紙筆・推理・練習

角：加減、平分、餘角與補角｜教師參考

依射線次序計算角度，處理度分換算、內角平分及互餘互補關係。

40 分鐘 · 七上・正文 91–100 頁・基訓第 46–50 課時

教材對照：七上・第四章幾何圖形初步

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。查看上冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

學生課堂頁在研習室安排題單

課堂路線課堂環節

4′先備檢查
5′短探究／概念示範
8′示範與帶做
15′獨立練習
5′訂正
3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

固定外側兩條射線，移動內部射線，比較兩個相鄰角與角度和，再把內部射線放在平分位置。

整理關鍵概念

指定射線在全角內部時，才能把相鄰角相加。角平分線給出等角；互餘和為 90°，互補和為 180°。

開啟原章節開啟互動探究

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

教師示範1

OB 在 ∠AOC 內，∠AOB＝35°，∠BOC＝40°。求 ∠AOC，並指出可以相加的條件。

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

留意「在角內」的位置條件。
兩部分以 OB 相接。
把 35 與 40 相加。

內部射線把全角分成題目所述兩個相鄰部分。
∠AOC＝35°＋40°＝75°。

檢核清單

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

帶做2

OC 是 ∠AOB＝86° 的內角平分線。求 ∠AOC，並補上等角關係。

∠AOC＝____。
2×∠AOC＝____°。
∠AOC＝____°。

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

只有內部射線仍不足夠，須使用平分條件。
兩半相等。
把 86 除以 2。

OC 是平分線，所以 ∠AOC＝∠COB。
兩個等角合共 86°，所以每個是 43°。

檢核清單

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

先備3

求 30° 的餘角。

先辨認所求關係，再計算。
使用總角度 90°。
用總角度減去已知角度。

互餘兩角和為 90°。
90−30＝60°。

檢核清單

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

先備4

已知 1°＝60′，把 2° 換算為角分。

2\times60

這是角度單位，不是時間分鐘。
使用換算因數 60。
把 2 乘 60。

每一度有 60 角分。
2×60＝120 角分。

檢核清單

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

獨立練習5

OB 在 ∠AOC 內，∠AOB＝28°，∠BOC＝47°。求全角。

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

核對內部射線條件。
兩個已知角組成全角。
把 28 與 47 相加。

使用相鄰角相加關係。
28°＋47°＝75°。

檢核清單

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

獨立練習6

OB 在 ∠AOC 內，∠AOC＝110°，∠AOB＝35°。求 ∠BOC。

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

先辨認全角 110°。
減去已知部分。
計算 110−35。

全角等於 ∠AOB＋∠BOC。
∠BOC＝110°−35°＝75°。

檢核清單

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

獨立練習7

求 118° 的補角。

先辨認所求關係，再計算。
使用總角度 180°。
用總角度減去已知角度。

互補兩角和為 180°。
180−118＝62°。

檢核清單

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

獨立練習8

一條內部射線平分 70° 的角，求其中一半的角度。

先辨認所求關係，再計算。
兩部分必須相等。
把已知角度減半。

角平分線把全角分成兩個相等的角。
70÷2＝35°。

檢核清單

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

離堂題9

求 42° 的餘角。

先辨認所求關係，再計算。
使用總角度 90°。
用總角度減去已知角度。

互餘兩角和為 90°。
90−42＝48°。

檢核清單

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

離堂題10

學生說 60° 與 120° 互餘。改正關係並說明理由。

按定義判斷，不只看符號外觀。
核對帶符號的數值或指定條件。
用計算或具體例子支持結論。

60°＋120°＝180°。
和為 180° 是互補關係。

檢核清單

準確寫出適用定義或條件。
用已知數值、檢查或具體反例支持結論。

補練／家課11

求 67° 的餘角。

先辨認所求關係，再計算。
使用總角度 90°。
用總角度減去已知角度。

互餘兩角和為 90°。
90−67＝23°。

檢核清單

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

補練／家課12

求 93° 的補角。

先辨認所求關係，再計算。
使用總角度 180°。
用總角度減去已知角度。

互補兩角和為 180°。
180−93＝87°。

檢核清單

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

補練／家課13

計算 30°45′＋25°30′，正確處理角分進位。

一度包含 60 角分。
75 角分是一度加 15 角分。
把進位的一度加入角度和。

角分：45′＋30′＝75′＝1°15′。
角度：30°＋25°＋1°＝56°，餘下 15′。

檢核清單

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

補練／家課14

ON 指向正北，OE 指向正東。OP 的方向是北偏東 35°，即從正北向正東轉 35°。求從正東轉向 OP 的夾角。

