紙筆・推理・練習

不等式組：交集與可行選擇｜教師參考

把每個限制列式，取交集後再用適當整數條件。

40 分鐘 · 七下・正文 79–88 頁・正文第 40–44 課時

教材對照：七下第9章不等式與不等式組・正文第40–44課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。查看下冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

學生課堂頁在研習室安排題單

課堂路線課堂環節

4′先備檢查
5′短探究／概念示範
8′示範與帶做
15′獨立練習
5′訂正
3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

18 分鐘 tariffs 探究：A＝2n、B＝10＋n，至少 8 次、預算 25 元。預測 n＝9、14 時哪方案適用（3 分）。計算並記錄費用及可行性，再紙上解各方案預算與最低次數限制（7 分）。單價及最低需求不變，只把預算改為 15 元，檢查兩個交集是否仍存在（5 分）。以精確整數端點說明「較便宜」與「可行」不同（3 分），既有控制支援這些數值。

整理關鍵概念

把每個限制列式，取交集後再用適當整數條件。

開啟原章節開啟互動探究

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

普通班用首個指定例作5分鐘概念示範；進階班按完整18分鐘探究，先寫預測再核對。

教師示範1

社團付固定 5 元，每次另付 2 元，預算最多 27 元，至少需 3 次。設 x 為整數次數，列限制並求全部可行次數。

「且」表示條件同時成立。
先分別標各限制，再找重疊。
保留開閉端點，只在情境要求時加上整數限制。

費用給 $2x+5\leq27$ ，需求給 $x\geq3$ 。
費用限制為 $x\leq11$ ，交集是 $3\leq x\leq11$ 。
3 至 11 的每個整數都可行，兩個極端次數都符合預算。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}x>-1\\x\leq4\end{cases}

第一條件保留 −1 的 ____ 方，該端點為空心。
第二條件保留 4 及其 ____ 方，該端點為實心。
完成公共部分 $-1\ \square\ x\ \square\ 4$ 並畫出。

依已知條件及所標刻度作答。

x>−1 排除 −1 並向右。
x≤4 包含 4 並向左。
只有重疊部分同時符合，保留下開上閉端點。

逐條解原不等式，只在除以負數時反向。
取公共部分： $-1<x\leq 4$ 。
把每個包含的邊界代回原不等式核對。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備3

「x 最多為 7」表示哪項？

$x\geq7$
$x<7$
$x\leq7$

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

最多允許 7，排除更大的值。
因此 x≤7。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

$2<x\leq5$ 包含 2 嗎？

包含；兩端總會包含。
不包含；下界是嚴格不等號。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

代入 2 得 2<2，不成立。
下端點使用空心點。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}3x-2>4\\2x+1\leq11\end{cases}

依已知條件及所標刻度作答。

「且」表示條件同時成立。
先分別標各限制，再找重疊。
保留開閉端點，只在情境要求時加上整數限制。

第一式得 $x>2$ ，第二式得 $x\leq5$ 。
兩式同時成立於 $2<x\leq5$ 。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習6

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}x>4\\x\leq2\end{cases}

「且」表示條件同時成立。
先分別標各限制，再找重疊。
保留開閉端點，只在情境要求時加上整數限制。

一式要求 x 大於 4，另一式要求最多為 2。
沒有實數同時符合，解集為空。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

筆記簿每本 3 元，另一次付包裝費 2 元，預算 20 元，至少買一本。設 x 為本數，求全部可行本數。

「且」表示條件同時成立。
先分別標各限制，再找重疊。
保留開閉端點，只在情境要求時加上整數限制。

限制為 $3x+2\leq20$ 、 $x\geq1$ 。
費用給 x≤6；整數本數為 1、2、3、4、5、6。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}x\geq3\\x\leq3\end{cases}

「且」表示條件同時成立。
先分別標各限制，再找重疊。
保留開閉端點，只在情境要求時加上整數限制。

該數至少為 3，且最多為 3。
只有 x＝3 同時符合；兩式都包含端點。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

列出 $\frac{5}{2}<x<6$ 的整數解。

\begin{cases}x>5/2\\x<6\end{cases}

「且」表示條件同時成立。
先分別標各限制，再找重疊。
保留開閉端點，只在情境要求時加上整數限制。

逐條解原不等式，只在除以負數時反向。
取公共部分： $\frac{5}{2}<x<6$ 。
再用題目整數限制，核對最小及最大可行整數。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

