紙筆・推理・練習

有理數：運算、乘方與大數表示｜教師參考

在相關教材課時後，選練有理數運算、分數、乘方、科學記數法及近似數。

40 分鐘 · 七上・正文 15–40 頁・基訓第 8–20 課時

教材對照：七上・第一章有理數

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。查看上冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

學生課堂頁在研習室安排題單

課堂路線課堂環節

4′先備檢查
5′短探究／概念示範
8′示範與帶做
15′獨立練習
5′訂正
3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

比較 −3² 與（−3）²：先預測符號，再計算，說明指數作用於哪一部分。

整理關鍵概念

符號與運算次序同樣重要。先乘方，再處理前置負號；除數不能是零。科學記數法把數寫成適當係數與十的乘方之積。

開啟原章節開啟互動探究

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

教師示範1

計算下式，並解釋為何減去負數等於加上它的相反數。

(-4)+7-(-2)

先計算 −4＋7。
使用 a−b＝a＋（−b）。
最後一步是 3＋2。

−4＋7＝3。
減去 −2 等於加 2，所以 3＋2＝5。

檢核清單

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

帶做2

先算乘方和乘法，再作減法，計算下式。

(-3)^2-2\times4

（−3）²＝____。
2×4＝____。
____−____＝____。

括號內整個數是乘方的底數。
先算出 9 和 8，再相減。
最後一行是 9−8。

底數是 −3，所以（−3）²＝9。
2×4＝8，再算 9−8＝1。

檢核清單

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

先備3

計算兩個負數相加。

-6+(-3)

兩個加數同號。
把到零的距離相加。
保留負號。

絕對值相加：6＋3＝9。
保留共同負號，得 −9。

檢核清單

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

先備4

計算商，並說明正負號。

18\div(-3)

先判斷符號，再算數值。
正數除以負數，商是負數。
計算 18÷3。

兩數異號，所以商為負數。
18÷3＝6，所以商是 −6。

檢核清單

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

獨立練習5

計算下式，保留各項符號。

-12-(-5)

找出被減去數的相反數。
−5 的相反數是 5。
計算 −12＋5。

把減法改為加法：−12＋5。
負數的絕對值較大，所以得 −7。

檢核清單

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

獨立練習6

求乘積，說明負因數個數怎樣決定符號。

(-2)\times(-3)\times(-4)

