觀察・解釋
比較兩條候選線：一條垂直但不經中點，另一條經中點但斜放。它們分別欠缺哪個定義條件？
線段的垂直平分線經其中點並與它垂直。線上點到兩端距離相等；逆命題亦成立。
可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。
M 是 AB 的中點，P 不在 AB 上，且 PM⊥AB。證明 PA=PB。
△PMA≅△PMB（SAS），所以 PA=PB。
H 是 CD 的中點，Q 不在 CD 上，QH⊥CD。完成 QC=QD 的證明。
CH=DH、H 點兩個夾角均為90°，且 QH 公共；由 SAS 得 QC=QD。
M 是 AB 的中點，AB=10 cm。求 AM。
AM=5 cm。
A、M、B 共線，P 不在 AB 上，且 PM⊥AB。∠PMA 是多少？
90°，由垂直的定義。
M 是 AB 的中點，AB=18 cm。求 AM。
AM=9 cm。
P 在 AB 的垂直平分線上。若 PA=8 cm，求 PB 並寫出所用性質。
PB=8 cm；垂直平分線上的點到兩端距離相等。
P 在 AB 的垂直平分線上。PA=3x+1 cm、PB=2x+5 cm。求 x 並核對兩個距離。
x=4；PA=PB=13 cm。
P 不在 AB 上，且 PA=PB。M 是 AB 的中點。證明 PM⊥AB，並推出 P 在 AB 的垂直平分線上。
△PMA≅△PMB（SSS）；M 點兩個相鄰等角合共180°，因此各為90°。
一直線經 AB 的中點，但未給出它垂直 AB。線上每一點是否必定到 A、B 等距？
不一定；垂直平分線同時需要中點及垂直。
一直線垂直 AB，但交點不是 AB 中點。它能否是 AB 的垂直平分線？
不能；它還必須經過唯一的中點。
M 是 AB 的中點，AB=7.6 cm。求 AM。
AM=3.8 cm。
P 在 AB 的垂直平分線上。若 PA=11.5 cm，求 PB 並寫出所用性質。
PB=11.5 cm；垂直平分線上的點到兩端距離相等。
若 A≠B 且 PA=PB，使用垂直平分線逆命題前，是否要 P 位於某個指定角內？與角平分線逆命題比較。
線段的垂直平分線逆命題不需要指定角內條件；所述內角平分線逆命題則要求 P 在該角內。
已知 M 是中點且 PM⊥AB，要證 PA=PB。同學寫「PA=PB，所以由 HL 得全等」。指出循環的一步及有效判定。
PA=PB 原是待證，並非已知。應用 AM=BM、公共邊 PM 及夾直角作 SAS。
A、B、C 不共線。P 在 AB 及 BC 的垂直平分線上。證明 P 亦在 AC 的垂直平分線上。
PA=PB、PB=PC，故 PA=PC；由逆命題得 P 在 AC 的垂直平分線上。
M 是 AB 的中點。若 P=M，平常的 SAS 三角形會退化。PA=PB 是否仍成立？不用全等三角形說明。
仍成立；PA=MA、PB=MB，而由中點定義 MA=MB。
先備：中點、垂直直線、SAS、SSS 及平角內的鄰角。三角形證明中 P 不在 AB 上；P 為中點的情況另外討論。
正向以 SAS 證明，不可先假設待證的斜邊相等再用 HL。SSS 逆向在推出相鄰等角均為90°前，不先標直角。其他有據的證法亦接受。
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M 是 AB 的中點，P 不在 AB 上，且 PM⊥AB。證明 PA=PB。
△PMA≅△PMB（SAS），所以 PA=PB。
H 是 CD 的中點，Q 不在 CD 上，QH⊥CD。完成 QC=QD 的證明。
CH=DH、H 點兩個夾角均為90°，且 QH 公共；由 SAS 得 QC=QD。
M 是 AB 的中點，AB=10 cm。求 AM。
AM=5 cm。