A 費用為 2n 元，B 為 10＋n 元。n＝14，預算 25 元，哪項可行？

只有 B：24 元；A 需 28 元。
兩者都可行，因 B 較便宜。
只有 A。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

A 需 28 元，超過 25。
B 需 24 元，在預算內。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}x\geq1\\x>-2\end{cases}

「且」表示條件同時成立。
先分別標各限制，再找重疊。
保留開閉端點，只在情境要求時加上整數限制。

逐條解原不等式，只在除以負數時反向。
取公共部分： $x\geq1$ 。
把每個包含的邊界代回原不等式核對。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

商品成本 80 元，設售價為 x 元。利潤至少須為成本的 15%，列不等式求最低售價。

兩邊使用相同運算，集中未知數項及常數。
判斷所除係數是正還是負。
只在乘除負數時反向，再核對嚴格或包含端點。

利潤除以成本給 $\frac{x-80}{80}\geq\frac{15}{100}$ 。
乘正數 80 得 $x-80\geq12$ ，故 $x\geq92$ 。
最低售價是 92 元。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

容器容量 11 L，原有 3 L，每整瓶加入 2 L。設 x 為非負整數瓶數，求全部不溢出的瓶數。

「且」表示條件同時成立。
先分別標各限制，再找重疊。
保留開閉端點，只在情境要求時加上整數限制。

用 $2x+3\leq11$ 、 $x\geq0$ 。
所以 0≤x≤4，0 至 4 瓶都容得下。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}x<3\\x\geq3\end{cases}

「且」表示條件同時成立。
先分別標各限制，再找重疊。
保留開閉端點，只在情境要求時加上整數限制。

逐條解原不等式，只在除以負數時反向。
取公共部分： $\varnothing$ 。
把每個包含的邊界代回原不等式核對。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

求 $2<x<4$ 的整數解，並解釋為何其實數解集不是單點。

\begin{cases}x>2\\x<4\end{cases}

「且」表示條件同時成立。
先分別標各限制，再找重疊。
保留開閉端點，只在情境要求時加上整數限制。

嚴格介乎 2、4 的整數只有 3。
2.5、3.5 等實數也符合，所以實數區間不只有一點。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

有 29 件玩具、x 名兒童。每人 3 件至少餘 8 件；每人 5 件會欠 1 至 4 件（包括兩端）。求正整數兒童人數。

「且」表示條件同時成立。
先分別標各限制，再找重疊。
保留開閉端點，只在情境要求時加上整數限制。

三限制為 $29-3x\geq8$ 、 $5x-29\geq1$ 、 $5x-29\leq4$ 。
得到 $x\leq7$ 及 $6\leq x\leq\frac{33}{5}$ 。
唯一正整數是 6；每人 3 件餘 11 件，每人 5 件欠 1 件。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

備課與評量說明

先備要求

解一次不等式、標開閉端點，分清實數值與整件數量。

觀察學生作答

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

全部參考答案

教師示範1

社團付固定 5 元，每次另付 2 元，預算最多 27 元，至少需 3 次。設 x 為整數次數，列限制並求全部可行次數。

參考答案

$3\leq x\leq11$ ， $x\in\mathbb{Z}$ 。

3\leq x\leq 11

費用給 $2x+5\leq27$ ，需求給 $x\geq3$ 。
費用限制為 $x\leq11$ ，交集是 $3\leq x\leq11$ 。
3 至 11 的每個整數都可行，兩個極端次數都符合預算。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}x>-1\\x\leq4\end{cases}

第一條件保留 −1 的 ____ 方，該端點為空心。
第二條件保留 4 及其 ____ 方，該端點為實心。
完成公共部分 $-1\ \square\ x\ \square\ 4$ 並畫出。

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

$-1<x\leq 4$ 。

-1<x\leq 4

逐條解原不等式，只在除以負數時反向。
取公共部分： $-1<x\leq 4$ 。
把每個包含的邊界代回原不等式核對。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

依已知條件及所標刻度作答。

先備3

「x 最多為 7」表示哪項？

$x\geq7$
$x<7$
$x\leq7$

參考答案

$x\leq7$

最多允許 7，排除更大的值。
因此 x≤7。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

$2<x\leq5$ 包含 2 嗎？

包含；兩端總會包含。
不包含；下界是嚴格不等號。

參考答案

不包含；下界是嚴格不等號。

代入 2 得 2<2，不成立。
下端點使用空心點。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}3x-2>4\\2x+1\leq11\end{cases}