數清楚負因數的個數。
奇數個負因數的乘積為負。
把絕對值 2、3、4 相乘。

有三個負因數，乘積為負。
2×3×4＝24，所以乘積是 −24。

檢核清單

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

獨立練習7

求精確分數值。

\frac{3}{4}-\frac{5}{6}

相減前先統一分母。
4 和 6 的最小公倍數是 12。
分子計算 9−10。

通分為 12：3/4＝9/12，5/6＝10/12。
9/12−10/12＝−1/12。

檢核清單

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

獨立練習8

把 450000 寫成科學記數法，並指出係數的範圍。

450000

把小數點放在第一個非零數字後。
數清楚小數點移動的位數。
本題是正的大數，使用正整數指數。

把小數點向左移 5 位，得到 4.5。
乘回 10⁵ 補償，再核對原數。

檢核清單

係數大於或等於 1、小於 10。
指數能把式子還原成原來的數。

離堂題9

計算下式，說明兩個平方項在相加前為何符號不同。

-3^2+(-3)^2

乘方先於前置負號計算。
比較兩個乘方的底數 3 與 −3。
把 −9 與 9 相加。

−3²＝−（3²）＝−9，而（−3）²＝9。
和是 −9＋9＝0。

檢核清單

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

離堂題10

按正確運算次序計算。

(8-14)\div3+2^3

先處理括號及乘方。
先除法，後加法。
最後一行是 −2＋8。

先算 8−14＝−6 及 2³＝8。
再算 −6÷3＝−2，最後 −2＋8＝6。

檢核清單

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

補練／家課11

計算下式，注意並非整個式子都是零。

(-5)\times0+4

只有乘積有零因數。
先計算乘法。
不要漏掉最後的＋4。

乘積（−5）×0＝0。
餘下是 0＋4＝4。

檢核清單

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

補練／家課12

先計算商，再作減法。

(-24)\div(-6)-5

相除的兩個數同號。
商是 4。
然後減 5。

兩個負數相除得正數：24÷6＝4。
4−5＝−1。

檢核清單

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

補練／家課13

把 7200000 寫成科學記數法，並指出係數的範圍。

7200000

把小數點放在第一個非零數字後。
數清楚小數點移動的位數。
本題是正的大數，使用正整數指數。

把小數點向左移 6 位，得到 7.2。
乘回 10⁶ 補償，再核對原數。

檢核清單

係數大於或等於 1、小於 10。
指數能把式子還原成原來的數。

補練／家課14

把 3.146 精確至小數點後兩位，指出決定取捨的數字。

小數點後兩位即百分位。
看小數點後第三位決定取捨。
該數字是 6。

保留百分位，觀察後一位數字 6。
6 大於或等於 5，所以 3.14 進一成為 3.15。

檢核清單

準確寫出適用定義或條件。
用已知數值、檢查或具體反例支持結論。

進階15

求精確值，並說明被減去乘積的符號。

\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\times(-2)

先乘後減。
乘積為負數。
減去該乘積等於加上 3/2。

乘積是（3/4）×（−2）＝−3/2。
1/2−（−3/2）＝1/2＋3/2＝2。

檢核清單

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

進階16

學生寫 8÷0＝0。這個除法有定義嗎？用除法所要求的乘法關係解釋。

先檢查除數是否容許。
把除法轉為乘法關係。
0×q 有可能等於 8 嗎？

A÷B＝q 要求 B×q＝A。
沒有任何數乘 0 能得到 8。

檢核清單

準確寫出適用定義或條件。
用已知數值、檢查或具體反例支持結論。

備課與評量說明

先備要求

相反數、絕對值及正數四則運算。

觀察學生作答

以先備題判斷支援需要，投影示範及帶做，再讓學生紙筆練習。按需要選補練或延伸；此展示不保存學生答案。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

全部參考答案

教師示範1

計算下式，並解釋為何減去負數等於加上它的相反數。

(-4)+7-(-2)

參考答案

結果是 5。

5

−4＋7＝3。
減去 −2 等於加 2，所以 3＋2＝5。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

帶做2

先算乘方和乘法，再作減法，計算下式。

(-3)^2-2\times4

（−3）²＝____。
2×4＝____。
____−____＝____。

參考答案

結果是 1。

1

底數是 −3，所以（−3）²＝9。
2×4＝8，再算 9−8＝1。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

先備3

計算兩個負數相加。

-6+(-3)

參考答案

結果是 −9。

-9

絕對值相加：6＋3＝9。
保留共同負號，得 −9。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

先備4

計算商，並說明正負號。

18\div(-3)

參考答案

結果是 −6。

-6

兩數異號，所以商為負數。
18÷3＝6，所以商是 −6。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

獨立練習5

計算下式，保留各項符號。

-12-(-5)

參考答案

結果是 −7。

-7

把減法改為加法：−12＋5。
負數的絕對值較大，所以得 −7。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

獨立練習6

求乘積，說明負因數個數怎樣決定符號。

(-2)\times(-3)\times(-4)

參考答案

結果是 −24。

-24

有三個負因數，乘積為負。
2×3×4＝24，所以乘積是 −24。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

獨立練習7

求精確分數值。

\frac{3}{4}-\frac{5}{6}

參考答案

結果是 −1/12。

\frac{-1}{12}

通分為 12：3/4＝9/12，5/6＝10/12。
9/12−10/12＝−1/12。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

獨立練習8

把 450000 寫成科學記數法，並指出係數的範圍。

450000

參考答案

4.5×10⁵；本題係數大於或等於 1、小於 10。

把小數點向左移 5 位，得到 4.5。
乘回 10⁵ 補償，再核對原數。

係數大於或等於 1、小於 10。
指數能把式子還原成原來的數。

離堂題9

計算下式，說明兩個平方項在相加前為何符號不同。

-3^2+(-3)^2

參考答案

結果是 0。

0

−3²＝−（3²）＝−9，而（−3）²＝9。
和是 −9＋9＝0。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

