x＝4 是下列方程的解嗎？分別計算原方程兩邊作說明。
- 用原方程檢驗解。
- 不要漏掉 ＋2。
- 比較 14 與 14。
- 把候選值代入完整左邊。
- 兩邊都是 14，所以等式成立。
參考答案
是。左邊 3×4＋2＝14，右邊是 14。
檢核清單
- 以原方程為準，每項運算都作用於等式兩邊。
- 求出解，並代回原方程或情境檢查。
- 4′先備檢查
- 5′短探究／概念示範
- 8′示範與帶做
- 15′獨立練習
- 5′訂正
- 3′離堂題
- 18′探究
- 4′整理
- 13′精選練習
- 5′離堂題
觀察・解釋
練習前先想一想
把 x＝4 代入 3x＋2＝14，再只改一邊，觀察同一數值是否仍為新方程的解。
整理關鍵概念
解使原方程兩邊相等。兩邊同加減一個數，或同乘除一個非零數，保留相同解集。
可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。
三本同價簿加一次 2 元包裝費，共 17 元。設每本簿 x 元，列方程並求 x。
- 簿本費用＝____；總額方程：____＝17。
- 同減 2 後：____ x＝____。
- x＝____ 元；檢驗：____。
- 先說明未知量及單位。
- 分開三本價錢與一次固定費。
- 先把等式兩邊都減去 2 元固定費。
- 三本費用是 3x，固定費只加一次：3x＋2＝17。
- 兩邊同減 2，得 3x＝15；同除以 3，得 x＝5。
- 檢驗：3×5＋2＝17。
參考答案
3x＋2＝17，得 x＝5 元。
檢核清單
- 以原方程為準，每項運算都作用於等式兩邊。
- 求出解，並代回原方程或情境檢查。
單獨的 2x＋3 是含未知數的方程嗎？指出缺少的部分。
- 按定義判斷，不只看符號外觀。
- 核對帶符號的數值或指定條件。
- 用計算或具體例子支持結論。
- 式子有字母 x。
- 方程還需要等式，本題沒有等號。
參考答案
不是。它是代數式，沒有等號連接兩邊。
檢核清單
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
按本課「含未知數的等式」定義，7＋5＝12 是方程嗎？說明理由。
- 按定義判斷，不只看符號外觀。
- 核對帶符號的數值或指定條件。
- 用計算或具體例子支持結論。
- 式子有等號，且兩邊相等。
- 式子沒有未知量。
參考答案
它是成立的等式，但沒有未知數，所以不符合本課方程的定義。
檢核清單
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
求解，再代回檢驗。
- 兩邊同做運算，消去 −3。
- 應同加 3，不是減 3。
- 然後同除以 2。
- 兩邊同加 3，得 2x＝10。
- 同除以 2，得 x＝5；檢驗 2×5−3＝7。
參考答案
x＝5。
檢核清單
- 以原方程為準，每項運算都作用於等式兩邊。
- 求出解，並代回原方程或情境檢查。
由 x＋6＝10 出發，學生兩邊同減 6，寫成 x＝4。有沒有保留相同的解？說明理由。
- 按定義判斷，不只看符號外觀。
- 核對帶符號的數值或指定條件。
- 用計算或具體例子支持結論。
- （x＋6）−6＝10−6。
- 化簡得 x＝4。
參考答案
有。兩邊同減一個數，而且兩個方程的解都是 x＝4。
檢核清單
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
由 x/3＝4 出發，學生兩邊同乘 3，得 x＝12。兩個方程等價嗎？
- 按定義判斷，不只看符號外觀。
- 核對帶符號的數值或指定條件。
- 用計算或具體例子支持結論。
- 把完整左邊及右邊都乘 3。
- 左邊成為 x，右邊成為 12。
參考答案
等價。兩邊同乘非零數 3，保留解 x＝12。
檢核清單
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
由 x＋3＝8 出發，學生只在左邊減 3，寫成 x＝8。解釋為何沒有保留原方程。
- 按定義判斷，不只看符號外觀。
- 核對帶符號的數值或指定條件。
- 用計算或具體例子支持結論。
- 合法運算是（x＋3）−3＝8−3。
- 得 x＝5；候選值 x＝8 不符合原方程。
參考答案
右邊也必須減 3，正確應是 x＝5。x＝8 時，原方程左邊是 11，不是 8。
檢核清單
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
