Kenneth Cheng數學建模

研究筆記

城市垂直生菜農場：生物、能源與經濟的整合最佳化

以一座六層室內農場為合成案例，建立光譜反應、作物產量、照明與冷卻能耗、營運成本及多目標取捨模型，並說明原始結果尚未通過實測校準的限制。

2025年7月24日 · 約 6 分鐘閱讀

封存文章

本文是一個以假設參數建立的垂直農業建模練習，不是已營運設施的可行性報告。 原始計算曾出現能耗強度接近零、回本期互相矛盾等問題；本文保留建模框架， 但把未經驗證的結果清楚標示，亦不再把合成輸出當作商業承諾。

垂直農場把栽培面積堆疊到受控環境之中，可以減少土地需求、縮短供應鏈並提高循環用水率； 代價則是照明、冷卻、除濕、泵送與設備投資。若只最大化產量，可能得到電費極高的方案； 若只壓低能耗，又可能令產量不足以覆蓋固定成本。

本案例假設一座地面面積 500 m2500\ {\rm m^2}、六層栽培架的生菜設施，總冠層面積為 3,000 m23,000\ {\rm m^2}，每批作物週期約 30 日。研究問題是：

在光強、光週期、紅藍光比例、二氧化碳濃度、設備效率與市場價格不確定時， 哪些操作設定能在產量、能源、排放與財務表現之間形成可接受的取捨？

一、模型邊界

模型由四個互相連接的部分組成：

  1. 作物反應： 由 PPFD、DLI、光譜與 CO2\mathrm{CO_2} 推算每平方米鮮重；
  2. 工程系統： 推算 LED、冷卻、除濕與循環泵的電力需求；
  3. 經濟帳： 把產量、售價、能源、水、耗材、人工與資本成本放入現金流；
  4. 決策層： 尋找非支配方案，並用敏感度與 Monte Carlo 評估不確定性。

原始模型沒有逐日生長資料、實際 HVAC 負荷、作物損耗、人工排班或澳門長期售價序列， 因此只能作為框架示範。

二、作物與光照模型

1. DLI

若光合光子通量密度為 PPFD\mathrm{PPFD}，每日光照時數為 HH， 每日光量積分為

DLI=PPFD×H×3600106[mol m−2 day−1].\mathrm{DLI} =\frac{\mathrm{PPFD}\times H\times3600}{10^6} \quad \left[\mathrm{mol\,m^{-2}\,day^{-1}}\right].

這個換算必須與燈具效率和實際冠層均勻度一致，不能一方面設定 DLI， 另一方面再獨立套入與它不相容的 duty cycle。

2. 光使用效率

舊模型用一條線性函數表達高光強下的邊際回報：

LUE(PPFD)=44−0.09(PPFD−200).\mathrm{LUE}(\mathrm{PPFD}) =44-0.09(\mathrm{PPFD}-200).

再以 Gaussian 因子描述藍紅比例 rr：

fspectrum(r)=1+0.08exp⁡[−(r−0.2)20.152].f_{\rm spectrum}(r) =1+0.08 \exp\left[ -\frac{(r-0.2)^2}{0.15^2} \right].

這種寫法把最適比例預先固定為 r=0.2r=0.2，所以最佳化器最後找到 0.2 並不是獨立發現， 而是方程設計的直接結果。若要作實證研究，應用不同生長階段、品種和光譜的觀測資料 估計參數，並把不確定性帶入最佳化。

3. CO2\mathrm{CO_2} 反應

模型採用飽和反應：

fCO2(C)=1+0.22C−420550+(C−420).f_{\mathrm{CO_2}}(C) =1+0.22\frac{C-420}{550+(C-420)}.

它避免產量隨濃度無限線性增加，但仍沒有處理溫度、氣孔導度、洩漏和注氣成本的交互作用。 在受控環境中，CO2\mathrm{CO_2} 效益取決於光照與冠層狀態，不能獨立解讀。

4. 合成產量

原始整合式寫成

Y=LUE(PPFD)fspectrum(r)fCO2(C)DLI1000.Y = \mathrm{LUE}(\mathrm{PPFD}) f_{\rm spectrum}(r) f_{\mathrm{CO_2}}(C) \frac{\mathrm{DLI}}{1000}.