A、M、B 共線，P 不在 AB 上，且 PM⊥AB。∠PMA 是多少？
90°，由垂直的定義。
M 是 AB 的中點，AB=18 cm。求 AM。
AM=9 cm。
P 在 AB 的垂直平分線上。若 PA=8 cm，求 PB 並寫出所用性質。
PB=8 cm；垂直平分線上的點到兩端距離相等。
P 在 AB 的垂直平分線上。PA=3x+1 cm、PB=2x+5 cm。求 x 並核對兩個距離。
x=4；PA=PB=13 cm。
P 不在 AB 上，且 PA=PB。M 是 AB 的中點。證明 PM⊥AB，並推出 P 在 AB 的垂直平分線上。
△PMA≅△PMB（SSS）；M 點兩個相鄰等角合共180°，因此各為90°。
一直線經 AB 的中點，但未給出它垂直 AB。線上每一點是否必定到 A、B 等距？
不一定；垂直平分線同時需要中點及垂直。
一直線垂直 AB，但交點不是 AB 中點。它能否是 AB 的垂直平分線？
不能；它還必須經過唯一的中點。
M 是 AB 的中點，AB=7.6 cm。求 AM。
AM=3.8 cm。
P 在 AB 的垂直平分線上。若 PA=11.5 cm，求 PB 並寫出所用性質。
PB=11.5 cm；垂直平分線上的點到兩端距離相等。
若 A≠B 且 PA=PB，使用垂直平分線逆命題前，是否要 P 位於某個指定角內？與角平分線逆命題比較。
線段的垂直平分線逆命題不需要指定角內條件；所述內角平分線逆命題則要求 P 在該角內。
已知 M 是中點且 PM⊥AB，要證 PA=PB。同學寫「PA=PB，所以由 HL 得全等」。指出循環的一步及有效判定。
PA=PB 原是待證，並非已知。應用 AM=BM、公共邊 PM 及夾直角作 SAS。
A、B、C 不共線。P 在 AB 及 BC 的垂直平分線上。證明 P 亦在 AC 的垂直平分線上。
PA=PB、PB=PC，故 PA=PC；由逆命題得 P 在 AC 的垂直平分線上。
M 是 AB 的中點。若 P=M，平常的 SAS 三角形會退化。PA=PB 是否仍成立？不用全等三角形說明。
仍成立；PA=MA、PB=MB，而由中點定義 MA=MB。
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學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。
按所列技能編寫的原創練習；教材頁碼供使用自己的課本時對照。
大湾区初中数学三维课堂（八年级上册）正文.pdf
八上・正文 31–32 頁・基訓第 16 課時
題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。
八上・正文 31–32 頁・基訓第 16 課時 · 1/2
姓名：__________ 班別：______ 日期：__________
M 是 AB 的中點，P 不在 AB 上，且 PM⊥AB。證明 PA=PB。
H 是 CD 的中點，Q 不在 CD 上，QH⊥CD。完成 QC=QD 的證明。
M 是 AB 的中點，AB=10 cm。求 AM。
A、M、B 共線，P 不在 AB 上，且 PM⊥AB。∠PMA 是多少？
八上・正文 31–32 頁・基訓第 16 課時 · 2/2
姓名：__________ 班別：______ 日期：__________
M 是 AB 的中點，AB=18 cm。求 AM。
P 在 AB 的垂直平分線上。若 PA=8 cm，求 PB 並寫出所用性質。
P 在 AB 的垂直平分線上。PA=3x+1 cm、PB=2x+5 cm。求 x 並核對兩個距離。
P 不在 AB 上，且 PA=PB。M 是 AB 的中點。證明 PM⊥AB，並推出 P 在 AB 的垂直平分線上。
