Kenneth Cheng數學建模

研究筆記

美式認沽期權應在何時行使？

將提早行使寫成自由邊界障礙問題，並以三種數值方法審核價格、希臘字母、收斂與互補條件。

2026年8月2日 · 約 16 分鐘閱讀

歐式認沽只有一個決定日期；美式認沽在每一刻都要決定：現在行使，還是保留稍後行使的權利？這項自由改變了數學問題。未知量不再只有價格 V(S,t)V(S,t)，還包括分隔行使區與延續區的移動門檻。

本研究把這條邊界視為證據的一部分：求解障礙偏微分方程、檢查互補條件、觀察接觸位置附近的 Greeks，再與重組二項樹及最小二乘蒙地卡羅比較。整個實驗是受控合成設定，目的是理解數值方法，不是交易建議。

由最佳停止到自由邊界

在風險中性幾何布朗模型下，

dSt=(r−q)St dt+σSt dWt,dS_t=(r-q)S_t\,dt+\sigma S_t\,dW_t,

履約價 KK、到期日 TT 的美式認沽價值為

V(S,t)=sup⁡τ∈[t,T]EQ[e−∫tτr(u) du(K−Sτ)+∣St=S].V(S,t)=\sup_{\tau\in[t,T]} \mathbb E^{\mathbb Q} \left[e^{-\int_t^\tau r(u)\,du}(K-S_\tau)^+ \mid S_t=S\right].

以 θ=T−t\theta=T-t 表示剩餘時間，則

min⁡(V−(K−S)+,  Vθ−LV)=0,\min\left(V-(K-S)^+,\;V_\theta-\mathcal LV\right)=0,

其中

LV=12σ2S2VSS+(r−q)SVS−rV.\mathcal LV= \frac12\sigma^2S^2V_{SS}+(r-q)SV_S-rV.

價格必須高於即時收益，延續算子亦不能違反不等式，而且兩者至少一項緊束。因此邊界 Sf(t)S_f(t) 是由解發現，而不是事先指定。

美式認沽價值、提早行使溢價及移動最佳停止邊界。
圖 1。價值與提早行使溢價共享移動接觸邊界；設定個案在估值日的邊界為 $S_f(0)\approx71.7972$。

當 S0=K=100S_0=K=100、T=1T=1、r=0.05r=0.05、q=0.02q=0.02、σ=0.25\sigma=0.25，障礙求解器給出 VA(100,0)≈8.56494V_A(100,0)\approx8.56494。這是聲明實驗數字，不是某張市場合約的校準價格。

為甚麼只驗價格並不足夠

在行使區內 V=K−SV=K-S，所以 delta 約為 −1-1，gamma 約為零。跨過邊界後，延續價值平滑離開收益，而曲率集中在接觸附近。

跨越行使邊界的美式與歐式認沽價值、即時收益、delta 與 gamma。
圖 2。價值看似穩定時，邊界附近的 gamma 仍可能敏感；導數需要獨立驗證。

到期收益在履約價有折點。直接以 Crank–Nicolson 起步會把它傳成曲率振盪。先做兩個後向 Euler 半步再切換的 Rannacher 處理可以抑制這個假象。

首個時間步的原始 Crank-Nicolson 與 Rannacher 平滑價值和 gamma。
圖 3。起步平滑移除單看價格容易漏掉的非物理 gamma 振盪。

求解並審核障礙

在履約價附近加密的網格上，每個時間步都是線性互補問題：

AVn+1≥b,Vn+1≥Φ,(AVn+1−b)⊤(Vn+1−Φ)=0.AV^{n+1}\ge b,\qquad V^{n+1}\ge\Phi,\qquad (AV^{n+1}-b)^\top(V^{n+1}-\Phi)=0.

投影逐次超鬆弛把 Gauss–Seidel 更新投影回 Φ=(K−S)+\Phi=(K-S)^+，並記錄反覆次數與同時涵蓋原始可行、對偶可行及互補性的殘差。

PSOR 反覆次數與互補殘差隨剩餘時間變化。
圖 4。在此網格與容差下，最大互補殘差為 $1.20\times10^{-8}$，最大 PSOR 次數為 60。

小代數殘差仍不足夠。網格細化把每個有限差分結果與更細參考比較，並把誤差與運算時間並列。

美式認沽價格誤差隨價格網格細化與運算時間的變化。
圖 5。收益折點與移動接觸集合會令收斂不完全單調，但最細設定顯著降低價格誤差。

三條獨立數值路線

障礙 PDE、Cox–Ross–Rubinstein 二項樹及最小二乘蒙地卡羅回答同一經濟問題，但誤差來源不同：樹離散行使日期、蒙地卡羅加入抽樣與回歸誤差、PDE 截斷空間及時間。

障礙 PDE、二項樹與最小二乘蒙地卡羅的價格及誤差成本比較。
圖 6。獨立方法一致，比單一求解器自洽更有說服力；縮短的軸標籤亦避免方法名稱重疊。

參數同時改變價格與政策

波動通常透過凸性提高期權價值，較高利率則可能令較早收取履約價更有吸引力；價格與邊界不必在整個參數空間同向移動。

不同利率與波動率下的美式認沽價格及估值日行使邊界。
圖 7。停止規則是一個政策面，不是標量價格的附帶產物。

求解器亦容許確定性的 r(θ)r(\theta)、q(θ)q(\theta) 與 σ(θ)\sigma(\theta)，每一步使用中點係數。

固定與隨時間變動利率、股息及波動下的行使邊界。
圖 8。今日輸入相近的模型，若未來係數曲線不同，仍可給出不同停止路徑。

驗證範圍

鎖定環境通過三項自動測試。完整重現重新生成並校驗 34 個聲明輸出，包括八組圖像；快速設定亦可由空白輸出目錄成功執行。圖中標題、分圖標記、圖例及方法名稱均經重疊檢查，所有文字為黑色。

這證明聲明數值實驗可重現，並不證明幾何布朗運動適合某個市場。隨機波動、跳躍、隨機利率、離散股息、交易成本、流動性與校準不確定性均未納入。

下一個有價值的延伸，是把參數不確定性傳播成停止邊界分布，而不是只報一條銳利政策。核心教訓是：美式期權應同時被審核為價格、停止政策與互補問題。

參考文獻

  1. Brennan, M. J., & Schwartz, E. S. (1977). The valuation of American put options. The Journal of Finance, 32(2), 449–462. https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1977.tb03284.x
  2. Rannacher, R. (1984). Finite element solution of diffusion problems with irregular data. Numerische Mathematik, 43, 309–327. https://doi.org/10.1007/BF01390130
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