熱點移動了，還是在原地長大？

想像你手上有兩張藻類分布的航拍圖。第一張圖中，狹長水道左側的高密度區比較明顯；第二張圖中，右側的斑塊變強，左側則逐漸淡去。究竟是水流把物質搬了過去，還是右側環境比較適合生長，左側的藻類同時消失？兩種過程也可能一起發生。

差值圖可以告訴我們哪些位置變了。傳輸圖則更進一步：它在兩個分布之間建立對應關係，甚至畫出很像流動方向的箭頭。這種額外結構很有吸引力，因為它看起來不只是比較，而是在解釋。箭頭彷彿代表移動，源項彷彿代表生長。當圖像足夠合理，我們很容易忘記：兩次拍攝之間的歷史，其實從來沒有被看見。

本文把這個問題放進一個刻意縮小的合成世界。這裏沒有衛星觀測、生物量實測，也沒有從真實生態資料擬合出來的參數。研究對象是一維週期空間上的平滑正密度。我們先指定它們如何改變，再把生成歷史藏起來，只將起點與終點交給一個既有的非平衡最優傳輸方法。

這樣安排的好處是，可以把「方法找到了甚麼」與「實際生成了甚麼」分開比較。方法會按照指定成本，選出一個折衷解。在某些設定中，運輸成本與邊際變化懲罰的分配，接近我們已知歷史的活動預算；在另一些設定中，兩者相差很遠。最重要的是，兩段完全不同的歷史，可以有相同的開始與結束。這時候，即使把最佳化問題解得再準確，也不會憑空得知哪段歷史曾經發生。

這不是否定最優傳輸的用途，而是替它的輸出找回適當的解釋範圍。項目簡介提供較短的版本；以下會從模型、八幅研究圖及反例，逐步討論甚麼額外資訊才真正有助分辨機制。

這個比較發現了甚麼

主實驗完成 4,320 次帶熵正則化的 UOT 擬合，涵蓋 180 個帶有研究類別標籤的端點案例、三種幾何配置，以及固定的成本參數網格。這些 UOT 擬合全部達到預先指定的數值收斂條件。不過，它們是確定性的設計網格，不是自然界中 4,320 次互相獨立的觀測。

收斂並沒有自動賦予輸出物理意義。按照本文的分類慣例，在排除沒有變化的控制例後，靜態成本佔比的標籤與生成歷史作用量的標籤，在純平移設定中的一致率是 62.50%，在均勻生長設定中則是 29.17%。這些百分比只描述指定網格及指定診斷量，不能當成某個環境監測系統的實際辨識準確率。

還有一個更直接、毋須分類門檻的提醒：即使前後兩張圖完全相同，而指定的生成歷史既沒有移動也沒有生長，正則化耦合仍然會產生正的運輸成本。在其中一個展示設定中，運輸成本佔比高達 99.29%。這個比例的分母由小量的算法成本構成，不是大量物理活動的證據。

最有力的結果其實不是方法排名，而是一個歧義。我們構造了同時容許「物質移動」與「留在原地生長、消失」兩種歷史的端點對。只接收這兩個端點、又沒有其他不同輔助資訊的估計器，必須對兩段歷史作出相同輸出。這個限制並非 UOT 獨有，只是傳輸圖特別容易令人把數學對應看成真實經過。

一張分布圖可以怎樣改變

空間座標由零走到一，走到盡頭會接回起點。因此，接近零與接近一的位置互相鄰近。這個圓形空間消除了邊界流入、流出；否則，總量改變還可能來自研究區域以外。這只是方便分離機制的建模選擇，不代表真實水道必須形成封閉環。

每個初始密度由兩個平滑週期峰組成，相對權重為 1 與 0.65。三種配置的峰中心分別是 (0.28, 0.46)、(0.28, 0.58) 和 (0.28, 0.72)，寬度參數均為 0.045。使用平滑週期峰，可以避免在座標接縫處人為加入導數不連續，令一個本來研究機制的例子被邊界數值問題干擾。

主網格有 256 個格點。傳輸問題接收的是每格的質量，因此密度必須乘上格寬才成為輸入。這個看似細小的處理，決定了不同解析度是否仍在描述同一件事。若直接把密度值當作每格質量，格點加倍時總量也會跟着加倍，成本變化便混合了物理變化與單位錯誤。

