戰爭幾何學：用牛頓物理與隨機控制模擬 Primarch 決鬥

封存文章／虛構模型

本文以 Warhammer 40K 角色作數學玩具問題。所有質量、力量、毒性與勝率都是虛構參數；模型不描述真實人體、武器或戰鬥。

Jaghatai Khan 駕駛噴射摩托接近 Mortarion：高速增加撞擊動量，卻也提高轉向成本；遠離毒霧較安全，但對手會再生。這正好形成一個有能量、距離與隨機擾動的控制問題。

一、運動方程

平面狀態為位置 $\mathbf r$ 、速度 $\mathbf v$ ：

\dot{\mathbf r}=\mathbf v, \qquad m\dot{\mathbf v} =\mathbf F_{\mathrm{thrust}} +\mathbf F_{\mathrm{control}} -c_d|\mathbf v|\mathbf v.

所有力用同一座標，速度與加速度設上限。這是 Newtonian 玩具模型，沒有相對論或完整剛體姿態。

Khan 的耐力 $S$ ：

\dot S =r_{\mathrm{recover}}(S_{\max}-S) -c_T\|\mathbf F_{\mathrm{thrust}}\|^2 -c_Au_{\mathrm{attack}}.

低耐力限制推力及攻擊，令「一直全速」不再是最優策略。

以 Mortarion 位置 $\mathbf r_M$ 為中心：

C(\mathbf r) =C_0\exp \left(-\frac{\|\mathbf r-\mathbf r_M\|}{\ell}\right).

累積毒性

\dot Z=k_ZC(\mathbf r)-\mu_ZZ

可降低控制或生命值。指數場只是敘事近似，不應被解讀成真實擴散。

接觸時傷害可以相對動量為基礎：

D =\kappa\max(0, \mathbf v_{\mathrm{rel}}\cdot\mathbf n) \cdot q_{\mathrm{hit}},

$q_{\mathrm{hit}}$ 是隨機命中倍率。Mortarion 的生命值同時有飽和再生：

\dot H_M =r_M\left(1-\frac{H_M}{H_{M,\max}}\right)-D(t).

因此控制問題是「何時接近並形成足夠爆發」，不是只把距離變成零。

追蹤目標距離 $d^*$ 的誤差為 $e=d-d^*$ ：

u(t) =K_pe+K_i\int e\,dt+K_d\dot e.

積分項要 anti-windup，導數項要濾波。高層狀態機分為接近、側擊、撤離、恢復與終結；轉移由距離、耐力、毒性及生命值觸發。遲滯區可避免狀態頻繁跳動。

連續擾動用

d\mathbf v=f(x,u)\,dt+\Sigma\,d\mathbf W_t,

罕見 Warp 事件則以 Poisson 過程 $N(t)\sim\mathrm{Poisson}(\lambda t)$ 表示。數值上 SDE 應用 Euler–Maruyama 或專用方法；不能把 RK4 的 ODE 誤差階直接套用到 Brownian 路徑。

對每套控制參數運行大量配對種子，報告勝率、戰鬥時間、毒性峰值、最低耐力及撞擊速度分佈。Spaghetti plot 顯示路徑變異；危險區熱圖則由所有死亡或重傷位置的密度估計。

勝率差需配合二項信賴區間。若調參與評估使用同一批種子，會對隨機情境過度擬合，因此要保留完全未見的測試種子。

物理引擎、角色狀態、控制器、事件生成與分析分開。設定檔記錄單位及種子；每步檢查有限數、速度上限及生命值範圍。私人研究庫保存原始程式，公開文章只描述方法與經審核輸出。

模型沒有碰撞剛體、視線、三維姿態或學習對手。最值得延伸的是部分可觀測控制、對手策略適應與 distributional robustness，而不是增加更多任意角色數值。