這條式子可用來探索方向，但單位與鮮重／乾重換算需要重新校準。 在未以收穫數據估計前，文中所稱每批 2.02.0–3.5 kg m−23.5\ {\rm kg\,m^{-2}} 只是模型設定下的量級檢查。

三、能源模型

1. 光譜相關 LED 效率

假設紅光與藍光燈具的光子效率分別為

ηR=3.0,ηB=2.55[μmol J−1],\eta_R=3.0,\qquad \eta_B=2.55 \quad \left[\mu{\rm mol\,J^{-1}}\right],

則簡化混合效率為

ηLED(r)=(1−r)ηR+rηB.\eta_{\rm LED}(r) =(1-r)\eta_R+r\eta_B.

LED 電功率應從光子需求推導：

PLED=PPFD AcanopyηLED(r)×10−6.P_{\rm LED} =\frac{\mathrm{PPFD}\,A_{\rm canopy}} {\eta_{\rm LED}(r)} \times10^{-6}.

每日照明電量是 ELED=PLEDHE_{\rm LED}=P_{\rm LED}H。若使用脈衝照明， duty cycle 必須同時改變瞬時 PPFD、平均 DLI 和 driver efficiency； 不能只把電量乘上一個折扣而保持植物接收光量不變。

2. 冷卻與除濕

若先作概念估算，可把進入房間的電功率大部分視為熱負荷：

Qsensible≈fhELED.Q_{\rm sensible}\approx f_hE_{\rm LED}.

冷卻用電約為

Ecool=QsensibleCOP.E_{\rm cool}=\frac{Q_{\rm sensible}}{\mathrm{COP}}.

但垂直農場還有蒸散造成的 latent load、新風、圍護結構、泵、風扇和除濕再熱。 只把 LED 熱量除以 COP 會低估總電耗。原模型在驗證表中產生 0.0 kWh kg−10.0\ {\rm kWh\,kg^{-1}}，已足以證明單位或分母實作有錯； 因此所有由該能耗推導的排放、利潤與回本期都要重新計算。

3. 強度指標

一致的能源強度應為

kE=ELED+Ecool+Edehumid+Epumps+EfansMsaleable,k_E =\frac{E_{\rm LED}+E_{\rm cool}+E_{\rm dehumid} +E_{\rm pumps}+E_{\rm fans}} {M_{\rm saleable}},

分母是實際可售質量，而非理論總鮮重。損耗率、批次間清潔時間與部分負載效率亦應納入。

四、經濟與碳排帳

每日營運利潤可寫成

Πd=pyMd−ceEd−cwWd−ccCd−Clabour−Cconsumables−Cmaintenance.\Pi_d =p_yM_d -c_eE_d -c_wW_d -c_cC_d -C_{\rm labour} -C_{\rm consumables} -C_{\rm maintenance}.

簡單回本期

Tpayback=CapExΠannualT_{\rm payback} =\frac{\mathrm{CapEx}}{\Pi_{\rm annual}}

只在年淨現金流為正且大致固定時有意義。較完整的投資分析應使用折現現金流：

NPV=−CapEx+∑t=1TCashFlowt(1+rd)t,\mathrm{NPV} =-\mathrm{CapEx} +\sum_{t=1}^{T} \frac{\mathrm{CashFlow}_t}{(1+r_d)^t},

並納入設備更換、產能爬坡、折舊、融資和殘值。

用電造成的 operational carbon 可由

Gelectricity=Eannual EFgridG_{\rm electricity} =E_{\rm annual}\,EF_{\rm grid}

估算，但比較進口蔬菜時還需一致的生命週期邊界，包括建築與設備 embodied carbon、 冷鏈、包裝、食物損耗與運輸。舊文聲稱排放低 25–35%、用水減少 90%、 土地效率提高 300–600 倍，卻沒有提供可追查基準；本文不把它們保留為結論。

五、多目標最佳化

設決策向量

z=(DLI,H,r,C,set-points),\mathbf z=(\mathrm{DLI},H,r,C,\text{set-points}),

可同時考慮

max⁡Π,min⁡kE,min⁡G.\max \Pi,\qquad \min k_E,\qquad \min G.