指定平移會取最接近的整數格位移，並保留實際使用的距離。例如，要求平移 0.10，在主網格上變成 26/256，即 0.1015625。畫圖與計算都使用這個實際位移，不能在文字中說一個值、在生成器中悄悄使用另一個值。

第一類案例把整個分布平移，總量保持不變。第二類把所有密度乘上同一常數，位置完全不動。第三類一邊移動，一邊施加隨位置平滑變化的局部生長。第四類交換兩個峰的權重，並可再加入整體平移及總量縮放。稍後我們會看到，最後一類可以由兩段不同歷史生成。

四組上下排列的初始與最終週期密度曲線，分別展示純平移、均勻生長、混合改變及兩個峰交換權重。 — 圖 1。256 格圓形空間中的四種受控改變，初始峰中心為 0.28 與 0.58。藍色圓點實線是初始密度，橙色方點虛線是最終密度。純平移使用實際位移 0.1015625，總量不變；均勻生長的質量比為 1.25，位移為零；混合案例結合相同位移、空間變動生長及 1.25 的總質量比。交換峰權重的例子保持總量，也沒有額外整體平移。曲線來自已保存的合成實驗端點，不是真實藻華觀測。

控制例需要保持語義一致。若一個「純平移」案例同時被指定為質量增加至 1.6 倍，它便不再是純平移。相同地，純生長控制例不能偷偷收到非零位移。我們保留原先要求的完整參數排列，但明確標示不適用的軸。因此，7,200 個排列項目對應 4,320 次正式的類別及參數擬合；重複指向同一設定的項目，不會被算成額外證據。

把問題搬到真實影像時，「質量」本身也需要先定義。生物量、人口密度或經校準的濃度場，可能支持總量積分的物理意義；亮度卻不會自動等於生物量。照明、感測器響應及分割門檻都能令影像變亮，而不涉及物質搬移或生物生長。本研究用合成密度避開這層量測問題，並不代表真實應用可以省略它。

真正的歷史，在兩張圖之間

密度可以因移動而改變，也可以因局部產生或消失而改變。一個標準的連續描述是

\partial_t\rho+\partial_x(\rho v)=\alpha\rho.

其中 $v$ 是速度， $\alpha$ 是局部相對生長率；負的 $\alpha$ 代表損失。這條方程說明兩種機制如何共同改變密度，卻沒有說只看兩個密度分布就一定能把兩者分別求出來。

運輸項是通量的散度。在圓形空間中，流進某個區域的物質必須來自其他位置。反應項則可以改變總量，但它也可以在一些位置為正、另一些位置為負，最後互相抵銷。因此，起點與終點的總量相等，仍然容許大量局部生長與局部損失。積分守恆不等於每一份物質都一直保留。

為了描述一段已指定的歷史，我們計算動能作用量與反應作用量：

\begin{aligned} K&=\int_0^1\!\int \rho v^2\,dx\,dt,\\ R&=\int_0^1\!\int \rho\alpha^2\,dx\,dt,\\ f_{\mathrm{history}}&=\frac{K}{K+\lambda^2R}. \end{aligned}

它們是經密度加權的活動預算，不是「有多少百分比的生物曾經移動」。速度加倍，動能貢獻會按平方改變；相同的相對生長率，發生在高密度位置時，也比發生在幾乎空白的位置貢獻更多。尺度 $\lambda$ 改變反應的相對價格，所以同一段混合歷史，在不同價格下也可以有不同的作用量佔比。

這個限定很重要。如果把佔比誤讀成參與移動的質量比例，便會以為它應該不受量綱與價格影響。但這裏比較的是兩種加權積分，並不是逐個追蹤物體後得到的計數。較長的移動距離、較快的增殖率，以及活動發生時的密度，都能改變預算。

均勻生長加上平移，有一條容易核對的生成路徑：

\begin{gathered} \rho_t(x)=c^t\rho_0(x-\delta t),\\ v=\delta,\qquad \alpha=\log c. \end{gathered}

經過一個時間單位，它剛好到達所需端點。純平移令 $c=1$ ，純生長令 $\delta=0$ 。混合案例則把常數生長因子換成依來源位置而變的平滑函數，相應的生長率會跟隨那個物質標籤移動。