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

$2<x\leq 5$ 。

2<x\leq 5

第一式得 $x>2$ ，第二式得 $x\leq5$ 。
兩式同時成立於 $2<x\leq5$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

依已知條件及所標刻度作答。

獨立練習6

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}x>4\\x\leq2\end{cases}

參考答案

$\varnothing$ 。

\varnothing

一式要求 x 大於 4，另一式要求最多為 2。
沒有實數同時符合，解集為空。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

筆記簿每本 3 元，另一次付包裝費 2 元，預算 20 元，至少買一本。設 x 為本數，求全部可行本數。

參考答案

$1\leq x\leq6$ ， $x\in\mathbb{Z}$ 。

1\leq x\leq 6

限制為 $3x+2\leq20$ 、 $x\geq1$ 。
費用給 x≤6；整數本數為 1、2、3、4、5、6。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}x\geq3\\x\leq3\end{cases}

參考答案

$x=3$ 。

x=3

該數至少為 3，且最多為 3。
只有 x＝3 同時符合；兩式都包含端點。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

列出 $\frac{5}{2}<x<6$ 的整數解。

\begin{cases}x>5/2\\x<6\end{cases}

參考答案

$3\leq x\leq5$ ， $x\in\mathbb{Z}$ 。

\frac{5}{2}<x<6

逐條解原不等式，只在除以負數時反向。
取公共部分： $\frac{5}{2}<x<6$ 。
再用題目整數限制，核對最小及最大可行整數。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

A 費用為 2n 元，B 為 10＋n 元。n＝14，預算 25 元，哪項可行？

只有 B：24 元；A 需 28 元。
兩者都可行，因 B 較便宜。
只有 A。

參考答案

只有 B：24 元；A 需 28 元。

A 需 28 元，超過 25。
B 需 24 元，在預算內。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}x\geq1\\x>-2\end{cases}

參考答案

$x\geq1$ 。

x\geq1

逐條解原不等式，只在除以負數時反向。
取公共部分： $x\geq1$ 。
把每個包含的邊界代回原不等式核對。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

商品成本 80 元，設售價為 x 元。利潤至少須為成本的 15%，列不等式求最低售價。

參考答案

$x\geq92$ 。

x\geq92

利潤除以成本給 $\frac{x-80}{80}\geq\frac{15}{100}$ 。
乘正數 80 得 $x-80\geq12$ ，故 $x\geq92$ 。
最低售價是 92 元。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

容器容量 11 L，原有 3 L，每整瓶加入 2 L。設 x 為非負整數瓶數，求全部不溢出的瓶數。

參考答案

$0\leq x\leq4$ ， $x\in\mathbb{Z}$ 。

0\leq x\leq 4

用 $2x+3\leq11$ 、 $x\geq0$ 。
所以 0≤x≤4，0 至 4 瓶都容得下。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}x<3\\x\geq3\end{cases}

參考答案

$\varnothing$ 。

\varnothing

逐條解原不等式，只在除以負數時反向。
取公共部分： $\varnothing$ 。
把每個包含的邊界代回原不等式核對。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

求 $2<x<4$ 的整數解，並解釋為何其實數解集不是單點。

\begin{cases}x>2\\x<4\end{cases}

參考答案

$x=3$ ， $x\in\mathbb{Z}$ 。

2<x<4

嚴格介乎 2、4 的整數只有 3。
2.5、3.5 等實數也符合，所以實數區間不只有一點。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

有 29 件玩具、x 名兒童。每人 3 件至少餘 8 件；每人 5 件會欠 1 至 4 件（包括兩端）。求正整數兒童人數。

參考答案

$x=6$ ， $x\in\mathbb{Z}$ 。

6\leq x\leq \frac{33}{5}

三限制為 $29-3x\geq8$ 、 $5x-29\geq1$ 、 $5x-29\leq4$ 。
得到 $x\leq7$ 及 $6\leq x\leq\frac{33}{5}$ 。
唯一正整數是 6；每人 3 件餘 11 件，每人 5 件欠 1 件。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

列印版本

教材對照與編寫

對應教材教學後使用的 40 分鐘原創核心鞏固，並非代替每節新授課；來源對照只限已提供正文。

大湾区初中数学三维课堂（七年级下册）正文.pdf

七下・正文 79–88 頁・正文第 40–44 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

不等式組：交集與可行選擇

七下・正文 79–88 頁・正文第 40–44 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

社團付固定 5 元，每次另付 2 元，預算最多 27 元，至少需 3 次。設 x 為整數次數，列限制並求全部可行次數。

帶做2

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}x>-1\\x\leq4\end{cases}

第一條件保留 −1 的 ____ 方，該端點為空心。
第二條件保留 4 及其 ____ 方，該端點為實心。
完成公共部分 $-1\ \square\ x\ \square\ 4$ 並畫出。

