先看懂關鍵， 再解好每一題。

1. 整理二次項與一次項。

   $$f(x)=2(x^2-6x)+13$$

2. 配成完全平方，並保持等式成立。

   $$f(x)=2[(x-3)^2-9]+13=2(x-3)^2-5$$

3. 平方項在 x = 3 時最小，且拋物線開口向上。

   $$(h,k)=(3,-5),\qquad \min f=-5$$

頂點為 (3, −5)，對稱軸為 x = 3；在 x = 3 時最小值為 −5。

檢查與易錯點：展開 2(x − 3)² − 5 可還原原式。係數 2 使圖像縱向伸展，不會改變頂點的橫坐標。

1. 辨認係數並計算判別式。

   $$\Delta=(-6)^2-4(1)k=36-4k$$

2. 有重根時判別式須為零。

   $$36-4k=0\Rightarrow k=9$$

3. 代入參數並因式分解。

   $$y=x^2-6x+9=(x-3)^2$$

k = 9；圖像在 (3, 0) 與 x 軸相切。

檢查與易錯點：k < 9 時有兩個交點；k > 9 時沒有交點。改變 k 會使圖像上下移，而對稱軸仍是 x = 3。

1. 用 x 表示另一邊長。

   $$\ell=14-x$$

2. 兩邊長相乘，並配方。

   $$A(x)=x(14-x)=49-(x-7)^2$$

3. 平方項不小於零，而 x = 7 在容許範圍內。

   $$A(x)\le49,\qquad A(7)=49$$

最大面積為 49 平方米，在邊長為 7 米的正方形取得。

檢查與易錯點：面積圖像開口向下，頂點是 (7, 49)。須檢查定義域，因為邊長為負或為零均不符合展示區的情境。

1. 改寫括號，辨認 h。

   $$x+2=x-(-2)$$

2. 讀出頂點；二次項係數為負會改變開口方向。

   $$(h,k)=(-2,7)$$

B：頂點為 (−2, 7)。

檢查與易錯點：圖像開口向下，最大值是 7。係數 −3 並不是頂點坐標。

1. 計算判別式。

   $$\Delta=4^2-4(1)(8)=-16<0$$

2. 用頂點式核對結論。

   $$x^2+4x+8=(x+2)^2+4\ge4$$

D：沒有實根。

檢查與易錯點：整條圖像位於 x 軸上方。判別式為負，不代表函數值為負。

1. 把二次式因式分解。

   $$2x^2-7x+3=(2x-1)(x-3)$$

2. 乘積為零時，最少一個因式為零。

   $$2x-1=0\ \text{or}\ x-3=0\Rightarrow x=\tfrac12\ \text{or}\ 3$$

C：兩根為 1/2 和 3。

檢查與易錯點：兩根之和為 7/2，積為 3/2，符合 −b/a 及 c/a；代入原式亦均得到零。

1. 把頂點連同圖像一起平移。

   $$(1,2)\longmapsto(1-3,2-4)=(-2,-2)$$

2. 保留開口方向與伸展比例，代入新頂點。

   $$y=(x-(-2))^2-2=(x+2)^2-2$$

A：y = (x + 2)² − 2。

檢查與易錯點：向左平移須把原式的 x 換成 x + 3，而非 x − 3。

1. 配成完全平方。

   $$f(x)=3[(x+2)^2-4]+5=3(x+2)^2-7$$

2. 令非負的平方項等於零。

   $$f(-2)=-7=\min f$$

最小值是 −7，在 x = −2 時取得。

檢查與易錯點：題目要求頂點的縱坐標。−2 是取得最小值時的 x 值，並非最小值。

1. 利用根與係數的關係。

   $$\alpha+\beta=5,\qquad \alpha\beta=2$$

2. 用已知的和與積表示所求數值。

   $$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=25-4=21$$

兩根的平方和為 21。

檢查與易錯點：兩根的和平方後會多出 2αβ；若沒有減去這一項便會得到 25，而不是兩根的平方和。

1. 把平方差因式分解。

   $$(x-4)(x+4)=0$$

2. 選取正根。

   $$x=4$$

正根為 4。

檢查與易錯點：完整解集為 {−4,4}；「正根」限制了所求答案。

1. 估計平方項。

   $$-2(x-1)^2\le0$$

2. 在 x=1 時取等號。

   $$\max y=8$$

在 x=1 時最大值為 8。

檢查與易錯點：二次項係數的正負決定頂點為最大值或最小值。

1. 代入係數。

   $$\Delta=2^2-4(1)(5)$$

2. 負值表示沒有實根。

   $$\Delta=-16<0$$

判別式為 −16，沒有實根。

檢查與易錯點：判別式為負不代表沒有複數根。

1. 參數為零時是一次方程。

   $$m=0\Rightarrow x=2$$

2. 按判別式分類二次方程。

   $$m\ne0:\quad \Delta=9+24m$$

3. 保留一次方程的特殊情況。

   $$m<-3/8:0;\quad m=-3/8:1;\quad m>-3/8,\ m\ne0:2$$

m=0 有一個一次方程根；m=−3/8 有重根 x=4；其餘根數按判別式分類。

檢查與易錯點：a≠0 不可省略；m=0 時使用求根公式會除以零。

1. 把角度換成弧度。

   $$150^\circ=150\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}\ \text{rad}$$