「我們指定的路徑」與「成本最低的路徑」必須分開。生成資料時，我們沒有要求自然一定採取某個數學目標下最便宜的行為。最佳化器若選了另一個更便宜的解釋，不代表它把最佳化問題解錯。需要檢查的是：使用者有沒有足夠理由，把那個成本較低的解釋當成真正生成資料的歷史。

非平衡傳輸究竟在最小化甚麼

平衡最優傳輸在保留邊際分布的前提下，配對兩個測度。在離散問題中，非負矩陣 $P$ 指定每個來源格有多少質量配對到每個目的格。每一橫列的總和對應初始測度，每一直欄的總和對應最終測度。這是一個分布之間的對應，不是帶有個別身份的粒子追蹤。

非平衡傳輸放寬了邊際必須完全相等的條件。它包含多種動態與靜態表述，而幾何、散度及正則化的選擇都會影響含義。Chizat 等人，以及 Liero、Mielke、Savaré 的基礎研究，早已建立這個領域。本文只實作其中一個既有靜態形式，不把它稱為新的 UOT 方法。

設 $a$ 與 $b$ 是每格質量，地面成本是圓上最短距離的平方。廣義 Kullback–Leibler 散度定義為

\mathrm{KL}(p\mid q)=\sum_i\left[p_i\log\frac{p_i}{q_i}-p_i+q_i\right].

式中的質量項不能省略，因為這些向量未必是總和等於一的機率分布。當 $p_i=0$ 時使用連續延伸；若參考質量 $q_i$ 為零而 $p_i$ 為正，散度則是無限大。主實驗使用正密度，而另外的數值測試檢查了零支撐的情況。

擬合矩陣最小化的目標是

\begin{aligned} J(P)={}&\langle C,P\rangle\\ &+4\lambda^2\,\mathrm{KL}(P\mathbf1\mid a)\\ &+4\lambda^2\,\mathrm{KL}(P^\top\mathbf1\mid b)\\ &+\varepsilon\,\mathrm{KL}(P\mid a\otimes b). \end{aligned}

第一項為移動距離收費。第二項為改變兩端的邊際分布收費。第三項則以原始端點質量的乘積作為參考，正則化整個耦合矩陣。這三個部分共同決定輸出，不能只看圖中最像物理的那一項。

當邊際懲罰較小，不匹配遠處質量就相對便宜；當懲罰較大，解便傾向更接近原來兩端的邊際。熵參數 $\varepsilon$ 鼓勵較分散的配對，有助運算，但也會改變最佳化問題本身。它不是一個只影響最後小數位、與模型意義無關的隱藏容差。

本研究把邊際係數設為 $4\lambda^2$ ，是為了令單一位置、小幅度質量變化的極限，與前述示意動態作用量作局部校準。這不是兩個模型在所有情況下完全等價的定理。尤其要強調，平方距離配上 KL 邊際懲罰的 UOT，不等同於精確的動態 Wasserstein–Fisher–Rao 問題；WFR 對應的靜態幾何並不相同。

若把所有「運輸加生長」的模型都直接叫作 WFR，便會掩蓋本研究正要檢查的差異。幾個形式可以有相似直覺，甚至在某些極限互相接近，但這不足以把一個形式的成本項逐項當成另一個形式的物理作用量。

我們分別報告運輸項 $T$ 、邊際懲罰 $G$ 及正則化項。用來對照生成歷史的診斷量是

\begin{aligned} f_{\mathrm{cost}}&=\frac{T}{T+G},\\ T&=\langle C,P\rangle,\\ G&=4\lambda^2\,\mathrm{KL}(P\mathbf1\mid a)\\ &\quad+4\lambda^2\,\mathrm{KL}(P^\top\mathbf1\mid b). \end{aligned}

這個比例沒有把正則化項直接放進分母，但正則化仍然存在於最佳化問題，也會透過改變矩陣 $P$ 影響比例。把某一成本項從報告比例中抽走，不等於把它從算法的行為中移除。

這裏刻意把兩種不同的數學量放在一起比較。靜態成本分配不是對真實動態作用量的直接量測。因此，兩者的差異是在檢驗一種解讀方式，而不是在估計同一個統計目標時得到的誤差定理。若它們在某個區域相近，這是值得記錄的經驗證據；若相差很遠，就提醒我們不能直接把成本佔比翻譯成物理活動比例。