一個數加 7 等於 19。設該數為 x，列方程並求出該數。
- 用 x 代表原數。
- 等式比較的是 x＋7 與 19。
- 兩邊同減 7，消去 ＋7。
- 按句意列式：x＋7＝19。
- 兩邊同減 7，得 x＝12；檢驗 12＋7＝19。
參考答案
x＋7＝19，所以 x＝12。
檢核清單
- 以原方程為準，每項運算都作用於等式兩邊。
- 求出解，並代回原方程或情境檢查。
驗證 x＝−2 是否為下列方程的解，寫出原方程兩邊的值。
- 代入完整的候選值 −2。
- 4×（−2）＝−8。
- 把 −7 與原方程右邊比較。
- 保留符號代入 −2：4×（−2）＋1。
- 左邊是 −8＋1＝−7。
參考答案
是：4×（−2）＋1＝−7，與右邊相等。
檢核清單
- 以原方程為準，每項運算都作用於等式兩邊。
- 求出解，並代回原方程或情境檢查。
5x＋2＝17 符合本課方程的定義嗎？指出兩項必要特徵。
- 按定義判斷，不只看符號外觀。
- 核對帶符號的數值或指定條件。
- 用計算或具體例子支持結論。
- 等號連接兩邊式子。
- 左邊有未知數 x。
參考答案
符合；它有等號及未知數 x。
檢核清單
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
由 x−4＝9 出發，兩邊同加 4，得 x＝13。結果等價嗎？
- 按定義判斷，不只看符號外觀。
- 核對帶符號的數值或指定條件。
- 用計算或具體例子支持結論。
- （x−4）＋4＝9＋4。
- 兩個方程的解都是 x＝13。
參考答案
等價；兩邊同加 4，消去左邊的 −4，右邊成為 13。
檢核清單
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
由 −2x＝10 出發，兩邊同除以 −2，解釋為何與 x＝−5 等價。
- 按定義判斷，不只看符號外觀。
- 核對帶符號的數值或指定條件。
- 用計算或具體例子支持結論。
- 左邊係數成為 1。
- 10÷（−2）＝−5，代回原式得 10。
參考答案
−2 不是零；兩邊整體同除以 −2，得相同解 x＝−5。
檢核清單
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
把 x＝3 兩邊乘 0，得到 0＝0。兩個方程的解是否相同？用具體數值檢查。
- 按定義判斷，不只看符號外觀。
- 核對帶符號的數值或指定條件。
- 用計算或具體例子支持結論。
- 原方程只容許 x＝3。
- 新等式對所有 x 都成立，包括 4。
參考答案
不同。例如 x＝4 符合 0＝0，卻不符合 x＝3；乘零會失去原來限制。
檢核清單
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
每個實數 x 都符合 x＋x＝2x 嗎？解釋時不要只試一個數。
- 用字母形式化簡左邊。
- 比較 2x 與 2x。
- 沒有留下對實數 x 的限制。
- 按合併同類項規則，左邊是 2x。
- 兩邊對每個實數值都是同一個式子。
參考答案
是；合併相同的項後，對每個實數 x 都有 2x＝2x。
檢核清單
- 說明兩式對所有實數都相等，不只作數值試驗。
2x＋1＝2x＋4 有解嗎？等式兩邊同作減法，再說明。
- 兩邊未知數的係數相同。
- 兩邊都減去 2x。
- 比較餘下常數 1 與 4。
- 兩邊同減 2x。
- 不論選哪個 x，都不能令 1＝4 成立。
參考答案
無解；兩邊同減 2x 後，會要求 1＝4。
檢核清單
- 推出矛盾並判定無解。
備課與評量說明
先備要求
有理數運算、代值及等號的意義。
觀察學生作答
以先備題判斷支援需要，投影示範及帶做，再讓學生紙筆練習。按需要選補練或延伸；此展示不保存學生答案。
收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。
全部參考答案
x＝4 是下列方程的解嗎？分別計算原方程兩邊作說明。
參考答案
是。左邊 3×4＋2＝14，右邊是 14。
- 把候選值代入完整左邊。
- 兩邊都是 14，所以等式成立。
- 以原方程為準，每項運算都作用於等式兩邊。
- 求出解，並代回原方程或情境檢查。
三本同價簿加一次 2 元包裝費，共 17 元。設每本簿 x 元，列方程並求 x。
- 簿本費用＝____；總額方程：____＝17。
