觀察・解釋
先不標出角相等。若兩條垂線段等長，可用哪兩個三角形及哪些已知邊找出平分線？
角內點到兩邊的垂直距離相等，則該點在內角平分線上。這一課把等距當已知；上一課則以等距為待證結論。
可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。
P 在 ∠AOB 內，PM⊥OA、PN⊥OB，且 PM=PN。證明 OP 平分 ∠AOB。
兩個直角三角形由 HL 全等，故頂點兩角相等，OP 為內角平分線。
P 在 ∠AOB 內，PM⊥OA、PN⊥OB，且 PM=PN。完成 HL 證明，不可先假設 O 點兩角相等。
OP 是公共斜邊；PM=PN 是等直角邊；由 HL 得 ∠MOP=∠PON，所以 OP 為內角平分線。
PM⊥OA，且 M 在 OA 上。△OPM 的斜邊是哪一條？
OP，因為它是 M 點直角的對邊。
「內角平分線上的點到兩邊垂直距離相等」的逆命題是哪一句？
第一句，並保留角內及垂直距離條件。
P 在 ∠AOB=86° 內，PM⊥OA、PN⊥OB，且 PM=PN=4 cm。求 ∠AOP，並說明為何可把角度除以二。
43°；先由逆命題得到 OP 平分該角。
P 在 ∠AOB 內，PM⊥OA、PN⊥OB，且 PM=PN。若 ∠MOP=28°，求 ∠AOB。
∠AOB=56°。
P 到 OA、OB 所在兩相交直線的距離相等，但未說明 P 在 ∠AOB 內。能否推出 P 在這個角的內角平分線上？
不一定；到兩條完整直線等距的點，也可能在另一條平分線上。
X 在 ∠AVB 內，XH⊥VA、XK⊥VB，且 XH=XK。證明 VX 是內角平分線。
△VXH≅△VXK（HL），由 V 點對應等角得 VX 是內角平分線。
P 在 ∠AOB 內，M 在 OA 上，N 在 OB 上，且 PM=PN，但沒有垂直條件。這是否足以證明 OP 是平分線？
不足夠；PM、PN 未必表示到兩邊的垂直距離。
P 在角內，且到兩邊的垂直距離相等。哪個結果直接告訴我們 P 位於哪裡？
由逆命題得 P 在內角平分線上。
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=3 cm，△OPM 周長為 12 cm。求 OP+ON。
OP+ON=9 cm。
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=9 cm，△OPM 周長為 36 cm。求 OP+ON。
OP+ON=27 cm。
P 在角內，PM⊥OA、PN⊥OB，且 PM=PN=5 cm。哪個結論可直接推出？
第一項；逆命題決定方向，但單一距離不能決定 OP 的長。
完成兩句：正向「已知___，證明垂直距離相等」；逆向「已知___，證明內角平分線」。須包括位置及垂直條件。
正向：角內點在平分線上，並作兩邊垂足；逆向：角內點到兩邊垂直距離相等。
I 在 △ABC 內，並在 A、B 的內角平分線上。D、E、F 分別是 I 到 AB、AC、BC 的垂足。證明 I 亦在 C 的內角平分線上。
ID=IE、ID=IF，故 IE=IF；由 C 角內的逆命題，I 在 C 的平分線上。
有人令 P=O，得到兩個零距離，便想用 HL 定義射線 OP 為角平分線。說明這個證明設定為何不成立。
O、P 不是兩個不同的點，不能這樣確定射線 OP；兩個所謂三角形亦退化。定理的角內點設定不包括頂點。
先備：正向性質、直角三角形的斜邊與直角邊、HL 及角內點的意思。
示範以 OP 為斜邊的 HL，再讓學生把已知與待證分開標記。每個證明均清楚保留角內及垂直條件。
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P 在 ∠AOB 內，PM⊥OA、PN⊥OB，且 PM=PN。證明 OP 平分 ∠AOB。
兩個直角三角形由 HL 全等，故頂點兩角相等，OP 為內角平分線。
P 在 ∠AOB 內，PM⊥OA、PN⊥OB，且 PM=PN。完成 HL 證明，不可先假設 O 點兩角相等。
OP 是公共斜邊；PM=PN 是等直角邊；由 HL 得 ∠MOP=∠PON，所以 OP 為內角平分線。
PM⊥OA，且 M 在 OA 上。△OPM 的斜邊是哪一條？