兩段歷史，可以有完全相同的證據

現在回到圖 1 最後一格、總量沒有改變的例子。交換峰權重的一種方法，是把較大的組分移到原來較小組分的位置，同時把較小的組分移向另一邊。兩個組分在途中經過彼此、出現重疊；它們合起來的密度，可以在沒有反應項的情況下滿足連續性方程。

當組分重疊時，合成密度的速度是以各自密度加權的速度。我們使用這個合成速度來計算動能作用量，而不是直接相加兩組帶標籤物質的能量。兩者通常不同：為了構造例子而加入的組分標籤，不是估計器實際收到的額外觀測。

另一段歷史可以完全不移動，只在各位置改變密度。由於起點與終點處處為正，我們可以寫成

\begin{gathered} \rho_t(x)=a(x)^{1-t}b(x)^t,\\ v=0,\qquad \alpha(x)=\log\frac{b(x)}{a(x)}. \end{gathered}

這條路徑與移動路徑有相同的開始與結束，卻沒有任何運輸，只有局部生長與損失。它在中途的總量也不一定等於共同的端點總量。起點與終點總量相同，沒有要求未被觀測的整段過程都保持守恆。

這不是用另一組終點來冒充同一個問題，也不是把兩條「看起來差不多」的曲線硬說成相同。兩段歷史的端點就是同一對密度。它們的不同發生在中間，而估計器正好沒有收到中間的資訊。

搬移組分與原地反應兩段歷史，在起點和終點的密度完全重合，但中間時刻的分布明顯不同。 — 圖 2。同一組交換峰權重端點的兩段指定歷史，峰中心為 0.28 與 0.58，兩端總量相等。藍色搬移路徑與橙色原地生長、消失路徑，在時間 0 及 1 重合；交錯的空心標記用來展示這種刻意重合。時間 0.5 時，一條路徑在組分相遇的位置集中密度，另一條則改變兩個固定峰。這些是已知的生成歷史，不是 UOT 求解器還原的中間路徑。合適的中間觀測可以分辨這一對候選。

對搬移歷史而言， $f_{\mathrm{history}}=1$ ；對原地反應歷史而言，它等於零。任何只接收端點的診斷量，都必須對兩者給出同一個數值 $f$ 。因此，

\max\{|f-1|,\ |f-0|\}\geq \frac12.

至少有一種解讀會相差半個單位或以上。這個簡單不等式不是新發現的最優傳輸限制，而是把構造例子中的資訊缺口直接寫出來。

固定網格包含 360 次等質量的歧義擬合，橫跨幾何、位移及成本設定。每一個擬合結果都與兩段生成歷史分別對照。觀測到的最小「兩段歷史中較大差異」約為 0.50027，與解析下界一致。多列出一段候選歷史，只是增加評估對象，沒有增加端點本身包含的資訊。

這個反例也沒有宣稱所有生態反問題都無法解決。若限制允許的速度、量測生長率，或觀察中間狀態，其中一段歷史可能不再符合條件。可辨識性永遠相對於模型類別與觀測系統而言。此處無法分辨的原因，是我們只看端點，同時仍容許兩種指定機制。

生長的價格，會改變解釋

實驗把指定平移設為 0、0.03、0.06、0.10、0.16；質量比設為 0.60、0.80、1、1.25、1.60；懲罰尺度有八個值，由 0.02 至 0.46；熵權重則為 0.0025、0.005、0.01。同一對端點在所有適用的成本設定下接受擬合。

這些差異來自模型及正則化選擇，不是重新抽取了一批有噪聲的資料。跨參數的分散程度，是敏感度分析，不是未知環境量的信賴區間。若把每一格當作獨立樣本再算一個非常窄的誤差棒，便會製造本來不存在的統計精確度。

圖 3。圖 1 前三種案例的靜態成本佔比與生成作用量佔比。彩色曲線是三種熵權重下的成本比例，黑色點畫線是獨立計算的已知動態作用量比例。全部使用 256 格網格、峰中心 0.28 與 0.58。純平移的真實作用量比例為一，純生長為零；混合歷史的加權作用量比例也會隨反應價格改變。兩條曲線接近只代表診斷上的一致，不是兩種模型等價的證明。

隨着改變邊際的懲罰提高，純平移控制例會愈來愈偏向運輸。這個方向符合直覺：不維持原來對應的代價變高了。但在較弱懲罰下，最低成本的解釋未必願意支付把所有質量搬過生成位移所需的費用。

