用 Python 建立交易策略：由訊號到無偏回測

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本文源自 MCM 2022 Problem C。它是回測方法教學，不是投資建議。舊版本用完整五年資料選出 15/80 日參數，再在同一期間報 Sharpe 1.27 和 $15,789.84；這是樣本內最佳化結果，且交易執行存在 same-bar look-ahead，不能視為可交易績效。

題目給定 2016-09-11 至 2021-09-10 的黃金與 Bitcoin 價格，起始資金 $1,000：

(C_0,G_0,B_0)=(1000,0,0).

黃金佣金為 1%，Bitcoin 為 2%；Bitcoin 每日可交易，黃金只在其市場開放日交易。每天的決策只能使用當時已知的價格歷史。

這個限制令研究重點由「找一條最高回報曲線」變成：

資料在甚麼時間變成可知？
訊號在甚麼價格執行？
不同日曆如何估值與交易？
參數如何在不偷看測試期下選擇？
佣金後的風險與 benchmark 比較是否仍成立？

一、狀態與交易

日末 portfolio value：

V_t=C_t+G_tP_t^G+B_tP_t^B.

若買入價值 $q$ 的資產 $a$ ，比例佣金 $\alpha_a$ ：

\begin{aligned} C_{t+1}&=C_t-q(1+\alpha_a),\\ H_{a,t+1}&=H_{a,t}+\frac{q}{P_{t+1,a}^{\rm exec}}. \end{aligned}

賣出 $h$ 單位：

\begin{aligned} C_{t+1}&=C_t+hP_{t+1,a}^{\rm exec}(1-\alpha_a),\\ H_{a,t+1}&=H_{a,t}-h. \end{aligned}

關鍵是訊號以 $t$ 日收市價計算時，不能亦假設以同一個未知收市價成交。保守 backtest 可在 $t+1$ 的可交易 open／close 執行，並加入 slippage。

二、交易日曆

建立完整 calendar index，保留兩種資訊：

mark_price：非交易日可 forward-fill，只用於 portfolio valuation；
tradable：只有真實報價／市場開放日才可下單。

calendar = pd.date_range(start, end, freq="D")
prices = raw.reindex(calendar)

prices["gold_tradable"] = prices["gold"].notna()
prices["btc_tradable"] = prices["bitcoin"].notna()
prices["gold_mark"] = prices["gold"].ffill()
prices["btc_mark"] = prices["bitcoin"].ffill()

不可因黃金星期末沒有價格便 continue 整日，否則 Bitcoin 的週末交易及估值都被刪除；亦不可把 forward-filled gold price 當成該日可成交價格。

三、訊號

Moving-average state

s_t^a = \mathbf1 \left( \operatorname{MA}_{S,t}^a > \operatorname{MA}_{L,t}^a \right).

target position 是 $s_t^a$ ，交易量由

\Delta s_t^a=s_t^a-s_{t-1}^a

決定。

def ma_target(price, short, long):
    short_ma = price.rolling(short, min_periods=short).mean()
    long_ma = price.rolling(long, min_periods=long).mean()
    return (short_ma > long_ma).astype(float)

執行時把 target shift 一日：

orders = ma_target(close, short, long).shift(1)

這表示今日交易只使用昨日收市或更早資料。若題目假設每日報價在 decision 前可知，也仍要把 timeline 寫清楚。

Mean reversion

rolling z-score：

z_t = \frac{P_t-\bar P_{t,L}}{s_{t,L}}.

