Kenneth Cheng數學建模

研究筆記

當擬合不等於模型本身

曲線可以非常貼近資料，但參數證據仍然薄弱；可識別性分析說明何時新增量度比再換一個最佳化器更重要。

2026年7月16日 · 約 7 分鐘閱讀

一條曲線可以幾乎完美穿過所有資料點，作用機制卻仍然未被釐清。

這是數學建模中最重要的區別之一。擬合問的是：是否存在某個參數向量能重現觀測？識別問的則是：觀測能否把這個向量與其他科學意義不同的可能性分開？小殘差回答了第一個問題，並沒有回答第二個。

當參數具有實質解釋時，這個區別尤其重要。擬合得到的速率可能被報告成生物時間尺度、基建故障強度或行為反應強度。如果很多參數組合都能重現同一條可觀測曲線，最佳化器輸出的多個小數位並不是對這些量的測量，只是其中一個可接受解的座標。

配套的可識別性實驗室用一個刻意縮小的反問題，把這種困難呈現出來。它不能取代完整的結構可識別性或 profile likelihood 分析；其用途是說明，優秀擬合可以是一項探究的起點，而不是結論。

一個最優點背後隱藏的山脊

考慮 Michaelis–Menten 反應：

y(S)=Vmax⁡SKm+S.y(S)=\frac{V_{\max}S}{K_m+S}.

參數 Vmax⁡V_{\max} 控制飽和水平，KmK_m 則是反應達到該水平一半時的底物濃度。如果量度範圍遠高於 KmK_m，曲線同時提供初始上升與平台部分的證據。如果所有觀測都位於低底物範圍，則

y(S)≈Vmax⁡KmS當 S≪Km.y(S)\approx \frac{V_{\max}}{K_m}S \qquad \text{當 } S\ll K_m.

在這個範圍內，資料主要識別比率 Vmax⁡/KmV_{\max}/K_m。同時提高兩個參數，觀測到的斜率仍可幾乎不變，於是損失表面形成狹長的低損失山脊。

雙面板示意圖：兩條參數曲線在已量度底物範圍內相近，在範圍外分開；旁邊顯示狹長的參數損失山脊。
圖 1。 緊密擬合可以掩蓋薄弱的參數證據。面板（a）中，實線與虛線在有資料的位置幾乎不能分辨，卻在未觀測範圍分開。面板（b）說明，報告一個最優點並不能消除周圍大量近乎等價的參數組合。

兩個面板分別在輸出空間與參數空間顯示同一項資訊失效。觀測曲線對橫越山脊的方向約束很強，對沿山脊移動的方向則弱得多。只報告最佳點會隱藏這種方向不均衡。

最佳化器通常只返回表面上的一點；互動熱圖則同時顯示周圍表面。圓形標記產生合成觀測的參數組合，交叉標記搜尋網格上的最佳組合，深色方格是均方誤差相近的其他組合。

三個控制項會改變提供給擬合的資訊：

  • 最大觀測底物濃度決定資料是否到達彎曲與飽和區域。
  • 觀測雜訊改變相鄰曲線是否容易被分辨。
  • 量度數目在選定範圍增加重複觀測，卻不一定增加新種類的資訊。

第三點很容易被忽略。在同一個狹窄線性區間量度三十次，可以減少隨機誤差，但參數山脊仍然存在。只要位置選得好，一個高底物量度可以比在所有候選曲線都相似的區域新增很多資料更有資訊。

結構與實務可識別性是不同問題

結構可識別性關注理想資訊下的模型與觀測過程。簡單而言，它問的是：完美、無雜訊的觀測能否唯一恢復參數？如果兩個參數向量在所有容許輸入下都產生完全相同的可觀測輸出，提高量度精度也不能把它們分開。此時必須重新參數化、觀測一個新量，或施加不同輸入。

實務可識別性則關注真正做過的實驗。一個結構上可識別的模型，仍可因觀測稀疏、雜訊大、時間窗缺乏資訊，或對某個參數不敏感，而在實務上不可識別。Raue 等人把 profile likelihood 方法形式化，顯示平坦的參數關係，以及在有限資料下仍無界的置信區域。Wieland 等人其後強調，實務可識別性不能被簡化成一個最優點附近的局部協方差計算。

互動例子只展示實務層面。畫面中的山脊源於合成實驗未能充分激發一個結構上可識別的反應之飽和部分。單憑這張熱圖便聲稱 Michaelis–Menten 形式一般在結構上不可識別，是不正確的。

為何 Hessian 會令問題看起來比實際更確定

常見的不確定性計算會用最優點附近的二次函數近似損失表面。在合適假設下，逆 Hessian 可被解釋成參數協方差矩陣，所以這種局部近似很吸引。

當表面高度彎曲、不對稱、有邊界、多峰，或沿長方向近乎平坦時，近似便很脆弱。只在山脊一小段擬合的狹窄二次曲面，可能遺漏仍能合理擬合的遠方參數值。重新參數化亦可改變表面局部幾何的外觀，即使底層資訊完全沒有改變。

Profile likelihood 採用較全局的視角。要分析一個參數，先依次把它固定在多個值，再重新最佳化所有其餘參數。所得曲線問的是：強迫該參數偏離最優值時，必須犧牲多少擬合程度？如果 profile 在某一方向始終沒有越過選定置信閾值，代表在模型與似然假設下，資料無法為該方向提供有限界線。