均勻生長則呈現另一種問題。它的真實動能作用量為零，正則化造成的分散耦合卻仍可配對相近但不同的位置，累積正的運輸成本。提高邊際懲罰，不會令所有效應同時消失，因為邊際調整、耦合分散程度及配對質量之間會互相影響。

混合案例說明了為甚麼標籤改變不一定是數值失敗。靜態成本佔比與生成歷史的加權作用量，都會受反應價格影響。當同一段歷史由「運輸主導」變成「混合」，改變的可能是我們的計價方式，而不是它的物理活動。

為了讓分類可核對，本文把不高於 0.25 的比例稱為反應主導，不低於 0.75 稱為運輸主導，中間則稱為混合。這些是分類慣例，不是自然常數。我們也另外檢查 0.20/0.80 及 0.30/0.70；連續比例始終比三個類別保留更多資訊。

在排除無變化端點後，522 組懲罰尺度掃描之中，有 364 組改變了擬合標籤，即 69.73%。1,392 組熵權重掃描中，有 218 組改變標籤，即 15.66%。前一個百分比包含反應價格改變的影響，不能直接稱為純粹的數值不穩定率。

兩幅熱圖展示靜態成本比例與已知作用量比例的絕對差，分別跨懲罰尺度和位移或質量比比較，沒有變化的欄位以灰色表示未定義。 — 圖 4。中間峰距配置、熵權重 0.005 下的機制解讀圖。上圖改變純平移的指定距離，下圖改變純生長的質量比。共同色階由零至一，表示靜態成本佔比與已知作用量佔比的絕對差。灰色破折號欄位是沒有變化的情況：兩項真實作用量都為零，所以比例未定義，而不是零。所有計算均使用已保存的最接近整數格實際位移。

熱圖沒有選出一個對所有問題都正確的懲罰尺度。某個參數在一類案例改善一致性，可能在另一類案例表現較差。若我們因為某個尺度剛好重現了想要的機制才採用它，就需要獨立的科學理由。否則，校準過程已經偷偷把結論放進模型。

在應用中，懲罰尺度最好連接到可說明的物理範圍或任務損失。例如，甚麼程度的增殖在這段時間內合理？跨越某個距離需要多少活動？若沒有這些資訊，也可以把尺度視為比較分布的設計選擇，但此時便不應把其結果包裝成唯一的自然歷史。

擬合很好，也可能回答了另一個問題

既然 UOT 容許改變邊際，「重建誤差」應該怎樣定義？本文比較耦合矩陣橫列總和與初始分布的相對 L1 差，以及直欄總和與最終分布的相對 L1 差。數值愈大，表示耦合直接匹配的質量，與對應端點相差愈多。

另一種做法是把殘差場加回耦合，令兩張輸入圖被完全重建。但那只是一個帳目恆等式，不是成功推斷歷史的證據。原始輸入本來已經知道；把與輸入的差加回去，當然可以還原輸入，卻沒有增加任何關於中間經過的資訊。

四類案例的散點圖比較較大的端點邊際誤差與機制比例差異；歧義案例另以不同標記展示搬移與原地反應兩種真值。 — 圖 5。熵權重 0.005 下的端點擬合與機制解讀差異，使用全部三種幾何及適用的懲罰尺度。每個點是一項有定義的歷史比較，排除了無變化真值。橫軸是兩個相對邊際 L1 誤差中較大的一個，以百分比表示。歧義面板的藍色圓點與橙色加號，分別把同一個端點耦合對照搬移歷史及原地反應歷史。重合點全部保留；它們不是獨立觀測，也不是不確定性抽樣。

以一個具體設定為例：交換權重的兩個峰位於 0.28 與 0.58，兩端總量相同、沒有整體平移，並使用 $\lambda=0.46$ 、 $\varepsilon=0.005$ 。兩端的邊際誤差都約為 3.565%，靜態運輸成本佔比則為 89.14%。這個比例比較接近搬移歷史，而不是原地反應歷史；然而，兩段歷史給出的觀測完全相同。

擬合沒有造假，最佳化也未必不準。它與端點相符，只是回答了另一個問題：在指定懲罰下，這個耦合與兩張分布圖相容。這件事沒有證明，成本偏好的歷史就是曾經發生的歷史。

作為描述性的閱讀輔助，若要求兩端邊際誤差都不超過 5%，會留下 221 個擬合設定及 257 項有定義的歷史比較。其中 112 項比較的比例差異仍大於 0.25。這個 5% 門檻不是預先登記的成功準則，不是統計信賴程度，也不是適用於所有研究的可接受誤差標準。