離堂題10

按正確運算次序計算。

(8-14)\div3+2^3

參考答案

結果是 6。

6

先算 8−14＝−6 及 2³＝8。
再算 −6÷3＝−2，最後 −2＋8＝6。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

補練／家課11

計算下式，注意並非整個式子都是零。

(-5)\times0+4

參考答案

結果是 4。

4

乘積（−5）×0＝0。
餘下是 0＋4＝4。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

補練／家課12

先計算商，再作減法。

(-24)\div(-6)-5

參考答案

結果是 −1。

-1

兩個負數相除得正數：24÷6＝4。
4−5＝−1。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

補練／家課13

把 7200000 寫成科學記數法，並指出係數的範圍。

7200000

參考答案

7.2×10⁶；本題係數大於或等於 1、小於 10。

把小數點向左移 6 位，得到 7.2。
乘回 10⁶ 補償，再核對原數。

係數大於或等於 1、小於 10。
指數能把式子還原成原來的數。

補練／家課14

把 3.146 精確至小數點後兩位，指出決定取捨的數字。

參考答案

3.15；小數點後第三位是 6，所以百分位加 1。

保留百分位，觀察後一位數字 6。
6 大於或等於 5，所以 3.14 進一成為 3.15。

準確寫出適用定義或條件。
用已知數值、檢查或具體反例支持結論。

進階15

求精確值，並說明被減去乘積的符號。

\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\times(-2)

參考答案

結果是 2。

2

乘積是（3/4）×（−2）＝−3/2。
1/2−（−3/2）＝1/2＋3/2＝2。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

進階16

學生寫 8÷0＝0。這個除法有定義嗎？用除法所要求的乘法關係解釋。

參考答案

沒有定義。若商為 q，就要有 0×q＝8；但任何數 q 都有 0×q＝0。

A÷B＝q 要求 B×q＝A。
沒有任何數乘 0 能得到 8。

準確寫出適用定義或條件。
用已知數值、檢查或具體反例支持結論。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

列印版本

教材對照與編寫

學過所列教材課時後使用的 40 分鐘原創核心練習；並非取代本章逐課時教學。

大湾区初中数学三维课堂（七年级上册）正文.pdf

七上・正文 15–40 頁・基訓第 8–20 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

有理數：運算、乘方與大數表示

七上・正文 15–40 頁・基訓第 8–20 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

計算下式，並解釋為何減去負數等於加上它的相反數。

(-4)+7-(-2)

帶做2

先算乘方和乘法，再作減法，計算下式。

(-3)^2-2\times4

（−3）²＝____。
2×4＝____。
____−____＝____。

先備3

計算兩個負數相加。

-6+(-3)

先備4

計算商，並說明正負號。

18\div(-3)

有理數：運算、乘方與大數表示

七上・正文 15–40 頁・基訓第 8–20 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

計算下式，保留各項符號。

-12-(-5)

獨立練習6

求乘積，說明負因數個數怎樣決定符號。

(-2)\times(-3)\times(-4)

獨立練習7

求精確分數值。

\frac{3}{4}-\frac{5}{6}

獨立練習8

把 450000 寫成科學記數法，並指出係數的範圍。

450000

離堂題9

計算下式，說明兩個平方項在相加前為何符號不同。

-3^2+(-3)^2

離堂題10

按正確運算次序計算。

(8-14)\div3+2^3

有理數：運算、乘方與大數表示 — 補練

七上・正文 15–40 頁・基訓第 8–20 課時

補練／家課11

計算下式，注意並非整個式子都是零。

(-5)\times0+4

補練／家課12

先計算商，再作減法。

(-24)\div(-6)-5

補練／家課13

把 7200000 寫成科學記數法，並指出係數的範圍。

7200000

補練／家課14

把 3.146 精確至小數點後兩位，指出決定取捨的數字。

進階15

求精確值，並說明被減去乘積的符號。

\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\times(-2)

進階16

學生寫 8÷0＝0。這個除法有定義嗎？用除法所要求的乘法關係解釋。

有理數：運算、乘方與大數表示 — 教師解答

七上・正文 15–40 頁・基訓第 8–20 課時

以先備題判斷支援需要，投影示範及帶做，再讓學生紙筆練習。按需要選補練或延伸；此展示不保存學生答案。

教師示範1

計算下式，並解釋為何減去負數等於加上它的相反數。

(-4)+7-(-2)