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

先辨認已知 35° 是從哪個方向量起。
正北至正東是 90°，不是 180°。
從正北至正東的角減去正北至 OP 的角。

正北與正東相差 90°，OP 在兩個方向之間。
從正東轉向 OP 的夾角為 90°−35°＝55°。

檢核清單

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

進階15

OA、OC 是反向射線，OB 在兩者之間，∠AOB＝80°，∠BOC＝100°。OD、OE 分別是兩角的內角平分線，求 ∠DOE。

80/2+100/2

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

先找靠近 OB 的兩個半角。
兩個半角是 40° 與 50°。
OB 在 OD、OE 之間，所以兩個半角相加。

∠DOB＝80°/2＝40°，∠BOE＝100°/2＝50°。
B 在 D、E 兩射線之間，所以 ∠DOE＝40°＋50°＝90°。

檢核清單

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

進階16

角 x 的補角是其餘角的三倍，得到 180−x＝3（90−x）。求 x，並檢查兩個相關角。

180-x=3(90-x)

補角是 180−x，餘角是 90−x。
括號內兩項都乘 3。
整理後的方程是 2x＝90。

展開：180−x＝270−3x。
兩邊同加 3x、同減 180，得 2x＝90，所以 x＝45。
檢查餘角為正，且補角為其三倍。

檢核清單

以原方程為準，每項運算都作用於等式兩邊。
求出解，並代回原方程或情境檢查。

備課與評量說明

先備要求

能辨認角的頂點及兩邊，並懂有理數運算及減半。

觀察學生作答

以先備題判斷支援需要，投影示範及帶做，再讓學生紙筆練習。按需要選補練或延伸；此展示不保存學生答案。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

全部參考答案

教師示範1

OB 在 ∠AOC 內，∠AOB＝35°，∠BOC＝40°。求 ∠AOC，並指出可以相加的條件。

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

參考答案

75°。

內部射線把全角分成題目所述兩個相鄰部分。
∠AOC＝35°＋40°＝75°。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

帶做2

OC 是 ∠AOB＝86° 的內角平分線。求 ∠AOC，並補上等角關係。

∠AOC＝____。
2×∠AOC＝____°。
∠AOC＝____°。

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

參考答案

43°。

OC 是平分線，所以 ∠AOC＝∠COB。
兩個等角合共 86°，所以每個是 43°。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

先備3

求 30° 的餘角。

參考答案

60°。

互餘兩角和為 90°。
90−30＝60°。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

先備4

已知 1°＝60′，把 2° 換算為角分。

2\times60

參考答案

120 角分，即 120′。

120

每一度有 60 角分。
2×60＝120 角分。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

獨立練習5

OB 在 ∠AOC 內，∠AOB＝28°，∠BOC＝47°。求全角。

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

參考答案

75°。

使用相鄰角相加關係。
28°＋47°＝75°。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

獨立練習6

OB 在 ∠AOC 內，∠AOC＝110°，∠AOB＝35°。求 ∠BOC。

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

參考答案

75°。

全角等於 ∠AOB＋∠BOC。
∠BOC＝110°−35°＝75°。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

獨立練習7

求 118° 的補角。

參考答案

62°。

互補兩角和為 180°。
180−118＝62°。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

獨立練習8

一條內部射線平分 70° 的角，求其中一半的角度。

參考答案

35°。

角平分線把全角分成兩個相等的角。
70÷2＝35°。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

離堂題9

求 42° 的餘角。

參考答案

48°。

互餘兩角和為 90°。
90−42＝48°。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

離堂題10

學生說 60° 與 120° 互餘。改正關係並說明理由。

參考答案

它們互補，因為和是 180°，不是 90°。

60°＋120°＝180°。
和為 180° 是互補關係。

準確寫出適用定義或條件。
用已知數值、檢查或具體反例支持結論。

補練／家課11

求 67° 的餘角。

參考答案

23°。

互餘兩角和為 90°。
90−67＝23°。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

補練／家課12

求 93° 的補角。

參考答案

87°。

互補兩角和為 180°。
180−93＝87°。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

補練／家課13

計算 30°45′＋25°30′，正確處理角分進位。

參考答案

56°15′。

角分：45′＋30′＝75′＝1°15′。
角度：30°＋25°＋1°＝56°，餘下 15′。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