依已知條件及所標刻度作答。

先備3

「x 最多為 7」表示哪項？

$x\geq7$
$x<7$
$x\leq7$

先備4

$2<x\leq5$ 包含 2 嗎？

包含；兩端總會包含。
不包含；下界是嚴格不等號。

不等式組：交集與可行選擇

七下・正文 79–88 頁・正文第 40–44 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}3x-2>4\\2x+1\leq11\end{cases}

依已知條件及所標刻度作答。

獨立練習6

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}x>4\\x\leq2\end{cases}

獨立練習7

筆記簿每本 3 元，另一次付包裝費 2 元，預算 20 元，至少買一本。設 x 為本數，求全部可行本數。

獨立練習8

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}x\geq3\\x\leq3\end{cases}

離堂題9

列出 $\frac{5}{2}<x<6$ 的整數解。

\begin{cases}x>5/2\\x<6\end{cases}

離堂題10

A 費用為 2n 元，B 為 10＋n 元。n＝14，預算 25 元，哪項可行？

只有 B：24 元；A 需 28 元。
兩者都可行，因 B 較便宜。
只有 A。

不等式組：交集與可行選擇 — 補練

七下・正文 79–88 頁・正文第 40–44 課時

補練／家課11

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}x\geq1\\x>-2\end{cases}

補練／家課12

商品成本 80 元，設售價為 x 元。利潤至少須為成本的 15%，列不等式求最低售價。

補練／家課13

容器容量 11 L，原有 3 L，每整瓶加入 2 L。設 x 為非負整數瓶數，求全部不溢出的瓶數。

補練／家課14

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}x<3\\x\geq3\end{cases}

進階15

求 $2<x<4$ 的整數解，並解釋為何其實數解集不是單點。

\begin{cases}x>2\\x<4\end{cases}

進階16

有 29 件玩具、x 名兒童。每人 3 件至少餘 8 件；每人 5 件會欠 1 至 4 件（包括兩端）。求正整數兒童人數。

不等式組：交集與可行選擇 — 教師解答

七下・正文 79–88 頁・正文第 40–44 課時

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

普通班：先備4、短探究5、示範帶做8、獨立15、訂正5、離堂3分鐘。進階班：探究18、整理4、精選練習13、離堂5分鐘。

先備：解一次不等式、標開閉端點，分清實數值與整件數量。

普通班取首個指定例作5分鐘概念示範；進階班完成整個探究。

探究與討論：18 分鐘 tariffs 探究：A＝2n、B＝10＋n，至少 8 次、預算 25 元。預測 n＝9、14 時哪方案適用（3 分）。計算並記錄費用及可行性，再紙上解各方案預算與最低次數限制（7 分）。單價及最低需求不變，只把預算改為 15 元，檢查兩個交集是否仍存在（5 分）。以精確整數端點說明「較便宜」與「可行」不同（3 分），既有控制支援這些數值。

教師示範1

社團付固定 5 元，每次另付 2 元，預算最多 27 元，至少需 3 次。設 x 為整數次數，列限制並求全部可行次數。

參考答案

$3\leq x\leq11$ ， $x\in\mathbb{Z}$ 。

3\leq x\leq 11

費用給 $2x+5\leq27$ ，需求給 $x\geq3$ 。
費用限制為 $x\leq11$ ，交集是 $3\leq x\leq11$ 。
3 至 11 的每個整數都可行，兩個極端次數都符合預算。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}x>-1\\x\leq4\end{cases}

第一條件保留 −1 的 ____ 方，該端點為空心。
第二條件保留 4 及其 ____ 方，該端點為實心。
完成公共部分 $-1\ \square\ x\ \square\ 4$ 並畫出。

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

$-1<x\leq 4$ 。

-1<x\leq 4

逐條解原不等式，只在除以負數時反向。
取公共部分： $-1<x\leq 4$ 。
把每個包含的邊界代回原不等式核對。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