- 同減 2 後：____ x＝____。
- x＝____ 元；檢驗：____。
參考答案
3x＋2＝17，得 x＝5 元。
- 三本費用是 3x，固定費只加一次：3x＋2＝17。
- 兩邊同減 2，得 3x＝15；同除以 3，得 x＝5。
- 檢驗：3×5＋2＝17。
- 以原方程為準，每項運算都作用於等式兩邊。
- 求出解，並代回原方程或情境檢查。
單獨的 2x＋3 是含未知數的方程嗎？指出缺少的部分。
參考答案
不是。它是代數式，沒有等號連接兩邊。
- 式子有字母 x。
- 方程還需要等式，本題沒有等號。
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
按本課「含未知數的等式」定義，7＋5＝12 是方程嗎？說明理由。
參考答案
它是成立的等式，但沒有未知數，所以不符合本課方程的定義。
- 式子有等號，且兩邊相等。
- 式子沒有未知量。
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
求解，再代回檢驗。
參考答案
x＝5。
- 兩邊同加 3，得 2x＝10。
- 同除以 2，得 x＝5；檢驗 2×5−3＝7。
- 以原方程為準，每項運算都作用於等式兩邊。
- 求出解，並代回原方程或情境檢查。
由 x＋6＝10 出發，學生兩邊同減 6，寫成 x＝4。有沒有保留相同的解？說明理由。
參考答案
有。兩邊同減一個數，而且兩個方程的解都是 x＝4。
- （x＋6）−6＝10−6。
- 化簡得 x＝4。
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
由 x/3＝4 出發，學生兩邊同乘 3，得 x＝12。兩個方程等價嗎？
參考答案
等價。兩邊同乘非零數 3，保留解 x＝12。
- 把完整左邊及右邊都乘 3。
- 左邊成為 x，右邊成為 12。
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
由 x＋3＝8 出發，學生只在左邊減 3，寫成 x＝8。解釋為何沒有保留原方程。
參考答案
右邊也必須減 3，正確應是 x＝5。x＝8 時，原方程左邊是 11，不是 8。
- 合法運算是（x＋3）−3＝8−3。
- 得 x＝5；候選值 x＝8 不符合原方程。
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
一個數加 7 等於 19。設該數為 x，列方程並求出該數。
參考答案
x＋7＝19，所以 x＝12。
- 按句意列式：x＋7＝19。
- 兩邊同減 7，得 x＝12；檢驗 12＋7＝19。
- 以原方程為準，每項運算都作用於等式兩邊。
- 求出解，並代回原方程或情境檢查。
驗證 x＝−2 是否為下列方程的解，寫出原方程兩邊的值。
參考答案
是：4×（−2）＋1＝−7，與右邊相等。
- 保留符號代入 −2：4×（−2）＋1。
- 左邊是 −8＋1＝−7。
- 以原方程為準，每項運算都作用於等式兩邊。
- 求出解，並代回原方程或情境檢查。
5x＋2＝17 符合本課方程的定義嗎？指出兩項必要特徵。
參考答案
符合；它有等號及未知數 x。
- 等號連接兩邊式子。
- 左邊有未知數 x。
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
由 x−4＝9 出發，兩邊同加 4，得 x＝13。結果等價嗎？
參考答案
等價；兩邊同加 4，消去左邊的 −4，右邊成為 13。
- （x−4）＋4＝9＋4。
- 兩個方程的解都是 x＝13。
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
由 −2x＝10 出發，兩邊同除以 −2，解釋為何與 x＝−5 等價。
參考答案
−2 不是零；兩邊整體同除以 −2，得相同解 x＝−5。
- 左邊係數成為 1。
- 10÷（−2）＝−5，代回原式得 10。
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
把 x＝3 兩邊乘 0，得到 0＝0。兩個方程的解是否相同？用具體數值檢查。
參考答案
不同。例如 x＝4 符合 0＝0，卻不符合 x＝3；乘零會失去原來限制。
- 原方程只容許 x＝3。
- 新等式對所有 x 都成立，包括 4。