一直線經 AB 的中點，但未給出它垂直 AB。線上每一點是否必定到 A、B 等距？
一直線垂直 AB，但交點不是 AB 中點。它能否是 AB 的垂直平分線？
八上・正文 31–32 頁・基訓第 16 課時
M 是 AB 的中點，AB=7.6 cm。求 AM。
P 在 AB 的垂直平分線上。若 PA=11.5 cm，求 PB 並寫出所用性質。
若 A≠B 且 PA=PB，使用垂直平分線逆命題前，是否要 P 位於某個指定角內？與角平分線逆命題比較。
已知 M 是中點且 PM⊥AB，要證 PA=PB。同學寫「PA=PB，所以由 HL 得全等」。指出循環的一步及有效判定。
A、B、C 不共線。P 在 AB 及 BC 的垂直平分線上。證明 P 亦在 AC 的垂直平分線上。
M 是 AB 的中點。若 P=M，平常的 SAS 三角形會退化。PA=PB 是否仍成立？不用全等三角形說明。
八上・正文 31–32 頁・基訓第 16 課時
正向以 SAS 證明，不可先假設待證的斜邊相等再用 HL。SSS 逆向在推出相鄰等角均為90°前，不先標直角。其他有據的證法亦接受。
M 是 AB 的中點，P 不在 AB 上，且 PM⊥AB。證明 PA=PB。
△PMA≅△PMB（SAS），所以 PA=PB。
H 是 CD 的中點，Q 不在 CD 上，QH⊥CD。完成 QC=QD 的證明。
CH=DH、H 點兩個夾角均為90°，且 QH 公共；由 SAS 得 QC=QD。
M 是 AB 的中點，AB=10 cm。求 AM。
AM=5 cm。
A、M、B 共線，P 不在 AB 上，且 PM⊥AB。∠PMA 是多少？
90°，由垂直的定義。
M 是 AB 的中點，AB=18 cm。求 AM。
AM=9 cm。
P 在 AB 的垂直平分線上。若 PA=8 cm，求 PB 並寫出所用性質。
PB=8 cm；垂直平分線上的點到兩端距離相等。
P 在 AB 的垂直平分線上。PA=3x+1 cm、PB=2x+5 cm。求 x 並核對兩個距離。
x=4；PA=PB=13 cm。
P 不在 AB 上，且 PA=PB。M 是 AB 的中點。證明 PM⊥AB，並推出 P 在 AB 的垂直平分線上。
△PMA≅△PMB（SSS）；M 點兩個相鄰等角合共180°，因此各為90°。
一直線經 AB 的中點，但未給出它垂直 AB。線上每一點是否必定到 A、B 等距？
不一定；垂直平分線同時需要中點及垂直。
一直線垂直 AB，但交點不是 AB 中點。它能否是 AB 的垂直平分線？
不能；它還必須經過唯一的中點。
M 是 AB 的中點，AB=7.6 cm。求 AM。
AM=3.8 cm。
P 在 AB 的垂直平分線上。若 PA=11.5 cm，求 PB 並寫出所用性質。
PB=11.5 cm；垂直平分線上的點到兩端距離相等。
若 A≠B 且 PA=PB，使用垂直平分線逆命題前，是否要 P 位於某個指定角內？與角平分線逆命題比較。
線段的垂直平分線逆命題不需要指定角內條件；所述內角平分線逆命題則要求 P 在該角內。
已知 M 是中點且 PM⊥AB，要證 PA=PB。同學寫「PA=PB，所以由 HL 得全等」。指出循環的一步及有效判定。
PA=PB 原是待證，並非已知。應用 AM=BM、公共邊 PM 及夾直角作 SAS。
A、B、C 不共線。P 在 AB 及 BC 的垂直平分線上。證明 P 亦在 AC 的垂直平分線上。
PA=PB、PB=PC，故 PA=PC；由逆命題得 P 在 AC 的垂直平分線上。
M 是 AB 的中點。若 P=M，平常的 SAS 三角形會退化。PA=PB 是否仍成立？不用全等三角形說明。
仍成立；PA=MA、PB=MB，而由中點定義 MA=MB。
