{100}、224100\frac{224}{100} 為 5\sqrt{5} 寫嚴格上下界，以平方核對。

實數：分類、界與近似 — 教師解答

七下・正文 35–38 頁・正文第 18–19 課時

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

普通班：先備4、短探究5、示範帶做8、獨立15、訂正5、離堂3分鐘。進階班：探究18、整理4、精選練習13、離堂5分鐘。

先備：分清算術平方根與兩個平方根，能比較非負平方及取小數近似。

普通班取首個指定例作5分鐘概念示範；進階班完成整個探究。

探究與討論：18 分鐘 roots 探究，目標面積為 2：預測 1.4 是否精確值（3 分）。目標不變，只把細分由 0 位改為 1、2 位；試邊長 1.4、1.41、1.42，平方並記錄精確上下界比較（8 分）。只把目標改為 9，解釋為何兩界合成一個精確值（3 分）。寫 √2 的嚴格界，說明窄區間或有限顯示都不能證明整個小數展開或無理性（4 分）。

教師示範1

用 75\frac{7}{5}、32\frac{3}{2} 為 2\sqrt{2} 寫嚴格上下界，以平方核對。

參考答案

75<2<32\frac{7}{5}<\sqrt{2}<\frac{3}{2}。

75<2<32\frac{7}{5}<\sqrt{2}<\frac{3}{2}
  1. 兩界非負，平方保持大小次序。
  2. 平方分別是 4925\frac{49}{25}、94\frac{9}{4}，且 4925<2<94\frac{49}{25}<2<\frac{9}{4}。
  3. 所以算術平方根嚴格介乎兩界之間。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
帶做2

已知 5≈2.2361\sqrt{5}\approx2.2361，估算 4−54-\sqrt{5} 至小數點後兩位。

  1. 代入所給小數：4−5≈4−2.23614-\sqrt{5}\approx4-2.2361。
  2. 取近似前先算 4−2.2361=□4-2.2361=\square。
  3. 小數第三位是 ____，取兩位小數的估計為 ____。
參考答案

1.761.76。

4−5≈1.764-\sqrt{5}\approx1.76
  1. 用所給近似值：4−2.2361＝1.7639。
  2. 取兩位小數得約 1.76，不能稱精確等號。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
先備3

把 9\sqrt{9} 分類。

  1. 有理數。
  2. 無理數。
參考答案

有理數。

  1. √9＝3，是整數。
  2. 依精確值或循環／不循環定義判斷，不能只看有限計算機顯示。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
先備4

把 0.1250.125 分類。

  1. 無理數。
  2. 有理數。
參考答案

有理數。

  1. 0.125＝1/8，是整數之比。
  2. 依精確值或循環／不循環定義判斷，不能只看有限計算機顯示。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
獨立練習5

把 0.12‾0.\overline{12} 分類。上劃線表示該部分無限循環。

  1. 有理數。
  2. 無理數。
參考答案

有理數。

  1. 12 無限重複，值為 12/99＝4/33。
  2. 依精確值或循環／不循環定義判斷，不能只看有限計算機顯示。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
獨立練習6

比較 −5-\sqrt{5}、−6-\sqrt{6}，解釋負號的作用。

參考答案

−5>−6-\sqrt{5}>-\sqrt{6}。

−5>−6-\sqrt{5}>-\sqrt{6}
  1. 5<6，所以非負算術平方根有 √5<√6。
  2. 取相反數後大小次序反轉。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
獨立練習7

求 ∣−7∣|-\sqrt{7}| 及 −7-\sqrt{7} 的相反數。

參考答案

兩者都是 7\sqrt{7}。

∣−7∣=7|-\sqrt{7}|=\sqrt{7}
  1. −√7 是負數，到零的距離是 √7。
  2. 取相反數改變符號，也得 √7。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
獨立練習8

用 173100\frac{173}{100}、174100\frac{174}{100} 為 3\sqrt{3} 寫嚴格上下界，以平方核對。

參考答案

173100<3<174100\frac{173}{100}<\sqrt{3}<\frac{174}{100}。

173100<3<174100\frac{173}{100}<\sqrt{3}<\frac{174}{100}
  1. 兩界非負，平方保持大小次序。
  2. 平方分別是 2992910000\frac{29929}{10000}、3027610000\frac{30276}{10000}，且 2992910000<3<3027610000\frac{29929}{10000}<3<\frac{30276}{10000}。
  3. 所以算術平方根嚴格介乎兩界之間。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
離堂題9

由 1.41²<2<1.42² 能支持哪項？

  1. 2=1.41\sqrt{2}=1.41
  2. 這兩次計算已證明 √2 的每個數位。
  3. 1.41<2<1.421.41<\sqrt{2}<1.42
參考答案

1.41<2<1.421.41<\sqrt{2}<1.42

  1. 兩端為正，平方把 2 夾在中間。
  2. 這證明界，不是精確等號或整個小數展開。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
離堂題10

把 2\sqrt{2} 分類。

  1. 有理數。
  2. 無理數。
參考答案

無理數。

  1. 2 不是完全平方數，使用已學的 √2 無理性結論。
  2. 依精確值或循環／不循環定義判斷，不能只看有限計算機顯示。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
補練／家課11

把 −16-\sqrt{16} 分類。

  1. 有理數。
  2. 無理數。
參考答案

有理數。

  1. −√16＝−4。
  2. 依精確值或循環／不循環定義判斷，不能只看有限計算機顯示。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
補練／家課12

把 273\sqrt[3]{27} 分類。

  1. 無理數。
  2. 有理數。
參考答案

有理數。

  1. 27 的立方根是 3。
  2. 依精確值或循環／不循環定義判斷，不能只看有限計算機顯示。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
補練／家課13

精確化簡 32−23\sqrt{2}-\sqrt{2}，不要以小數代替 √2。

32−23\sqrt{2}-\sqrt{2}
參考答案

222\sqrt{2}。

222\sqrt{2}
  1. 提出共同實數 √2：(3−1)√2。
  2. 精確結果為 2√2。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
補練／家課14

用 22、33 為 5\sqrt{5} 寫嚴格上下界，以平方核對。

參考答案

2<5<32<\sqrt{5}<3。

2<5<32<\sqrt{5}<3
  1. 兩界非負，平方保持大小次序。
  2. 平方分別是 41\frac{4}{1}、91\frac{9}{1}，且 41<5<91\frac{4}{1}<5<\frac{9}{1}。
  3. 所以算術平方根嚴格介乎兩界之間。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
進階15

螢幕顯示 0.333333。單靠此有限顯示，能否判斷原數是 1/3 還是有限小數？說明。

參考答案

不能。1/3 與 333333/1000000 都可能顯示成這樣，須知道原數定義。

  1. 四捨五入顯示省略了之後數位。
  2. 分類前要有精確表示或指定循環規則。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。
進階16

用 223100\frac{223}{100}、224100\frac{224}{100} 為 5\sqrt{5} 寫嚴格上下界，以平方核對。

參考答案

223100<5<224100\frac{223}{100}<\sqrt{5}<\frac{224}{100}。

223100<5<224100\frac{223}{100}<\sqrt{5}<\frac{224}{100}
  1. 兩界非負，平方保持大小次序。
  2. 平方分別是 4972910000\frac{49729}{10000}、5017610000\frac{50176}{10000}，且 4972910000<5<5017610000\frac{49729}{10000}<5<\frac{50176}{10000}。
  3. 所以算術平方根嚴格介乎兩界之間。
  • 使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
  • 準確寫出所求，並核對結果。