依已知條件及所標刻度作答。

先備3

「x 最多為 7」表示哪項？

$x\geq7$
$x<7$
$x\leq7$

參考答案

$x\leq7$

最多允許 7，排除更大的值。
因此 x≤7。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

$2<x\leq5$ 包含 2 嗎？

包含；兩端總會包含。
不包含；下界是嚴格不等號。

參考答案

不包含；下界是嚴格不等號。

代入 2 得 2<2，不成立。
下端點使用空心點。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}3x-2>4\\2x+1\leq11\end{cases}

依已知條件及所標刻度作答。

參考答案

$2<x\leq 5$ 。

2<x\leq 5

第一式得 $x>2$ ，第二式得 $x\leq5$ 。
兩式同時成立於 $2<x\leq5$ 。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

依已知條件及所標刻度作答。

獨立練習6

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}x>4\\x\leq2\end{cases}

參考答案

$\varnothing$ 。

\varnothing

一式要求 x 大於 4，另一式要求最多為 2。
沒有實數同時符合，解集為空。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

筆記簿每本 3 元，另一次付包裝費 2 元，預算 20 元，至少買一本。設 x 為本數，求全部可行本數。

參考答案

$1\leq x\leq6$ ， $x\in\mathbb{Z}$ 。

1\leq x\leq 6

限制為 $3x+2\leq20$ 、 $x\geq1$ 。
費用給 x≤6；整數本數為 1、2、3、4、5、6。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}x\geq3\\x\leq3\end{cases}

參考答案

$x=3$ 。

x=3

該數至少為 3，且最多為 3。
只有 x＝3 同時符合；兩式都包含端點。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

列出 $\frac{5}{2}<x<6$ 的整數解。

\begin{cases}x>5/2\\x<6\end{cases}

參考答案

$3\leq x\leq5$ ， $x\in\mathbb{Z}$ 。

\frac{5}{2}<x<6

逐條解原不等式，只在除以負數時反向。
取公共部分： $\frac{5}{2}<x<6$ 。
再用題目整數限制，核對最小及最大可行整數。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

A 費用為 2n 元，B 為 10＋n 元。n＝14，預算 25 元，哪項可行？

只有 B：24 元；A 需 28 元。
兩者都可行，因 B 較便宜。
只有 A。

參考答案

只有 B：24 元；A 需 28 元。

A 需 28 元，超過 25。
B 需 24 元，在預算內。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}x\geq1\\x>-2\end{cases}

參考答案

$x\geq1$ 。

x\geq1

逐條解原不等式，只在除以負數時反向。
取公共部分： $x\geq1$ 。
把每個包含的邊界代回原不等式核對。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

商品成本 80 元，設售價為 x 元。利潤至少須為成本的 15%，列不等式求最低售價。

參考答案

$x\geq92$ 。

x\geq92

利潤除以成本給 $\frac{x-80}{80}\geq\frac{15}{100}$ 。
乘正數 80 得 $x-80\geq12$ ，故 $x\geq92$ 。
最低售價是 92 元。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

容器容量 11 L，原有 3 L，每整瓶加入 2 L。設 x 為非負整數瓶數，求全部不溢出的瓶數。

參考答案

$0\leq x\leq4$ ， $x\in\mathbb{Z}$ 。

0\leq x\leq 4

用 $2x+3\leq11$ 、 $x\geq0$ 。
所以 0≤x≤4，0 至 4 瓶都容得下。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

解不等式組，各條件須同時成立。

\begin{cases}x<3\\x\geq3\end{cases}

參考答案

$\varnothing$ 。

\varnothing

逐條解原不等式，只在除以負數時反向。
取公共部分： $\varnothing$ 。
把每個包含的邊界代回原不等式核對。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

求 $2<x<4$ 的整數解，並解釋為何其實數解集不是單點。

\begin{cases}x>2\\x<4\end{cases}

參考答案

$x=3$ ， $x\in\mathbb{Z}$ 。

2<x<4

嚴格介乎 2、4 的整數只有 3。
2.5、3.5 等實數也符合，所以實數區間不只有一點。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

有 29 件玩具、x 名兒童。每人 3 件至少餘 8 件；每人 5 件會欠 1 至 4 件（包括兩端）。求正整數兒童人數。

參考答案

$x=6$ ， $x\in\mathbb{Z}$ 。

6\leq x\leq \frac{33}{5}

三限制為 $29-3x\geq8$ 、 $5x-29\geq1$ 、 $5x-29\leq4$ 。
得到 $x\leq7$ 及 $6\leq x\leq\frac{33}{5}$ 。
唯一正整數是 6；每人 3 件餘 11 件，每人 5 件欠 1 件。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。