Kenneth Cheng數學建模

研究筆記

氣候驅動的登革熱空間模型：反應—擴散、蚊媒生態與疫苗配置

由溫度依賴蚊媒生態推導空間 R₀ 場，並以反應—擴散與非局部移動比較疫苗配置策略。

2025年12月26日 · 約 3 分鐘閱讀

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本研究使用合成地理、人口與氣候場。它展示方程與數值實驗，不能預測澳門或其他地區的個案數，也不能直接制定疫苗政策。

冬季仍見蚊活動，引出一個問題：溫度如何同時改變蚊的繁殖、死亡、叮咬和病毒外潛伏期，繼而重塑城市內的傳播熱點？

一、人類狀態

每個空間位置 xx 的人類分為 S,E,I,R,VS,E,I,R,V：

∂tS=−λhS−νS+ωvV+MS,∂tE=λhS−σhE+ME,∂tI=σhE−γhI+MI,∂tR=γhI+MR,∂tV=νS−ωvV+MV.\begin{aligned} \partial_tS&=-\lambda_hS-\nu S+\omega_vV+\mathcal M_S,\\ \partial_tE&=\lambda_hS-\sigma_hE+\mathcal M_E,\\ \partial_tI&=\sigma_hE-\gamma_hI+\mathcal M_I,\\ \partial_tR&=\gamma_hI+\mathcal M_R,\\ \partial_tV&=\nu S-\omega_vV+\mathcal M_V. \end{aligned}

M\mathcal M 表示移動算子。短時間爆發可忽略出生死亡，但模型邊界必須寫清楚。

二、蚊媒生態

水生期 AA 與成蚊 MM：

A˙=ϕ(T)M(1−AK(T))−[μA(T)+η(T)]A,\dot A =\phi(T)M\left(1-\frac{A}{K(T)}\right) -[\mu_A(T)+\eta(T)]A, M˙=η(T)A−μM(T)M.\dot M =\eta(T)A-\mu_M(T)M.

在固定 TT 下，把第二式設零得

M∗=η(T)μM(T)A∗.M^*=\frac{\eta(T)}{\mu_M(T)}A^*.

代回第一式才可求正平衡。若參數令正平衡不存在，適生度應為零；不能強行截斷後仍稱作生態推導。

三、溫度場

合成氣候可寫為

T(x,t)=Tˉ+ATsin⁡(2πt/365+φ)+U(x)+ϵ(x,t),T(x,t) =\bar T +A_T\sin(2\pi t/365+\varphi) +U(x)+\epsilon(x,t),

U(x)U(x) 是城市熱島或地形差異。真實分析需用測站或再分析資料，並處理微氣候偏差。

叮咬率 a(T)a(T)、傳播概率、蚊死亡率和外潛伏率 σm(T)\sigma_m(T) 都用有生物上、下限的熱反應曲線，而非無界線性函數。

四、感染耦合

人類感染力：

λh(x,t)=a(T)bmhIm(x,t)Nh(x,t).\lambda_h(x,t) =a(T)b_{mh} \frac{I_m(x,t)}{N_h(x,t)}.

蚊媒感染力：

λm(x,t)=a(T)bhmIh(x,t)Nh(x,t).\lambda_m(x,t) =a(T)b_{hm} \frac{I_h(x,t)}{N_h(x,t)}.

若只追蹤感染蚊而省略暴露蚊，會忽略外潛伏期；此簡化必須在結果中說明。

五、移動

本地混合用擴散：

MIlocal=DI∇2I.\mathcal M_I^{\mathrm{local}}=D_I\nabla^2I.

跨區移動用非局部核：

MInonlocal=κI[∫ΩK(x−y)I(y) dy−I(x)].\mathcal M_I^{\mathrm{nonlocal}} =\kappa_I \left[\int_\Omega K(x-y)I(y)\,dy-I(x)\right].

核函數必須歸一化，邊界處亦要保守；否則人口會憑空增加或消失。

六、R0R_0 場

在局部、固定溫度與完全易感近似下，典型蚊媒傳播數可寫為

R0(T)=a(T)2bhmbmhM∗(T)σm(T)NhγhμM(T)[σm(T)+μM(T)].R_0(T) =\sqrt{ \frac{ a(T)^2b_{hm}b_{mh} M^*(T)\sigma_m(T)} {N_h\gamma_h\mu_M(T) [\sigma_m(T)+\mu_M(T)]} }.

不同狀態結構會得到不同公式。R0(x,t)R_0(x,t) 是局部入侵指標，不是「該格將有多少病例」，在強移動和非自治季節系統中尤其要小心。

七、疫苗配置

若時段 tt 可用劑量為 BtB_t：

∑xν(x,t)S(x,t)Δx≤Bt.\sum_x\nu(x,t)S(x,t)\Delta x\le B_t.

比較人口比例、熱點、風險梯度及最小公平保障策略。最佳化目標可為累積感染

min⁡ν∫0T∫ΩI(x,t) dx dt,\min_\nu\int_0^T\int_\Omega I(x,t)\,dx\,dt,

但必須加入可配送速度、資格、接受率及地區最低覆蓋。

八、數值方法

每步以 operator splitting 分開反應、擴散和非局部卷積。可信度檢查包括：

  • S+E+I+R+VS+E+I+R+V 的人口帳；
  • 非負性；
  • Δt\Delta t 減半與網格加密；
  • 無移動時回復 ODE；
  • 無感染時疾病狀態保持零；
  • 核卷積在邊界保持總量。

九、如何解讀實驗

合成實驗顯示季節振幅可以主導年度負擔，而小尺度空間異質性較影響病例位置；不同移動核亦會改變熱點佔用時間。這些是機制結果，不是地區估計。策略差異若小於參數不確定性，就不應宣稱一種疫苗配置明顯優勝。

十、限制

模型未納入血清型、既往免疫、垂直傳播、降雨容器、通勤網絡、病例通報偏差和蚊控行動。下一步應以本地蚊媒與病例資料建立階層校準，並用留出年份檢查空間預測。

參考資料

  1. Mordecai et al., temperature effects on mosquito-borne disease transmission.
  2. World Health Organization, dengue and severe dengue guidance.
  3. Diekmann, Heesterbeek, and Roberts, construction of next-generation matrices.
  4. Strang, operator splitting methods.