這種區分有助我們閱讀漂亮的可視化結果。箭頭是否對照過真實軌跡？生長圖是否有獨立量測支持？還是兩者只是某個端點差異函數的組成部分？三種輸出都可以有價值，但它們允許作者寫出的結論並不一樣。

尤其在模型競賽或跨領域研究中，好的圖像常常比細小的數學限定更容易被記住。因此，圖說有責任交代箭頭的來源：它是觀測、生成真值、估計，還是最低成本插值。只把它統稱為「動態」或「流場」，會令讀者以為已知的事情比實際更多。

為甚麼沒有改變，仍有運輸成本

熵正則化令耦合的質量分散到不只精確對角線的位置。即使兩端的邊際圖完全一樣，把某個來源格配到鄰近但不同的目的格，仍會產生正的平方距離成本。由於問題也容許放寬邊際，邊際懲罰同樣可以保持正值。

此時，運輸成本佔比可以看起來很大，只因為分母中的邊際懲罰更小。比例接近一，只交代分子與分母的相對大小，沒有告訴我們分子是否代表大量、甚至是否代表真實存在的物理活動。

這與「一個很小的數佔另一個很小總數的大部分」是同一回事。若只看百分比而不看絕對成本及無變化控制例，便可能把正則化殘留的計算結構，錯認為幾乎全部由移動造成的環境變化。

完全相同的分布圖仍產生正的運輸、邊際及正則化成本；下圖顯示即使生成歷史沒有改變，靜態運輸佔比仍可接近一。 — 圖 6。輸入完全相同的負面控制例，峰中心為 0.28 與 0.58，網格為 256 格。上圖在懲罰尺度 0.10 下分開原始目標函數的成本，斜線及點紋區分邊際 KL 與耦合 KL。下圖在三種熵權重下改變懲罰尺度。指定的物理歷史沒有移動，也沒有反應，因此其作用量比例未定義。在尺度 0.46、熵權重 0.005 時，靜態運輸成本佔比為 99.29%；這不是還原出來的物理移動比例。

處理正則化偏差的一種標準方法，是把交叉成本與兩端各自的自成本比較。對本文這個以質量乘積為參考的精確目標，使用的去偏純量為

\begin{aligned} S_\varepsilon(a,b)={}&J(a,b)-\frac12J(a,a)\\ &-\frac12J(b,b)\\ &+\frac{\varepsilon}{2}(M_a-M_b)^2, \end{aligned}

其中 $M_a$ 與 $M_b$ 是兩端總質量，每個 $J$ 都代表最小化後的目標值。最後的質量修正屬於這個表述；若省略它，不等質量時比較的便是另一個量。

當輸入相同，這個純量等於零，因而修正了差異量的一個重要問題。不過，它沒有把原先分開的運輸與生長成本，變成被觀察到的物理作用量。若把自成本逐項相減，所得分量可能帶有正負號，沒有理由把它們重新包裝成非負的生物活動預算。

把熵權重減小，可以令配對更集中，但同時改變運算難度及條件性。更關鍵的是，即使沒有正則化，圖 2 的相同端點歧義依然存在。數值偏差與結構上無法辨識，是兩個不同問題；處理了前者，不會順便消除後者。

平衡對照刻意忘掉了甚麼

平衡傳輸要求兩端總質量相等。因此，我們的對照先分別把兩端正規化，再用相同的圓形地面成本，求解一個帶熵的平衡問題。它是一個只比較形狀的基準。這個正規化必須明說，因為它正好移除了區分均勻生長與完全不變的資訊。

如果 $b=ca$ ，把兩張圖各自除以總量後，不論正的 $c$ 是多少，都會得到同一個機率分布。任何只收到正規化圖像的方法，都無法推斷已被刪去的那個倍數。這個資訊選擇發生在最佳化之前，不是求解器內部才突然出現的缺點。

不同倍數的密度圖在正規化後完全重合，平衡形狀成本不隨質量比改變，而非平衡去偏差異仍對總量改變有反應。 — 圖 7。正規化移除的資訊，以峰中心 0.28 與 0.58 的純生長端點為例。上方兩圖比較質量比 0.60、1、1.60 的原始與正規化密度；交錯標記展示正規化曲線的刻意重合。下方兩圖涵蓋全部五個質量比。平衡運輸成本使用正規化測度及熵權重 0.005；UOT 去偏差異使用原始測度、相同熵權重及懲罰尺度 0.10。兩個縱軸是不同數學量，不是方法優劣排名；正的平衡自成本與正則化有關。