補練／家課14

ON 指向正北，OE 指向正東。OP 的方向是北偏東 35°，即從正北向正東轉 35°。求從正東轉向 OP 的夾角。

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

參考答案

55°。

正北與正東相差 90°，OP 在兩個方向之間。
從正東轉向 OP 的夾角為 90°−35°＝55°。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

進階15

OA、OC 是反向射線，OB 在兩者之間，∠AOB＝80°，∠BOC＝100°。OD、OE 分別是兩角的內角平分線，求 ∠DOE。

80/2+100/2

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

參考答案

90°。

90

∠DOB＝80°/2＝40°，∠BOE＝100°/2＝50°。
B 在 D、E 兩射線之間，所以 ∠DOE＝40°＋50°＝90°。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

進階16

角 x 的補角是其餘角的三倍，得到 180−x＝3（90−x）。求 x，並檢查兩個相關角。

180-x=3(90-x)

參考答案

x＝45°；餘角是 45°，補角是 135°＝3×45°。

x=45

展開：180−x＝270−3x。
兩邊同加 3x、同減 180，得 2x＝90，所以 x＝45。
檢查餘角為正，且補角為其三倍。

以原方程為準，每項運算都作用於等式兩邊。
求出解，並代回原方程或情境檢查。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

列印版本

教材對照與編寫

學過所列教材課時後使用的 40 分鐘原創核心練習；並非取代本章逐課時教學。

大湾区初中数学三维课堂（七年级上册）正文.pdf

七上・正文 91–100 頁・基訓第 46–50 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

角：加減、平分、餘角與補角

七上・正文 91–100 頁・基訓第 46–50 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

OB 在 ∠AOC 內，∠AOB＝35°，∠BOC＝40°。求 ∠AOC，並指出可以相加的條件。

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

帶做2

OC 是 ∠AOB＝86° 的內角平分線。求 ∠AOC，並補上等角關係。

∠AOC＝____。
2×∠AOC＝____°。
∠AOC＝____°。

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

先備3

求 30° 的餘角。

先備4

已知 1°＝60′，把 2° 換算為角分。

2\times60

角：加減、平分、餘角與補角

七上・正文 91–100 頁・基訓第 46–50 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

OB 在 ∠AOC 內，∠AOB＝28°，∠BOC＝47°。求全角。

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

獨立練習6

OB 在 ∠AOC 內，∠AOC＝110°，∠AOB＝35°。求 ∠BOC。

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

獨立練習7

求 118° 的補角。

獨立練習8

一條內部射線平分 70° 的角，求其中一半的角度。

離堂題9

求 42° 的餘角。

離堂題10

學生說 60° 與 120° 互餘。改正關係並說明理由。

角：加減、平分、餘角與補角 — 補練

七上・正文 91–100 頁・基訓第 46–50 課時

補練／家課11

求 67° 的餘角。

補練／家課12

求 93° 的補角。

補練／家課13

計算 30°45′＋25°30′，正確處理角分進位。

補練／家課14

ON 指向正北，OE 指向正東。OP 的方向是北偏東 35°，即從正北向正東轉 35°。求從正東轉向 OP 的夾角。

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

進階15

OA、OC 是反向射線，OB 在兩者之間，∠AOB＝80°，∠BOC＝100°。OD、OE 分別是兩角的內角平分線，求 ∠DOE。

80/2+100/2

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

進階16

角 x 的補角是其餘角的三倍，得到 180−x＝3（90−x）。求 x，並檢查兩個相關角。

180-x=3(90-x)