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
每個實數 x 都符合 x＋x＝2x 嗎？解釋時不要只試一個數。
參考答案
是；合併相同的項後，對每個實數 x 都有 2x＝2x。
- 按合併同類項規則，左邊是 2x。
- 兩邊對每個實數值都是同一個式子。
- 說明兩式對所有實數都相等，不只作數值試驗。
2x＋1＝2x＋4 有解嗎？等式兩邊同作減法，再說明。
參考答案
無解；兩邊同減 2x 後，會要求 1＝4。
- 兩邊同減 2x。
- 不論選哪個 x，都不能令 1＝4 成立。
- 推出矛盾並判定無解。
課堂用紙
七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。
學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。
教材對照與編寫
學過所列教材課時後使用的 40 分鐘原創核心練習；並非取代本章逐課時教學。
大湾区初中数学三维课堂（七年级上册）正文.pdf
七上・正文 55–58 頁・基訓第 28–29 課時
題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。
方程：意義、解與等式性質
七上・正文 55–58 頁・基訓第 28–29 課時 · 1/2
姓名：__________ 班別：______ 日期：__________
x＝4 是下列方程的解嗎？分別計算原方程兩邊作說明。
三本同價簿加一次 2 元包裝費，共 17 元。設每本簿 x 元，列方程並求 x。
- 簿本費用＝____；總額方程：____＝17。
- 同減 2 後：____ x＝____。
- x＝____ 元；檢驗：____。
單獨的 2x＋3 是含未知數的方程嗎？指出缺少的部分。
按本課「含未知數的等式」定義，7＋5＝12 是方程嗎？說明理由。
方程：意義、解與等式性質
七上・正文 55–58 頁・基訓第 28–29 課時 · 2/2
姓名：__________ 班別：______ 日期：__________
求解，再代回檢驗。
由 x＋6＝10 出發，學生兩邊同減 6，寫成 x＝4。有沒有保留相同的解？說明理由。
由 x/3＝4 出發，學生兩邊同乘 3，得 x＝12。兩個方程等價嗎？
由 x＋3＝8 出發，學生只在左邊減 3，寫成 x＝8。解釋為何沒有保留原方程。
一個數加 7 等於 19。設該數為 x，列方程並求出該數。
驗證 x＝−2 是否為下列方程的解，寫出原方程兩邊的值。
方程：意義、解與等式性質 — 補練
七上・正文 55–58 頁・基訓第 28–29 課時
5x＋2＝17 符合本課方程的定義嗎？指出兩項必要特徵。
由 x−4＝9 出發，兩邊同加 4，得 x＝13。結果等價嗎？
由 −2x＝10 出發，兩邊同除以 −2，解釋為何與 x＝−5 等價。
把 x＝3 兩邊乘 0，得到 0＝0。兩個方程的解是否相同？用具體數值檢查。
每個實數 x 都符合 x＋x＝2x 嗎？解釋時不要只試一個數。
2x＋1＝2x＋4 有解嗎？等式兩邊同作減法，再說明。
方程：意義、解與等式性質 — 教師解答
七上・正文 55–58 頁・基訓第 28–29 課時
以先備題判斷支援需要，投影示範及帶做，再讓學生紙筆練習。按需要選補練或延伸；此展示不保存學生答案。
x＝4 是下列方程的解嗎？分別計算原方程兩邊作說明。
參考答案
是。左邊 3×4＋2＝14，右邊是 14。
- 把候選值代入完整左邊。
- 兩邊都是 14，所以等式成立。
- 以原方程為準，每項運算都作用於等式兩邊。
- 求出解，並代回原方程或情境檢查。
三本同價簿加一次 2 元包裝費，共 17 元。設每本簿 x 元，列方程並求 x。
- 簿本費用＝____；總額方程：____＝17。
- 同減 2 後：____ x＝____。
- x＝____ 元；檢驗：____。
參考答案
3x＋2＝17，得 x＝5 元。
- 三本費用是 3x，固定費只加一次：3x＋2＝17。
- 兩邊同減 2，得 3x＝15；同除以 3，得 x＝5。
- 檢驗：3×5＋2＝17。
- 以原方程為準，每項運算都作用於等式兩邊。
- 求出解，並代回原方程或情境檢查。
單獨的 2x＋3 是含未知數的方程嗎？指出缺少的部分。
參考答案
不是。它是代數式，沒有等號連接兩邊。
- 式子有字母 x。
- 方程還需要等式，本題沒有等號。
