觀察・解釋
保持 P 在平分線上，比較 OP=2、4、6：哪兩個量一直相等，哪些量會變？再把 P 移離平分線。
內角平分線上的點到兩邊的垂直距離相等。量度提供猜想，全等論證才給出一般證明。
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OP 平分 ∠AOB，P 在角內，PM⊥OA、PN⊥OB。用全等三角形證明 PM=PN。
△OPM≅△OPN（AAS），所以 PM=PN。
OP 平分 ∠AOB，P 在角內，PM⊥OA、PN⊥OB。完成證明表，不可把 PM=PN 當作證明的已知。
∠OMP、∠ONP 是直角；∠MOP=∠PON；OP=OP；AAS；PM=PN。
M、Q 在 OA 上，PM⊥OA，而 PQ 是斜線段。哪條線段表示 P 到 OA 的距離？
PM：由該點到這一邊的垂線段。
OP 平分 ∠AOB=64°。求 ∠AOP。
32°。
P 在 ∠AOB 的內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。若 PM=6.4 cm，求 PN 並寫出所用性質。
PN=6.4 cm，由角平分線的性質。
OP 是 ∠AOB=74° 的內角平分線。求 ∠PON。
∠PON=37°。
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=2x+1 cm，PN=3x−2 cm。求 x，並檢查兩個長度均為正。
x=3；兩條線段均長 7 cm。
ST 平分 ∠CSD，T 在角內，TH⊥SC、TK⊥SD。自行選取三角形，證明 TH=TK。
△STH≅△STK（AAS），所以 TH=TK。
P 在角平分線上，PN⊥OB。有人給出 PQ=3 cm，Q 在 OA 上，但 PQ 不垂直 OA。是否必有 PN=3 cm？說明理由。
不一定。PQ 是斜線段，不表示到 OA 的距離；性質只比較垂直距離。
燈 P 在兩條直路所成角的內部，並位於內角平分線上。它到第一條路的最短距離為 9 m。求到第二條路的最短距離。
9 m；最短距離是垂直距離，而該點位於平分線上。
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=3.75 cm，求 PN。
PN=3.75 cm。
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=3x−1 cm、PN=8 cm，求 x。
x=3；兩條垂線段均長 8 cm。
已知 OP 平分該角及兩個垂直條件，要證明 PM=PN。哪組資料可作證明起點？
使用直角、平分所得等角及公共邊 OP，以 AAS 證明結論。
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=6 cm，△OPM 的周長是 24 cm。求 OP+ON。
OP+ON=18 cm。
三次實驗中，PM、PN 顯示相同的近似值。說明這支持甚麼，以及要保證平分線上每一點都成立還欠甚麼。
實驗支持猜想；要說明所有這類點，仍需一般全等證明，不能只靠重複量度或近似值。
同學說：角內每一點到兩邊的距離都相等。角內點 Q 到兩邊的垂直距離是 2 cm、4 cm。這是否反例？應補上甚麼條件？
是，因為 2≠4；應限制該點在內角平分線上。
先備：角平分線定義、垂線段、AAS 及簡單一元一次方程。P 是角內且不同於 O 的點；M、N 是兩邊上的垂足。
投影作短觀察，再示範完整 AAS 證明及帶做填空，之後才獨立作答。正向證明不可把 PM=PN 當已知；其他有據的完整證法亦接受。
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OP 平分 ∠AOB，P 在角內，PM⊥OA、PN⊥OB。用全等三角形證明 PM=PN。
△OPM≅△OPN（AAS），所以 PM=PN。
OP 平分 ∠AOB，P 在角內，PM⊥OA、PN⊥OB。完成證明表，不可把 PM=PN 當作證明的已知。
∠OMP、∠ONP 是直角；∠MOP=∠PON；OP=OP；AAS；PM=PN。
M、Q 在 OA 上，PM⊥OA，而 PQ 是斜線段。哪條線段表示 P 到 OA 的距離？
PM：由該點到這一邊的垂線段。
OP 平分 ∠AOB=64°。求 ∠AOP。
32°。
P 在 ∠AOB 的內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。若 PM=6.4 cm，求 PN 並寫出所用性質。
PN=6.4 cm，由角平分線的性質。
OP 是 ∠AOB=74° 的內角平分線。求 ∠PON。
∠PON=37°。
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=2x+1 cm，PN=3x−2 cm。求 x，並檢查兩個長度均為正。
x=3；兩條線段均長 7 cm。
ST 平分 ∠CSD，T 在角內，TH⊥SC、TK⊥SD。自行選取三角形，證明 TH=TK。
△STH≅△STK（AAS），所以 TH=TK。
P 在角平分線上，PN⊥OB。有人給出 PQ=3 cm，Q 在 OA 上，但 PQ 不垂直 OA。是否必有 PN=3 cm？說明理由。
不一定。PQ 是斜線段，不表示到 OA 的距離；性質只比較垂直距離。
燈 P 在兩條直路所成角的內部，並位於內角平分線上。它到第一條路的最短距離為 9 m。求到第二條路的最短距離。
9 m；最短距離是垂直距離，而該點位於平分線上。
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=3.75 cm，求 PN。
PN=3.75 cm。
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=3x−1 cm、PN=8 cm，求 x。
x=3；兩條垂線段均長 8 cm。
已知 OP 平分該角及兩個垂直條件，要證明 PM=PN。哪組資料可作證明起點？
使用直角、平分所得等角及公共邊 OP，以 AAS 證明結論。
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=6 cm，△OPM 的周長是 24 cm。求 OP+ON。
OP+ON=18 cm。