非平衡差異量仍然對總量改變敏感，當研究同時關心數量與空間排列時，這是很實用的特性。但察覺「有東西改變了」，依然不等於辨認出改變的機制。一個有用的分布差異量，沒有必要同時成為因果歷史還原工具。

逐位置的 L1 與 L2 比較提供另一個參照。它們忠實記錄固定座標的變化，卻不會匹配已經位移的形狀。因此，一個尖峰即使只移動少許，也可能在差值圖中留下很大的訊號。傳輸方法加入了空間幾何，讓這類位移結構可以被配對；即使我們不把配對當成粒子軌跡，這個優點仍然存在。

真正的選擇不是「相信傳輸」與「完全不用傳輸」二擇其一，而是按任務保留它能提供的資訊。若目的是比較預報場與觀測場，合適的幾何差異量可能已經足夠；若目的是判斷物質去了哪裏，就需要能支持那個更強問題的額外資料。

有多少差異，其實來自數值運算

UOT 求解器先與單一位置的閉式解、小型問題的獨立凸最佳化，以及既有的 Python Optimal Transport 實作比較。單一位置的例子特別有用，因為每個成本慣例都能直接檢查：

p^\star=\exp\!\left( \frac{(4\lambda^2+\varepsilon)\log(ab)-C} {8\lambda^2+\varepsilon} \right).

此處 $a$ 與 $b$ 是兩個純量質量， $C$ 是它們的運輸成本。這個檢查同時涉及質量慣例、熵參考及邊際係數。若其中一個慣例被悄悄改掉，算法仍可能輸出漂亮而合理的矩陣，卻已經在解另一個問題。

在主網格上，選定完整矩陣與獨立實作的相對 L1 差異低於 $7.0\times10^{-7}$ 。進一步收緊求解容差，選定成本比例的改變小於 $1.9\times10^{-7}$ 。在記錄的環境中重複求解，選定矩陣也完全一致。這些檢查處理的是實作與數值精度，並不是機制可辨識性。

網格加密使用各個網格都能精確表示的相同物理位移，不把不同取整位移造成的差異誤認為積分誤差。由 256 加密至 512 格，選定成本比例的最大改變低於 $4.8\times10^{-8}$ 。其中一個較粗的 128 格比較超過嚴格加密門檻；再檢查至 1,024 格後，結果支持主網格的精度。粗網格例外仍保留，沒有被改寫成「所有檢查一律通過」。

時間分布曲線比較相同的一百八十個 UOT 與平衡設定，下方殘差對迭代次數圖保留到達上限仍未收斂的平衡案例。 — 圖 8。本機的運算行為，不是可直接移植到其他硬件的速度基準。上圖讓兩種求解器使用相同 180 個帶標籤的端點案例，熵權重為 0.005，UOT 尺度為 0.10；每個時間只量測一次，叉號代表到達迭代上限。下圖納入三種熵權重的全部 540 次平衡擬合，點線是 10⁻⁹ 殘差門檻；其中 14 次在 20,000 次迭代後仍未達標。部分點重合，是因為正規化令不同生長案例變成相同形狀。未收斂成本保留為失敗，不當成有效基準解。

完整網格中，UOT 的求解時間中位數為 10.74 ms，平衡對照為 10.99 ms。兩個總結對不同參數配置的加權並不相同，所以圖 8 中逐個端點配對的比較，更適合用來理解差異。兩者都不能支持某個方法在任何情況下必然更快的結論。

全部 4,320 次主 UOT 擬合及 4,248 次快取自成本擬合均達到指定準則。540 次平衡擬合中，有 14 次未能在固定上限內收斂。獨立實作在相同上限下，也重現了一個分離雙峰例子的緩慢收斂。我們沒有悄悄提高上限、放寬容差，或把這些項目換成看似成功的成本值。

這個區分有科學意義：求解器失敗與機制不可辨識，需要完全不同的回應。前者要求數值調查；後者要求額外資訊或更窄的物理假設。若把兩者都歸納為「模型需要更多訓練」，便會錯過真正要解決的問題。