OP，因為它是 M 點直角的對邊。
「內角平分線上的點到兩邊垂直距離相等」的逆命題是哪一句？
第一句，並保留角內及垂直距離條件。
P 在 ∠AOB=86° 內，PM⊥OA、PN⊥OB，且 PM=PN=4 cm。求 ∠AOP，並說明為何可把角度除以二。
43°；先由逆命題得到 OP 平分該角。
P 在 ∠AOB 內，PM⊥OA、PN⊥OB，且 PM=PN。若 ∠MOP=28°，求 ∠AOB。
∠AOB=56°。
P 到 OA、OB 所在兩相交直線的距離相等，但未說明 P 在 ∠AOB 內。能否推出 P 在這個角的內角平分線上？
不一定；到兩條完整直線等距的點，也可能在另一條平分線上。
X 在 ∠AVB 內，XH⊥VA、XK⊥VB，且 XH=XK。證明 VX 是內角平分線。
△VXH≅△VXK（HL），由 V 點對應等角得 VX 是內角平分線。
P 在 ∠AOB 內，M 在 OA 上，N 在 OB 上，且 PM=PN，但沒有垂直條件。這是否足以證明 OP 是平分線？
不足夠；PM、PN 未必表示到兩邊的垂直距離。
P 在角內，且到兩邊的垂直距離相等。哪個結果直接告訴我們 P 位於哪裡？
由逆命題得 P 在內角平分線上。
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=3 cm，△OPM 周長為 12 cm。求 OP+ON。
OP+ON=9 cm。
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=9 cm，△OPM 周長為 36 cm。求 OP+ON。
OP+ON=27 cm。
P 在角內，PM⊥OA、PN⊥OB，且 PM=PN=5 cm。哪個結論可直接推出？
第一項；逆命題決定方向，但單一距離不能決定 OP 的長。
完成兩句：正向「已知___，證明垂直距離相等」；逆向「已知___，證明內角平分線」。須包括位置及垂直條件。
正向：角內點在平分線上，並作兩邊垂足；逆向：角內點到兩邊垂直距離相等。
I 在 △ABC 內，並在 A、B 的內角平分線上。D、E、F 分別是 I 到 AB、AC、BC 的垂足。證明 I 亦在 C 的內角平分線上。
ID=IE、ID=IF，故 IE=IF；由 C 角內的逆命題，I 在 C 的平分線上。
有人令 P=O，得到兩個零距離，便想用 HL 定義射線 OP 為角平分線。說明這個證明設定為何不成立。
O、P 不是兩個不同的點，不能這樣確定射線 OP；兩個所謂三角形亦退化。定理的角內點設定不包括頂點。
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八上・正文 27–28 頁・基訓第 14 課時
題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。
八上・正文 27–28 頁・基訓第 14 課時 · 1/2
姓名：__________ 班別：______ 日期：__________
P 在 ∠AOB 內，PM⊥OA、PN⊥OB，且 PM=PN。證明 OP 平分 ∠AOB。
P 在 ∠AOB 內，PM⊥OA、PN⊥OB，且 PM=PN。完成 HL 證明，不可先假設 O 點兩角相等。
PM⊥OA，且 M 在 OA 上。△OPM 的斜邊是哪一條？
「內角平分線上的點到兩邊垂直距離相等」的逆命題是哪一句？
八上・正文 27–28 頁・基訓第 14 課時 · 2/2
姓名：__________ 班別：______ 日期：__________
P 在 ∠AOB=86° 內，PM⊥OA、PN⊥OB，且 PM=PN=4 cm。求 ∠AOP，並說明為何可把角度除以二。
P 在 ∠AOB 內，PM⊥OA、PN⊥OB，且 PM=PN。若 ∠MOP=28°，求 ∠AOB。
P 到 OA、OB 所在兩相交直線的距離相等，但未說明 P 在 ∠AOB 內。能否推出 P 在這個角的內角平分線上？
X 在 ∠AVB 內，XH⊥VA、XK⊥VB，且 XH=XK。證明 VX 是內角平分線。
P 在 ∠AOB 內，M 在 OA 上，N 在 OB 上，且 PM=PN，但沒有垂直條件。這是否足以證明 OP 是平分線？