可行性條件包括設備功率、溫濕度控制範圍、最低可售產量與安全的 CO2\mathrm{CO_2} 上限。若方案 z1\mathbf z_1 在所有目標不差於 z2\mathbf z_2， 且至少一項更好，便支配 z2\mathbf z_2。其餘非支配點形成 Pareto frontier。

原網格搜尋評估約 1,100 組參數並回報 11 個 Pareto 點。 「11」不是系統固有性質：它會隨網格密度、變數範圍、限制與計算錯誤而改變。 合理做法是先修正能耗模型，再檢查加密網格或另一最佳化方法是否得到相近前沿。

六、不確定性分析

舊實驗對六個參數施加獨立 ±15%\pm15\% 擾動，包括 LED 效率、COP、用水、電價、 售價和 CapEx。這個設計可作最初的敏感度測試，但統一百分比並不等於資料支持的概率分布， 各變數亦未必互相獨立。

較穩健的流程是：

  1. 為每個輸入標明來源、年份、單位與分布；
  2. 區分 aleatory variability 與 epistemic uncertainty；
  3. 使用足夠 Monte Carlo 樣本並檢查收斂；
  4. 報告 profit、NPV、energy intensity 等輸出的整體分布；
  5. 以 global sensitivity 指標找出最值得收集新資料的參數。

原文只用 100 次模擬便報告「平均年利潤 MOP 1,453,335\mathrm{MOP}\ 1{,}453{,}335、波動 9.3%」，而另一段又給出不同回本期和年利潤。 在能源 bug、參數來源與樣本收斂未解決前，這些數字只能作除錯輸出，不能支援投資決策。

七、原始輸出透露了甚麼

原模型曾報告：

  • 每月理論產量 4,987 kg4,987\ {\rm kg}；
  • DLI 22 mol m−2 day−122\ {\rm mol\,m^{-2}\,day^{-1}}；
  • 藍紅比例 0.200.20；
  • CO2=1,200 ppm\mathrm{CO_2}=1,200\ {\rm ppm}；
  • 8.3 年回本期及其他互相不一致的財務值。

其中 DLI、光譜和 CO2\mathrm{CO_2} 都位於搜尋範圍中預先偏好的位置； 它們不是由場內資料辨識出的因果最優設定。最值得保留的發現反而是：

  1. 植物反應與燈具效率必須放在同一個模型；
  2. HVAC 與除濕負荷可反轉表面上「省電」的照明方案；
  3. 售價、良率、CapEx 和電價的不確定性可能比小幅光譜調整更影響 NPV；
  4. Pareto front 比單一「最佳設定」更適合與營運者討論。

八、如何把練習變成可驗證研究

一個具體的下一步不是擴大部署，而是做小型 factorial experiment：

  • 選兩至三個 DLI、兩個藍光比例和兩個 CO2\mathrm{CO_2} 水平；
  • 每組設獨立重複和區組，以處理層架位置效應；
  • 量度乾重、鮮重、葉面積、品質、用電、除濕水量與可售率；
  • 用 hierarchical response model 估計品種與批次差異；
  • 以留出批次驗證產量模型；
  • 把實測 HVAC load 與生長模型接入 techno-economic analysis。

在這個階段，互動視覺化應展示參數假設與不確定區間，而不只是標示一個漂亮最優點。

結論

垂直農場是一個典型的 coupled-system 問題：光子改變生物量，也改變熱負荷； 熱負荷影響冷卻與除濕；產量和可售率再進入收入與單位能耗。 原模型成功列出這些連結，卻因能耗計算錯誤及多個未校準參數，未能支持所報告的商業結論。

把它作為研究起點時，應保留整合架構，刪除「100% 完成」之類自我評分， 優先修正單位、建立實驗資料、使用折現現金流，並將最佳化結果表達為帶不確定性的決策前沿。 這樣才能由一個概念性比賽模型，逐步走向可重現、可否證的受控環境農業研究。