可用 state machine： $z<-z_{\rm enter}$ 進場， $z>z_{\rm exit}$ 離場。舊程式先產生 $-1,0,1$ ，再 .diff()，可能得到 $\pm2$ ，但 backtester 只處理恰好 1 或 -1，令部分訊號靜默失效。

四、事件驅動回測

一個可靠 loop 的次序是：

用截至 $t-1$ 的資料取得 target；
檢查資產在 $t$ 是否 tradable；
用 execution price、commission、slippage 成交；
更新 cash 和 holdings；
用 mark prices 計算日末 value；
記錄 orders、fills 和 rejection reason。

def apply_trade(cash, units, target_value, price, fee):
    current_value = units * price
    delta = target_value - current_value

    if delta > 0:
        spend = min(delta, cash / (1 + fee))
        units += spend / price
        cash -= spend * (1 + fee)
    elif delta < 0:
        sell_value = min(-delta, current_value)
        sold_units = sell_value / price
        units -= sold_units
        cash += sell_value * (1 - fee)

    return cash, units

不要用 max(cash, 0) 或 max(total, 0) 掩蓋 accounting bug；若 cash 變負應觸發 assertion。

assert cash >= -1e-9
assert gold_units >= -1e-12
assert btc_units >= -1e-12

五、資產配置

舊策略每個 buy signal 使用「當時 cash 的 50%」：

Bitcoin 先買會改變 gold 可用 cash；
order of execution 影響配置；
repeated buy signal 可能累積持倉；
沒有明確 target weights。

更清楚的是設定：

\mathbf w_t=(w_t^C,w_t^G,w_t^B), \qquad w_t^C+w_t^G+w_t^B=1,

按 pre-trade portfolio value 計算所有 target values，再一起 re-balance。例如兩個訊號皆開時各 40%，保留 20% cash；只有一個開時可配置 60%。這是策略假設，必須預先指定而非由 loop 次序偶然決定。

六、績效指標

日報酬：

r_t=\frac{V_t}{V_{t-1}}-1.

若以 calendar-day series：

\operatorname{Sharpe} = \sqrt{365} \frac{\bar r-r_f/365}{s_r}.

若只用共同交易日則可能用 252，但 Bitcoin 週末風險消失，兩者要與資料日曆一致。舊公式文字把分母寫成 std × sqrt(252)，程式則正確地用 mean/std × sqrt(252)；文章應保持一致。

Maximum drawdown：

\operatorname{MDD} = \max_t \left( 1-\frac{V_t}{\max_{s\le t}V_s} \right).

另外報告：

CAGR；
annualized volatility；
downside deviation／Sortino；
turnover 和總 commissions；
exposure；
worst day/month；
time under water；
terminal wealth 的 uncertainty。

56.13% drawdown 不應僅因 Bitcoin 波動高便稱為「可接受」；可接受性取決於 mandate 和 investor loss tolerance。

七、Benchmark

至少比較：

all cash；
buy-and-hold Bitcoin；
buy-and-hold gold；
fixed-weight buy-and-hold；
periodic rebalancing；
same risk／same exposure benchmark。

所有 benchmark 使用同一初始日期、佣金、交易日曆和估值規則。若策略持有大量 cash，應同時比較 volatility-matched benchmark，避免把較低 exposure 當成 alpha。

八、參數選擇與 data snooping

舊程式在完整五年內遍歷 short／long windows，取最高 Sharpe，再用同一五年報告 Sharpe 1.27 和 $15,789.84：

(\hat S,\hat L) =\arg\max_{S,L} \widehat{\operatorname{Sharpe}}_{2016:2021}(S,L).

這是 in-sample maximum，會從噪聲中挑出幸運組合。正確流程是 walk-forward：

for train_end, test_end in folds:
    train = data.loc[:train_end]
    test = data.loc[train_end:test_end]

    params = choose_params_on_train(train)
    result = backtest_out_of_sample(test, params, warmup=train)
    fold_results.append(result)

每個 test fold 的參數只能由之前資料選擇；最後串接所有 out-of-sample returns。可使用 anchored expanding window 或 fixed rolling window。

Multiple testing

嘗試的 indicators、wavelets、HMM states、windows 和 rules 越多，最佳 Sharpe 的 upward bias 越大。應：

預先登記有限策略族；
留 untouched final test period；
報告所有試過的變體；
使用 deflated Sharpe／White’s Reality Check 等修正；
檢查鄰近參數是否形成穩定 plateau，而非單一尖峰。