P 在角內，且到兩邊的垂直距離相等。哪個結果直接告訴我們 P 位於哪裡？
八上・正文 27–28 頁・基訓第 14 課時
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=3 cm，△OPM 周長為 12 cm。求 OP+ON。
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=9 cm，△OPM 周長為 36 cm。求 OP+ON。
P 在角內，PM⊥OA、PN⊥OB，且 PM=PN=5 cm。哪個結論可直接推出？
完成兩句：正向「已知___，證明垂直距離相等」；逆向「已知___，證明內角平分線」。須包括位置及垂直條件。
I 在 △ABC 內，並在 A、B 的內角平分線上。D、E、F 分別是 I 到 AB、AC、BC 的垂足。證明 I 亦在 C 的內角平分線上。
有人令 P=O，得到兩個零距離，便想用 HL 定義射線 OP 為角平分線。說明這個證明設定為何不成立。
八上・正文 27–28 頁・基訓第 14 課時
示範以 OP 為斜邊的 HL，再讓學生把已知與待證分開標記。每個證明均清楚保留角內及垂直條件。
P 在 ∠AOB 內，PM⊥OA、PN⊥OB，且 PM=PN。證明 OP 平分 ∠AOB。
兩個直角三角形由 HL 全等，故頂點兩角相等，OP 為內角平分線。
P 在 ∠AOB 內，PM⊥OA、PN⊥OB，且 PM=PN。完成 HL 證明，不可先假設 O 點兩角相等。
OP 是公共斜邊；PM=PN 是等直角邊；由 HL 得 ∠MOP=∠PON，所以 OP 為內角平分線。
PM⊥OA，且 M 在 OA 上。△OPM 的斜邊是哪一條？
OP，因為它是 M 點直角的對邊。
「內角平分線上的點到兩邊垂直距離相等」的逆命題是哪一句？
第一句，並保留角內及垂直距離條件。
P 在 ∠AOB=86° 內，PM⊥OA、PN⊥OB，且 PM=PN=4 cm。求 ∠AOP，並說明為何可把角度除以二。
43°；先由逆命題得到 OP 平分該角。
P 在 ∠AOB 內，PM⊥OA、PN⊥OB，且 PM=PN。若 ∠MOP=28°，求 ∠AOB。
∠AOB=56°。
P 到 OA、OB 所在兩相交直線的距離相等，但未說明 P 在 ∠AOB 內。能否推出 P 在這個角的內角平分線上？
不一定；到兩條完整直線等距的點，也可能在另一條平分線上。
X 在 ∠AVB 內，XH⊥VA、XK⊥VB，且 XH=XK。證明 VX 是內角平分線。
△VXH≅△VXK（HL），由 V 點對應等角得 VX 是內角平分線。
P 在 ∠AOB 內，M 在 OA 上，N 在 OB 上，且 PM=PN，但沒有垂直條件。這是否足以證明 OP 是平分線？
不足夠；PM、PN 未必表示到兩邊的垂直距離。
P 在角內，且到兩邊的垂直距離相等。哪個結果直接告訴我們 P 位於哪裡？
由逆命題得 P 在內角平分線上。
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=3 cm，△OPM 周長為 12 cm。求 OP+ON。
OP+ON=9 cm。
P 在內角平分線上，PM⊥OA、PN⊥OB。PM=9 cm，△OPM 周長為 36 cm。求 OP+ON。
OP+ON=27 cm。
P 在角內，PM⊥OA、PN⊥OB，且 PM=PN=5 cm。哪個結論可直接推出？
第一項；逆命題決定方向，但單一距離不能決定 OP 的長。
完成兩句：正向「已知___，證明垂直距離相等」；逆向「已知___，證明內角平分線」。須包括位置及垂直條件。
正向：角內點在平分線上，並作兩邊垂足；逆向：角內點到兩邊垂直距離相等。
I 在 △ABC 內，並在 A、B 的內角平分線上。D、E、F 分別是 I 到 AB、AC、BC 的垂足。證明 I 亦在 C 的內角平分線上。
ID=IE、ID=IF，故 IE=IF；由 C 角內的逆命題，I 在 C 的平分線上。
有人令 P=O，得到兩個零距離，便想用 HL 定義射線 OP 為角平分線。說明這個證明設定為何不成立。
O、P 不是兩個不同的點，不能這樣確定射線 OP；兩個所謂三角形亦退化。定理的角內點設定不包括頂點。