三次實驗中，PM、PN 顯示相同的近似值。說明這支持甚麼，以及要保證平分線上每一點都成立還欠甚麼。
實驗支持猜想；要說明所有這類點，仍需一般全等證明，不能只靠重複量度或近似值。
同學說：角內每一點到兩邊的距離都相等。角內點 Q 到兩邊的垂直距離是 2 cm、4 cm。這是否反例？應補上甚麼條件？
是，因為 2≠4；應限制該點在內角平分線上。
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八上・正文 25–26 頁・基訓第 13 課時
題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。
八上・正文 25–26 頁・基訓第 13 課時 · 1/2
姓名：__________ 班別：______ 日期：__________
OP 平分 ∠AOB，P 在角內，PM⊥OA、PN⊥OB。用全等三角形證明 PM=PN。
OP 平分 ∠AOB，P 在角內，PM⊥OA、PN⊥OB。完成證明表，不可把 PM=PN 當作證明的已知。
M、Q 在 OA 上，PM⊥OA，而 PQ 是斜線段。哪條線段表示 P 到 OA 的距離？
OP 平分 ∠AOB=64°。求 ∠AOP。
八上・正文 25–26 頁・基訓第 13 課時 · 2/2
姓名：__________ 班別：______ 日期：__________
P 在 ∠AOB 的內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。若 PM=6.4 cm，求 PN 並寫出所用性質。
OP 是 ∠AOB=74° 的內角平分線。求 ∠PON。
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=2x+1 cm，PN=3x−2 cm。求 x，並檢查兩個長度均為正。
ST 平分 ∠CSD，T 在角內，TH⊥SC、TK⊥SD。自行選取三角形，證明 TH=TK。
P 在角平分線上，PN⊥OB。有人給出 PQ=3 cm，Q 在 OA 上，但 PQ 不垂直 OA。是否必有 PN=3 cm？說明理由。
燈 P 在兩條直路所成角的內部，並位於內角平分線上。它到第一條路的最短距離為 9 m。求到第二條路的最短距離。
八上・正文 25–26 頁・基訓第 13 課時
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=3.75 cm，求 PN。
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=3x−1 cm、PN=8 cm，求 x。
已知 OP 平分該角及兩個垂直條件，要證明 PM=PN。哪組資料可作證明起點？
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=6 cm，△OPM 的周長是 24 cm。求 OP+ON。
三次實驗中，PM、PN 顯示相同的近似值。說明這支持甚麼，以及要保證平分線上每一點都成立還欠甚麼。
同學說：角內每一點到兩邊的距離都相等。角內點 Q 到兩邊的垂直距離是 2 cm、4 cm。這是否反例？應補上甚麼條件？
八上・正文 25–26 頁・基訓第 13 課時
投影作短觀察，再示範完整 AAS 證明及帶做填空，之後才獨立作答。正向證明不可把 PM=PN 當已知；其他有據的完整證法亦接受。
OP 平分 ∠AOB，P 在角內，PM⊥OA、PN⊥OB。用全等三角形證明 PM=PN。
△OPM≅△OPN（AAS），所以 PM=PN。
OP 平分 ∠AOB，P 在角內，PM⊥OA、PN⊥OB。完成證明表，不可把 PM=PN 當作證明的已知。
∠OMP、∠ONP 是直角；∠MOP=∠PON；OP=OP；AAS；PM=PN。
M、Q 在 OA 上，PM⊥OA，而 PQ 是斜線段。哪條線段表示 P 到 OA 的距離？
PM：由該點到這一邊的垂線段。
OP 平分 ∠AOB=64°。求 ∠AOP。
32°。
P 在 ∠AOB 的內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。若 PM=6.4 cm，求 PN 並寫出所用性質。
PN=6.4 cm，由角平分線的性質。
OP 是 ∠AOB=74° 的內角平分線。求 ∠PON。
∠PON=37°。
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=2x+1 cm，PN=3x−2 cm。求 x，並檢查兩個長度均為正。
x=3；兩條線段均長 7 cm。
ST 平分 ∠CSD，T 在角內，TH⊥SC、TK⊥SD。自行選取三角形，證明 TH=TK。
△STH≅△STK（AAS），所以 TH=TK。
P 在角平分線上，PN⊥OB。有人給出 PQ=3 cm，Q 在 OA 上，但 PQ 不垂直 OA。是否必有 PN=3 cm？說明理由。
不一定。PQ 是斜線段，不表示到 OA 的距離；性質只比較垂直距離。
燈 P 在兩條直路所成角的內部，並位於內角平分線上。它到第一條路的最短距離為 9 m。求到第二條路的最短距離。
9 m；最短距離是垂直距離，而該點位於平分線上。
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=3.75 cm，求 PN。
PN=3.75 cm。
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=3x−1 cm、PN=8 cm，求 x。
x=3；兩條垂線段均長 8 cm。
已知 OP 平分該角及兩個垂直條件，要證明 PM=PN。哪組資料可作證明起點？
使用直角、平分所得等角及公共邊 OP，以 AAS 證明結論。
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=6 cm，△OPM 的周長是 24 cm。求 OP+ON。
OP+ON=18 cm。
三次實驗中，PM、PN 顯示相同的近似值。說明這支持甚麼，以及要保證平分線上每一點都成立還欠甚麼。
實驗支持猜想；要說明所有這類點，仍需一般全等證明，不能只靠重複量度或近似值。
同學說：角內每一點到兩邊的距離都相等。角內點 Q 到兩邊的垂直距離是 2 cm、4 cm。這是否反例？應補上甚麼條件？
是，因為 2≠4；應限制該點在內角平分線上。