九、HMM、Granger 與 wavelet

這些方法只有在進入交易決策並 out-of-sample 驗證時才有價值。

在完整資料 fit HMM，再用同一資料 decoded states 交易，會偷看未來；
Granger causality 需要 stationary specification 和 lag selection，也不等於可獲利因果；
wavelet decomposition 若使用雙側 filter，當前 coefficient 可能依賴未來值；
normality test 拒絕與否不會直接產生交易規則。

每個 feature 必須有 as-of timestamp 和 real-time computability test。

十、交易成本與市場摩擦

題目只指定比例 commission，但研究仍要測試：

C_{\rm trade} =\alpha|\Delta q| +\text{spread} +\text{slippage}(\text{size, volatility}).

原敏感度表顯示成本提高時 Sharpe 下降，這是合理方向；但因同一資料已用來選參數，不能證明 robustness。應在每個 walk-forward fold 以不同成本重跑，並報 break-even fee。

黃金資料若是 benchmark fixing price，而非可交易即時價格， execution assumption 亦要標明。

十一、壓力測試

直接把某幾日 return 改成 crash/rally 而不重新計算 signal、fill 和 liquidity，只能作 portfolio shock。較完整情景包括：

spread 擴大；
trading halt／gold holiday；
Bitcoin weekend gap；
price crash 同時 liquidity 下降；
exchange／custody outage；
delayed execution；
regime shift 後趨勢策略連續 whipsaw。

壓力測試應報 margin／cash constraint、最大單日損失、能否執行 exit，而非只畫 shocked equity curve。

十二、可重現研究設計

資料切分

2016–2018：初始研究與參數範圍；
2019–2020：walk-forward validation；
2021：最終 untouched test；

或使用多個 rolling folds，視樣本量調整。

預先固定

signal timestamp；
execution timestamp；
allocation rule；
commissions 和 slippage；
benchmark；
missing-day policy；
parameter grid；
primary metric；
failure criteria。

測試

無交易時 portfolio 恆等於 cash；
單次買賣的 commission 可手算；
黃金休市不能成交，但仍可估值；
Bitcoin 週末可交易；
signal shift 防止 same-bar fill；
cash 和 holdings 永不憑空增加；
final liquidation 是否計佣金要一致；
benchmark 使用同一日曆。

十三、舊結果的合適標籤

原輸出：

short 15、long 80；
樣本內 Sharpe 1.27；
maximum drawdown 56.13%；
$1,000 變 $15,789.84。

應標為：

探索性、樣本內、經參數搜尋後的 backtest output。

它沒有經 walk-forward 或 untouched test，且執行時點和 missing-day accounting 仍有問題，所以不能稱為 robust strategy，也不能預期未來重現。

結論

交易策略研究最難的部分不是計算 moving average，而是重建每一天的資訊集合和執行條件。一個可信的答案需要：

分開 valuation 與 tradability；
將訊號至少 lag 到下一個可執行時點；
用 target weights 而非 order-dependent cash fractions；
完整記錄佣金、slippage 和 skipped orders；
用 walk-forward 選參與測試；
與公平 benchmark 比較；
把所有嘗試納入 multiple-testing 風險。

修正後，這篇文章不再以 $15,789.84 作成功宣言。真正有研究價值的成果是一個不偷看未來、會在休市日正確運作、並能讓讀者重現每一筆交易的 backtesting protocol。

參考資料

COMAP, Inc. (2022). MCM 2022 Problem C: Trading Strategies and accompanying price data.
Bailey, D. H., Borwein, J. M., López de Prado, M., & Zhu, Q. J. (2017). The probability of backtest overfitting. Journal of Computational Finance, 20(4), 39–69.
Harvey, C. R., Liu, Y., & Zhu, H. (2016). …and the cross-section of expected returns. Review of Financial Studies, 29(1), 5–68.
López de Prado, M. (2018). Advances in Financial Machine Learning. Wiley.
White, H. (2000). A reality check for data snooping. Econometrica, 68(5), 1097–1126.