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
按本課「含未知數的等式」定義，7＋5＝12 是方程嗎？說明理由。
參考答案
它是成立的等式，但沒有未知數，所以不符合本課方程的定義。
- 式子有等號，且兩邊相等。
- 式子沒有未知量。
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
求解，再代回檢驗。
參考答案
x＝5。
- 兩邊同加 3，得 2x＝10。
- 同除以 2，得 x＝5；檢驗 2×5−3＝7。
- 以原方程為準，每項運算都作用於等式兩邊。
- 求出解，並代回原方程或情境檢查。
由 x＋6＝10 出發，學生兩邊同減 6，寫成 x＝4。有沒有保留相同的解？說明理由。
參考答案
有。兩邊同減一個數，而且兩個方程的解都是 x＝4。
- （x＋6）−6＝10−6。
- 化簡得 x＝4。
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
由 x/3＝4 出發，學生兩邊同乘 3，得 x＝12。兩個方程等價嗎？
參考答案
等價。兩邊同乘非零數 3，保留解 x＝12。
- 把完整左邊及右邊都乘 3。
- 左邊成為 x，右邊成為 12。
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
由 x＋3＝8 出發，學生只在左邊減 3，寫成 x＝8。解釋為何沒有保留原方程。
參考答案
右邊也必須減 3，正確應是 x＝5。x＝8 時，原方程左邊是 11，不是 8。
- 合法運算是（x＋3）−3＝8−3。
- 得 x＝5；候選值 x＝8 不符合原方程。
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
一個數加 7 等於 19。設該數為 x，列方程並求出該數。
參考答案
x＋7＝19，所以 x＝12。
- 按句意列式：x＋7＝19。
- 兩邊同減 7，得 x＝12；檢驗 12＋7＝19。
- 以原方程為準，每項運算都作用於等式兩邊。
- 求出解，並代回原方程或情境檢查。
驗證 x＝−2 是否為下列方程的解，寫出原方程兩邊的值。
參考答案
是：4×（−2）＋1＝−7，與右邊相等。
- 保留符號代入 −2：4×（−2）＋1。
- 左邊是 −8＋1＝−7。
- 以原方程為準，每項運算都作用於等式兩邊。
- 求出解，並代回原方程或情境檢查。
5x＋2＝17 符合本課方程的定義嗎？指出兩項必要特徵。
參考答案
符合；它有等號及未知數 x。
- 等號連接兩邊式子。
- 左邊有未知數 x。
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
由 x−4＝9 出發，兩邊同加 4，得 x＝13。結果等價嗎？
參考答案
等價；兩邊同加 4，消去左邊的 −4，右邊成為 13。
- （x−4）＋4＝9＋4。
- 兩個方程的解都是 x＝13。
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
由 −2x＝10 出發，兩邊同除以 −2，解釋為何與 x＝−5 等價。
參考答案
−2 不是零；兩邊整體同除以 −2，得相同解 x＝−5。
- 左邊係數成為 1。
- 10÷（−2）＝−5，代回原式得 10。
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
把 x＝3 兩邊乘 0，得到 0＝0。兩個方程的解是否相同？用具體數值檢查。
參考答案
不同。例如 x＝4 符合 0＝0，卻不符合 x＝3；乘零會失去原來限制。
- 原方程只容許 x＝3。
- 新等式對所有 x 都成立，包括 4。
- 準確寫出適用定義或條件。
- 用已知數值、檢查或具體反例支持結論。
每個實數 x 都符合 x＋x＝2x 嗎？解釋時不要只試一個數。
參考答案
是；合併相同的項後，對每個實數 x 都有 2x＝2x。
- 按合併同類項規則，左邊是 2x。
- 兩邊對每個實數值都是同一個式子。
- 說明兩式對所有實數都相等，不只作數值試驗。
2x＋1＝2x＋4 有解嗎？等式兩邊同作減法，再說明。
參考答案
無解；兩邊同減 2x 後，會要求 1＝4。
- 兩邊同減 2x。
- 不論選哪個 x，都不能令 1＝4 成立。
- 推出矛盾並判定無解。