任何不確定性方法都不能省略對觀測模型的檢查。如果雜訊分佈、設限過程、量度尺度或實驗輸入錯誤，一個數學上精確的區間仍可回答錯誤問題。

把不可識別性轉化成實驗設計問題

只有當診斷能改變下一步量度甚麼，可識別性分析才真正有用。一個有紀律的流程是：

  1. 定義在科學上重要的參數或預測。
  2. 對指定輸入與輸出檢查結構可識別性。
  3. 以留出檢查擬合模型，並檢視全局參數不確定性。
  4. 找出候選參數組合會作出不同預測的位置。
  5. 把下一個量度或干預放在這個具分辨力的區域。
三面板比較：在同一範圍重複量度、把量度延伸至可分辨區域，以及量度一個新的可觀測量。
圖 2。 面對弱可識別性，三種回應並不等價。在同一範圍重複量度可提高精度，卻可能保留山脊；擴大輸入範圍能分開原本相似的曲線；真正新增可觀測量則可改變反問題可用的結構資訊。

設計含意十分具體：應在合理解釋互相分歧的位置增加資訊，而不是只在方便量度的位置收集更多資料。更多資料與更多識別資訊，是兩種不同資源。

對飽和模型而言，最後一步建議擴大底物濃度範圍，而不是把所有新重複觀測集中在原點附近。對動力系統而言，可能要在較早的瞬態取樣、量度額外狀態，或施加隨時間變化的輸入。STRIKE-GOLDD 4.0等工具可為廣泛的非線性常微分方程模型自動進行結構可識別性與可觀測性測試，但測試結果仍需被轉化成可行實驗。

這亦改變模型簡化的方式。如果只有某個參數組合可被識別，該組合可能才是科學上誠實的估計量。把一個證據薄弱的參數固定在文獻值，可令計算更容易，卻只是把不確定性由資料分析轉移到假設。最終主張應清楚顯示這個選擇。

一個研究計劃，而非診斷核取方格

實驗室提出多個超越「展示一條山脊」的研究方向。

第一個方向是考慮成本的實驗設計。給定成本不同的候選量度時間或底物水平，找出能約束目標參數或預測的最小設計。目標不必是 Fisher 資訊矩陣的一般行列式；它可以直接針對 profile-likelihood 區間寬度，或合理模型之間的分歧。

第二個方向是模型偏差下的可識別性。經典分析假設資料由其中一個候選模型產生，但真實機制都只是近似。研究可以測試：當遺漏過程擾動觀測時，一個在名義模型下能識別參數的設計是否仍然有資訊。

第三個方向是以預測為中心的可識別性。參數可以很不確定，但某項預測仍然穩定；參數估計也可以看似精確，外推預測卻彼此分歧。研究問題於是由「能否恢復每個參數？」轉為「哪些決策或預測在經驗上容許的參數集合中保持不變？」

這些問題特別適合學生研究，因為它們連接數學分析、計算與實驗推理，亦能讓負面結果產生價值。如果證明一項建議量度不能分辨兩個機制，並因此導向更好的設計，這就是有用證據。

這個示範沒有證明甚麼

瀏覽器實驗使用確定性偽雜訊、有限參數網格、均方誤差，以及一個已知的雙參數反應。「近似最優」數量只是視覺診斷，不是置信區域。它沒有處理相關誤差、由先驗資訊選定的參數邊界、模型偏差、多個輸出，或底物濃度本身的不確定性。

最重要的是，可識別性取決於指定模型、輸入、觀測函數與資料範圍。一個參數不能脫離這些條件，被簡單標示成可識別或不可識別；主張必須說明它所依據的資訊結構。

結語

緊密擬合證明模型能重現觀測，卻不能證明擬合所得機制是唯一的。

實務上的回應不是不信任最佳化，而是把最佳化放入更完整的推論流程：檢查損失幾何、區分結構與實務限制、在資料只支持參數組合時如實報告組合，並在合理解釋互相分歧的位置設計新量度。

因此，擬合之後最有用的問題可能是：哪一項觀測會令這個結果更難被其他機制模仿？

參考文獻

  1. Raue, A., Kreutz, C., Maiwald, T., Bachmann, J., Schilling, M., Klingmüller, U., & Timmer, J. (2009). Structural and practical identifiability analysis of partially observed dynamical models by exploiting the profile likelihood. Bioinformatics, 25(15), 1923–1929. https://doi.org/10.1093/bioinformatics/btp358
  2. Wieland, F.-G., Hauber, A. L., Rosenblatt, M., Tönsing, C., & Timmer, J. (2021). On structural and practical identifiability. Current Opinion in Systems Biology, 25, 60–69. https://doi.org/10.1016/j.coisb.2021.03.005
  3. Díaz-Seoane, S., Rey Barreiro, X., & Villaverde, A. F. (2023). STRIKE-GOLDD 4.0: user-friendly, efficient analysis of structural identifiability and observability. Bioinformatics, 39(1), btac748. https://doi.org/10.1093/bioinformatics/btac748
  4. Kreutz, C., Raue, A., Kaschek, D., & Timmer, J. (2013). Profile likelihood in systems biology. FEBS Journal, 280(11), 2564–2571. https://doi.org/10.1111/febs.12276