要怎樣，物理解釋才更可信

圖 2 的中間面板提出了最直接的實驗：在兩個端點之間，再觀察一次。兩段指定歷史的中間形狀不同，因此時間與空間解析度合適的量測，可以分辨這一對候選。但若量測有很大噪聲，或只把整個區域加成一個數字，就未必能做到。資訊增益取決於感測器實際量到了甚麼。

對這一對歷史，中間總量也可能有用，因為原地反應路徑不一定一直保留總質量。不過，這只是這一對候選的特性，不是「量三次總量便能還原任何速度與反應場」的定理。更複雜的歷史仍可能同時配合額外量測。

獨立限制反應率是另一條路。如果已知的生長速度不可能在指定時間內產生觀測到的變化，純反應解釋的範圍就會縮小。相反，速度觀測或可行移動距離的上界，也能排除不合理的快速搬移。這些資訊應作為明確假設或量測進入模型，而不是靠調整懲罰，直到箭頭看起來令人滿意。

帶標籤的物質追蹤更直接。密度分布之間的對應沒有保留個別身份；示蹤物、粒子或可識別物體，可能補上這個缺口。但追蹤也會有抽樣偏差、偵測遺漏及身份錯配，因此完整分析仍要處理它們的不確定性，不能因為畫出了軌跡就宣稱歷史已經完全已知。

這裏有一個實際研究次序。先定義所量測的場與單位，再指定哪些歷史在物理上容許，接着問甚麼觀測可以分辨相互競爭的歷史，最後才選擇最佳化器去總結或估計。若先找一個漂亮的最佳化工具，再替每個成本項補上物理故事，次序便倒轉了。

因此，下一個有科學意義的步驟，不一定是更大的神經網絡。對這個受控問題，更直接的是設計一個額外觀測實驗：加入一張中間分布圖，或一項可量測的反應限制，再檢查哪些歧義仍然存在。這屬於下一個研究問題，不能當成目前端點基準已經完成的成果。

這項工作放在文獻的甚麼位置

非平衡傳輸與 Wasserstein–Fisher–Rao 幾何，早已為移動及質量變化提供成熟的數學語言。它們在反應、平流、擴散問題以及生物流動中的應用，也有大量先例。熵縮放、去偏差異量、加速對偶方法、帶路徑限制的測地線及可擴展分解求解器，處理的是這個既有領域的不同部分。

與本文最接近的實際研究，是 Francis、Cotter、Mittermaier 對空間預報驗證中的帶熵非平衡傳輸分析。他們已經研究空間擾動、質量差異、參數尺度及成本分解。因此，本文不能把參數敏感度圖說成自己發明的新想法。

Ponnoprat、Isobe、Imaizumi 的 2026 年預印本，研究由 UOT 理論最優解所定義的傳輸與生長配對估計。那個目標不是任意選來生成資料的物理歷史。準確估計理論最優配對，與證明它就是實際生成機制，是兩件不同的事。

近期的 WFR-FM 已刊登於 ICLR 2026，WFR-MFM 則以預印本形式提出。兩者都涉及 WFR 相關幾何下的學習式流匹配。它們提供重要背景，但本文沒有使用神經流匹配。某個方法能表示或近似指定幾何路徑，不會單憑這一點就消除上面展示的端點歧義。

因此，本文的貢獻應該保持克制：它是一組經核對的合成比較，以及對一種容易令人信服的解讀方式作出檢查。它沒有主張率先發現可辨識性限制，沒有提出新求解器，也沒有驗證任何真實場域的應用成效。

結論

兩張分布圖可以支持一個有用的距離、一個有用的配對，以及一個有用的最低成本解釋，同時仍然不足以辨認兩者之間曾經發生的事情。這些說法並不矛盾，只是在描述不同層次的推論。

在本研究中，數值最佳化可以相當精確，物理解讀卻仍然脆弱。成本佔比會隨價格及正則化改變；完全相同的圖也可以有正的原始運輸成本。最關鍵的是，一段搬移歷史與一段原地反應歷史，可以提供完全相同的端點證據。

所以，值得問的不只是「耦合擬合得好不好」，還有「甚麼資訊可以排除另一段歷史」。在回答後一個問題之前，非平衡傳輸分解仍然是模型選出來的一種解釋，而不是我們親眼見證熱點如何改變的紀錄。

參考文獻

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