參考答案

結果是 5。

5

−4＋7＝3。
減去 −2 等於加 2，所以 3＋2＝5。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

帶做2

先算乘方和乘法，再作減法，計算下式。

(-3)^2-2\times4

（−3）²＝____。
2×4＝____。
____−____＝____。

參考答案

結果是 1。

1

底數是 −3，所以（−3）²＝9。
2×4＝8，再算 9−8＝1。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

先備3

計算兩個負數相加。

-6+(-3)

參考答案

結果是 −9。

-9

絕對值相加：6＋3＝9。
保留共同負號，得 −9。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

先備4

計算商，並說明正負號。

18\div(-3)

參考答案

結果是 −6。

-6

兩數異號，所以商為負數。
18÷3＝6，所以商是 −6。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

獨立練習5

計算下式，保留各項符號。

-12-(-5)

參考答案

結果是 −7。

-7

把減法改為加法：−12＋5。
負數的絕對值較大，所以得 −7。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

獨立練習6

求乘積，說明負因數個數怎樣決定符號。

(-2)\times(-3)\times(-4)

參考答案

結果是 −24。

-24

有三個負因數，乘積為負。
2×3×4＝24，所以乘積是 −24。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

獨立練習7

求精確分數值。

\frac{3}{4}-\frac{5}{6}

參考答案

結果是 −1/12。

\frac{-1}{12}

通分為 12：3/4＝9/12，5/6＝10/12。
9/12−10/12＝−1/12。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

獨立練習8

把 450000 寫成科學記數法，並指出係數的範圍。

450000

參考答案

4.5×10⁵；本題係數大於或等於 1、小於 10。

把小數點向左移 5 位，得到 4.5。
乘回 10⁵ 補償，再核對原數。

係數大於或等於 1、小於 10。
指數能把式子還原成原來的數。

離堂題9

計算下式，說明兩個平方項在相加前為何符號不同。

-3^2+(-3)^2

參考答案

結果是 0。

0

−3²＝−（3²）＝−9，而（−3）²＝9。
和是 −9＋9＝0。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

離堂題10

按正確運算次序計算。

(8-14)\div3+2^3

參考答案

結果是 6。

6

先算 8−14＝−6 及 2³＝8。
再算 −6÷3＝−2，最後 −2＋8＝6。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

補練／家課11

計算下式，注意並非整個式子都是零。

(-5)\times0+4

參考答案

結果是 4。

4

乘積（−5）×0＝0。
餘下是 0＋4＝4。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

補練／家課12

先計算商，再作減法。

(-24)\div(-6)-5

參考答案

結果是 −1。

-1

兩個負數相除得正數：24÷6＝4。
4−5＝−1。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

補練／家課13

把 7200000 寫成科學記數法，並指出係數的範圍。

7200000

參考答案

7.2×10⁶；本題係數大於或等於 1、小於 10。

把小數點向左移 6 位，得到 7.2。
乘回 10⁶ 補償，再核對原數。

係數大於或等於 1、小於 10。
指數能把式子還原成原來的數。

補練／家課14

把 3.146 精確至小數點後兩位，指出決定取捨的數字。

參考答案

3.15；小數點後第三位是 6，所以百分位加 1。

保留百分位，觀察後一位數字 6。
6 大於或等於 5，所以 3.14 進一成為 3.15。

準確寫出適用定義或條件。
用已知數值、檢查或具體反例支持結論。

進階15

求精確值，並說明被減去乘積的符號。

\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\times(-2)

參考答案

結果是 2。

2

乘積是（3/4）×（−2）＝−3/2。
1/2−（−3/2）＝1/2＋3/2＝2。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

進階16

學生寫 8÷0＝0。這個除法有定義嗎？用除法所要求的乘法關係解釋。

參考答案

沒有定義。若商為 q，就要有 0×q＝8；但任何數 q 都有 0×q＝0。

A÷B＝q 要求 B×q＝A。
沒有任何數乘 0 能得到 8。

準確寫出適用定義或條件。
用已知數值、檢查或具體反例支持結論。