角：加減、平分、餘角與補角 — 教師解答

七上・正文 91–100 頁・基訓第 46–50 課時

以先備題判斷支援需要，投影示範及帶做，再讓學生紙筆練習。按需要選補練或延伸；此展示不保存學生答案。

教師示範1

OB 在 ∠AOC 內，∠AOB＝35°，∠BOC＝40°。求 ∠AOC，並指出可以相加的條件。

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

參考答案

75°。

內部射線把全角分成題目所述兩個相鄰部分。
∠AOC＝35°＋40°＝75°。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

帶做2

OC 是 ∠AOB＝86° 的內角平分線。求 ∠AOC，並補上等角關係。

∠AOC＝____。
2×∠AOC＝____°。
∠AOC＝____°。

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

參考答案

43°。

OC 是平分線，所以 ∠AOC＝∠COB。
兩個等角合共 86°，所以每個是 43°。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

先備3

求 30° 的餘角。

參考答案

60°。

互餘兩角和為 90°。
90−30＝60°。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

先備4

已知 1°＝60′，把 2° 換算為角分。

2\times60

參考答案

120 角分，即 120′。

120

每一度有 60 角分。
2×60＝120 角分。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

獨立練習5

OB 在 ∠AOC 內，∠AOB＝28°，∠BOC＝47°。求全角。

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

參考答案

75°。

使用相鄰角相加關係。
28°＋47°＝75°。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

獨立練習6

OB 在 ∠AOC 內，∠AOC＝110°，∠AOB＝35°。求 ∠BOC。

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

參考答案

75°。

全角等於 ∠AOB＋∠BOC。
∠BOC＝110°−35°＝75°。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

獨立練習7

求 118° 的補角。

參考答案

62°。

互補兩角和為 180°。
180−118＝62°。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

獨立練習8

一條內部射線平分 70° 的角，求其中一半的角度。

參考答案

35°。

角平分線把全角分成兩個相等的角。
70÷2＝35°。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

離堂題9

求 42° 的餘角。

參考答案

48°。

互餘兩角和為 90°。
90−42＝48°。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

離堂題10

學生說 60° 與 120° 互餘。改正關係並說明理由。

參考答案

它們互補，因為和是 180°，不是 90°。

60°＋120°＝180°。
和為 180° 是互補關係。

準確寫出適用定義或條件。
用已知數值、檢查或具體反例支持結論。

補練／家課11

求 67° 的餘角。

參考答案

23°。

互餘兩角和為 90°。
90−67＝23°。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

補練／家課12

求 93° 的補角。

參考答案

87°。

互補兩角和為 180°。
180−93＝87°。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

補練／家課13

計算 30°45′＋25°30′，正確處理角分進位。

參考答案

56°15′。

角分：45′＋30′＝75′＝1°15′。
角度：30°＋25°＋1°＝56°，餘下 15′。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

補練／家課14

ON 指向正北，OE 指向正東。OP 的方向是北偏東 35°，即從正北向正東轉 35°。求從正東轉向 OP 的夾角。

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

參考答案

55°。

正北與正東相差 90°，OP 在兩個方向之間。
從正東轉向 OP 的夾角為 90°−35°＝55°。

辨認正確角度關係，並保留題目所述的位置條件。
寫出計算，並附上角度單位。

進階15

OA、OC 是反向射線，OB 在兩者之間，∠AOB＝80°，∠BOC＝100°。OD、OE 分別是兩角的內角平分線，求 ∠DOE。

80/2+100/2

角度示意圖：使用已知角度及射線次序。

參考答案

90°。

90

∠DOB＝80°/2＝40°，∠BOE＝100°/2＝50°。
B 在 D、E 兩射線之間，所以 ∠DOE＝40°＋50°＝90°。

每一步都正確使用符號及運算次序規則。
寫出中間計算，求得所列精確結果。

進階16

角 x 的補角是其餘角的三倍，得到 180−x＝3（90−x）。求 x，並檢查兩個相關角。

180-x=3(90-x)

參考答案

x＝45°；餘角是 45°，補角是 135°＝3×45°。

x=45

展開：180−x＝270−3x。
兩邊同加 3x、同減 180，得 2x＝90，所以 x＝45。
檢查餘角為正，且補角為其三倍。

以原方程為準，每項運算都作用於等式兩邊。
求出解，並代回原方程或情境檢查。