Kenneth Cheng數學建模

研究筆記

船閘節水池最佳化：由水量守恆到全壽命成本

以逐次均衡的水力狀態模型，重新整理船閘節水池的容量、標高、閥門時間與經濟最佳化問題。

2024年12月26日 · 約 3 分鐘閱讀

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本文由早期 IMMC 建模筆記重新編輯。原實驗以隨機參數及簡化成本代理量產生圖表，未構成真實船閘設計。以下保留研究構想，同時清楚分開守恆定律、理想化假設與仍待工程資料驗證的部分。

船閘每完成一次升降，都要在閘室與上下游之間交換大量水。側置節水池的做法，是在排水時暫存部分水，在下一次注水時重用。真正的設計問題不是「池愈多愈好」，而是：

在指定升程、閘室尺寸、通航時間與可用土地之下，多少個池、甚麼標高與面積，能以最低全壽命成本降低每次過閘的外部取水量？

一、先建立可追蹤的水量帳

若閘室與第 ii 個垂直側壁水池的平面面積分別為 Ac,AiA_c,A_i，連通前水位為 hc,hih_c,h_i，忽略滲漏與自由表面動能，兩者達到均衡時

heq=Achc+AihiAc+Ai.h_{\mathrm{eq}} =\frac{A_ch_c+A_ih_i}{A_c+A_i}.

交換水量可由任一側計算：

ΔVi=Ac(hc−heq)=Ai(heq−hi).\Delta V_i =A_c(h_c-h_{\mathrm{eq}}) =A_i(h_{\mathrm{eq}}-h_i).

每次開閥後都必須更新兩個水位，再連接下一個池。這個逐次狀態更新很重要：同一立方米水不能在多個池重複計作節省量。

若傳統閘室升程為 HH，理想垂直閘室一次注水的基準量可寫成

V0=AcH.V_0=A_cH.

節水率應以完整過閘週期的外部取水差額定義：

η=1−Vexternal,WSBVexternal,baseline.\eta =1-\frac{V_{\mathrm{external,WSB}}} {V_{\mathrm{external,baseline}}}.

它不是 ∑iVi/Vc\sum_iV_i/V_c。後一式會忽略初始水位、殘餘水頭、操作次序與重複計算。

二、操作時間也是約束

均衡水位只描述最終狀態，未回答要等多久。若閥門等效開口面積為 ava_v，可用孔口流近似瞬時流量

Q=Cdav2g ∣Δh∣,Q=C_da_v\sqrt{2g\,|\Delta h|},

並把方向另作處理。水位差接近零時流量下降，因此每一步都要積分水位 ODE，而不能用「體積除以初始流量」代替。

候選設計至少要通過：

  • 水量守恆誤差低於容許值；
  • 池與閘室水位不越界；
  • 排水、注水與閘門操作在週期時間內完成；
  • 閥門流速、空化與船舶繫泊力符合工程限制；
  • 故障一個池或一個閥門時仍可安全運作。

三、把幾何設計變成混合整數問題

設計變數可以包括池數 nn、面積 AiA_i、底部標高 ziz_i、有效水深、閥門尺寸與操作次序。池數必須是整數，而不是由連續均勻分佈抽樣。

一個較完整的目標函數是全壽命淨現值：

min⁡x  Ccap(x)+∑y=1YCOM,y(x)+Cenergy,y(x)−pwVsaved,y(x)(1+r)y.\min_x\; C_{\mathrm{cap}}(x) +\sum_{y=1}^{Y} \frac{C_{\mathrm{OM},y}(x)+C_{\mathrm{energy},y}(x) -p_wV_{\mathrm{saved},y}(x)} {(1+r)^y}.

pwp_w 是水的影子價格，而非只看帳面水費；缺水造成的通航限制也可轉化為情境成本。土地、結構、泵閥、維修、停航與可靠性都應進入模型。

對每個整數 nn，可先以水力模擬器評估候選幾何，再用無梯度或混合整數演算法搜尋。最後得到的不是一個神奇池數，而是一條「節水—成本—時間—可靠性」Pareto 前沿。

四、多級船閘

多閘室系統需要以網絡狀態描述：

hk+1=F(hk,uk;θ),\mathbf h_{k+1}=F(\mathbf h_k,u_k;\theta),

其中 h\mathbf h 包含所有閘室與水池水位，uku_k 表示第 kk 次連通或外部供排水操作。流量矩陣每一列與每一欄都要對應實際連接，並逐步檢查總體積。

交通方向亦會改變最佳策略。若上、下行船隻可協調，兩個閘室之間可能直接交換水；若到達時間高度不規則，就要加入排隊與儲水容量。純靜態矩陣無法回答這個問題。

五、原模型教會我們甚麼

早期程式把建造成本寫成「池數 × 平均高度 × 總面積」，其單位仍是體積，並非貨幣；又把維修費固定為該值的 10%，沒有折現。最佳化輸出更出現「四個池卻有六個面積」的決策向量錯配。這些不是小瑕疵，而是提醒：

  1. 每個輸出都要能反向追蹤至一個有單位的變數；
  2. 決策向量的長度、索引與幾何物件數必須自動測試；
  3. 圖上標示的「最佳區域」不能預先硬編碼；
  4. 巴拿馬運河約 63% 的節水表現屬特定三池設計與操作條件，不是三池系統的普遍定理。

六、可實行的驗證流程

  • 用一池解析均衡式驗證數值積分；
  • 對每次連通輸出前後水位、流量積分及守恆殘差；
  • 以時間步長收斂測試確認操作時間；
  • 以實際閘室剖面、閥門曲線及操作紀錄校準；
  • 對船流量、水價、旱季水位與設備失效做蒙地卡羅或情境分析；
  • 最後才由工程師在 Pareto 解集中選擇可施工方案。

這個重構把問題由「畫出節水率曲線」改成可審核的設計流程：先守恆，再水力，再營運，最後才談經濟最優。

參考資料

  1. International Mathematical Modeling Challenge, 2025 Problem A: Water-Saving Basins for Navigation Locks.
  2. U.S. Army Corps of Engineers, Hydraulic Design of Navigation Locks.
  3. PIANC, inland navigation lock design and operation guidance.
  4. Panama Canal Authority, technical descriptions of the Third Set of Locks and its water-saving basins.