2. 把單位圓上的點對縱軸反射。

   $$\sin150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin30^\circ$$

3. 讀出縱坐標的精確值。

   $$\sin\frac{5\pi}{6}=\frac12$$

150° = 5π/6 弧度，其正弦為 1/2。

檢查與易錯點：對縱軸反射會保留正弦值，並改變餘弦的正負號。若正弦為負，該點便會在橫軸下方。

1. 振幅是縱向乘數的絕對值。

   $$|A|=|-2|=2,\qquad D=1$$

2. 求使角增加一周所需的 x 增量。

   $$3T=2\pi\Rightarrow T=\frac{2\pi}{3}$$

3. 把值域伸展後，加上垂直位移。

   $$-1\le\cos(3x)\le1\Rightarrow -1\le y\le3$$

振幅為 2，週期為 2π/3，中線為 y = 1，值域為 [−1, 3]。

檢查與易錯點：負乘數使餘弦曲線對中線反射。x = 0 時曲線處於最小值 −1，但振幅仍為正數。

1. 由中線與振幅讀出最大高度。

   $$h_{\max}=4+3=7$$

2. 解達到波峰的時間條件。

   $$\frac{\pi}{6}(t-2)=\frac\pi2+2\pi n\Rightarrow t=5+12n,\quad n\in\mathbb Z$$

3. 檢查觀察範圍：前一個波峰在 t = 0 之前。

   $$t=-7,\ 5,\ 17,\ldots\Rightarrow t_{\mathrm{first}}=5$$

首次在 t = 5 小時達到最高點，高度為 7 米。

檢查與易錯點：模型的週期是 12 小時，並向右移 2 小時。此位移對應向上穿越中線的時刻，而非首次最高點。本模型為自編情境，並非實測紀錄。

1. 辨認參考角。

   $$\frac{2\pi}{3}=\pi-\frac\pi3$$

2. 把單位圓的橫坐標反射。

   $$\cos\left(\pi-\frac\pi3\right)=-\cos\frac\pi3=-\frac12$$

B：−1/2。

檢查與易錯點：正的 √3/2 是此角的正弦。須分辨橫坐標（餘弦）與縱坐標（正弦）。

1. 令角的增量等於一周。

   $$2(x+T)-2x=2\pi$$

2. 求出 x 的週期。

   $$2T=2\pi\Rightarrow T=\pi$$

C：最小正週期為 π 弧度。

檢查與易錯點：在 x 軸上長度為 2π 的區間內，此曲線完成兩個循環。振幅為 3，與週期分開判斷。

1. 把角與 x − h 比較。

   $$h=\frac\pi4$$

2. 讀出垂直位移，並核對一個參考點。

   $$(0,0)\longmapsto\left(\frac\pi4,1\right)$$

D：向右平移 π/4，再向上平移 1。

檢查與易錯點：x = π/4 時，正弦內的角等於零，輸出為 1，可核對兩個平移方向。

1. 求出縱向參數。

   $$D=\frac{8+2}{2}=5,\qquad A=\frac{8-2}{2}=3$$

2. 由週期求橫向乘數。

   $$B=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac12$$

3. 餘弦係數為正，便得到所需的起始波峰。

   $$y(0)=3\cos0+5=8$$

A：y = 3 cos(x/2) + 5。

檢查與易錯點：B 把振幅誤作完整高低差；C 的週期錯誤；D 從最小值開始。每一項條件都可排除一種不同錯誤。

1. 以度寫出完整循環的條件。

   $$4T=360$$

2. 除以橫向乘數。

   $$T=\frac{360}{4}=90$$

最小正週期為 90°。

檢查與易錯點：振幅 2 與向下位移 3 不改變週期。π/2 弧度表示相同角距，但不是題目要求的數值單位。

1. 令函數內的角等於正弦達到波峰時的角。

   $$2x-\frac\pi3=\frac\pi2+2\pi n$$

2. 解關於 x 的一次方程。

   $$x=\frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3. 前一個解為負；把最小正解除以 π。

   $$c=\frac5{12}\approx0.416666667$$

c = 5/12 ≈ 0.416666667，因此第一個正 x 波峰在 x = 5π/12。

檢查與易錯點：水平位移是 π/6，而四分之一週期為 π/4；兩者相加是 5π/12。若輸入小數，請最少保留六個小數位。

1. 使用角度轉換。

   $$60^\circ=\frac{60}{180}\pi$$

2. 讀出 π 的係數。

   $$c=\frac13$$

c=1/3。

檢查與易錯點：所求數值是係數，而非弧度值本身。

1. 以對邊除以斜邊。

   $$\sin30^\circ=\frac12$$

2. 輸入分數或小數。

   $$\frac12=0.5$$

1/2。

檢查與易錯點：此角以度為單位；30 弧度是另一個角。

1. 考慮水平伸縮。

   $$T=\frac{2\pi}{3}$$

2. 讀出係數。

   $$c=\frac23$$

c=2/3。

檢查與易錯點：頻率參數 3 使週期除以 3，而非乘以 3。

1. 一個有效反例足以否定對所有實數的聲稱。

   $$\sin(3\pi/2)=-1\ne1=\sin(\pi/2)$$

2. 使用和角公式。

   $$\sin(x+\pi)=\sin x\cos\pi+\cos x\sin\pi=-\sin x$$

反例 x=π/2；正確恆等式為 sin(x+π)=−sin x。

檢查與易錯點：半周轉動使正弦變號；正弦的完整週期為 2π。